13方程组的解集

1、2.1.3方程组的解集课标要求素养要求.了解方程组及其解集的定义.掌握求方程组解集的常用方法.了解方程组中方程个数、未知数个数 对方程组解集的影响.通过求方程组解集，提升数学运算素养.课前预习知谋探完教材知识探究卜情1竟引入我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？ ”x+ y+z= 100,设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x, y, z,则1 当z=81时，x5x+ 3y+ -z= 100,3x + y+81=100,提示法一由题意得15x+3y+aX81 = 100,3x+y=19,x=8,即解得5x

2、+ 3y =73, y=11.法二 100 81 = 19（只），81 与= 27（元）.假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5X19=95（元）.因为 9573=22（元）.所以鸡母:22笆3）= 11（只），鸡翁:1911 = 8（只）.B新如樵理方程组的解集概念一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.（2）解法求方程组解集的依据还是等式的性质等,常用的方法是消元法.方程组的解集当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元 素.此时，如果将其中一些未知数看成常数么其他未知数往往能用这些未知 数表示出来.教材拓展补

3、遗微判断1若 ab=0,则 2=0或13=0.(，).二元方程的解集是无限集.(X)提示(x- 1)2+(y 1)2=0 的解集为(x, y)|(1, 1).二元一次方程组的解集可能是空集.(，)微训练.若/a+b+ 5 + |2ab+1|=0,则(b a)2 019=a+b+5=0, a= 2,解析由题意得解得2a- b+1 = 0, b= 3. (b a)2 019= ( 3 + 2)2 019= ( 1)2 019= - 1.答案 1mx+ ny= 8,2.二元一次方程组的解集为（x, y）|（2, 1）,则2mn的算术平方nx my= 1根为.2m+ n = 8,解析由题意得2n m=

4、 1,m= 3解得.2mn = 4,/2m n=2.n=2.答案 23.下列说法正确的是 （Kff号）.二元一次方程只有一个解；二元一次方程组有无数个解；二元一次方程组 的解必是它所含的二元一次方程的解；三元一次方程组一定由三个三元一次方 程组成.解析 二元一次方程有无穷多个解，不正确；二元一次方程组有一个解或无穷多个解或无解，不正确；由方程组解集的定义知 正确；三元一次方程组中并非每一个方程均为三元一次方程，不正确.答案微思考.常见的消元法有哪两种？提示加减消元和代入消元.解二元二次方程组的基本思路是什么？提示“消元”与“降次”.课堂互动一； 霆必和析.!题型一二元一次方程组解的个数x+ y

5、= 7【例11已知方程组试确定a, c的值，使方程组ax+ 2y=c,（1）有一个解；（2）有无数个解；（3）没有解.解（1）当1X2 aw0即aw2时，方程组有一个解.1X2a=0, 当即a = 2且c= 14时，方程组有无穷多解.1XC 7X2=01X2a=0, 当即a = 2且cw14时，方程组无解.1XC- 2X7W 0A1x+BIy+ C1 = 0, 规律方法对于二元一次方程组A2x+B2y+ C2 = 0,当 A1B2 A2B1 = 0 且 A1C2A?C1 = 0(或 B1C2B2C1 = 0)时，有无穷多解.当 A1B2 A2B1 = 0 且 A1C2A2C1w0(或 B1C2

6、B2C1 W0)时，无解.(3)当 A1B2 A2B1 W0 时，有唯一解.特别地，若A2B2c2W0,A1 B1 C1rt则当不时，有无分多解；A2 B2 C2r A1 B1 C1t .当A2=B2*质时，无解；当标BX有111 一解.【训练11(1)与二元一次方程5x- v= 2组成的方程组有无数多个解的方程是()A.10 x+ 2y = 4B.4x- y= 7C.20 x- 4y=3D.15x- 3y = 6mx+ my= m3x,(2)方程组有唯一解，则m的取值范围是4x+10y= 8,A1 Bi Ci斛析 (1)酒足不=百；=不的万程为15x 3y=6.故选D.A2 B2 C2(m+

7、3) x+ my m=0, (2)方程组可化为2x+5y 4 = 0,m+3 m_由题意得 o丰a.mw5.25答案(1)D (2)( 8, - 5)U (-5, +00)题型二 二元(三元)一次方程组的解法1【例2】已知抛物线经过A(-2, 0), B 1 0 , 0(0, 2)二点，求抛物线的表达式.解 法一 设抛物线的表达式为y=ax2+bx+ c(aw0),0 = 4a2b+c,a= 2,一， 一 11-则有 0 = a2b+c,解得 b=5,2 = c.c=2.故抛物线的表达式为y=2x2+5x+2.1法二 由题意可设抛物线的表达式为 y=a(x+ 2) x+5 ,把(0, 2)代入

8、，得2= a.1.抛物线的表达式为y=2(x+2)x+万，即为 y=2x2 + 5x+ 2.规律方法(1)消元法是解二元(三元)一次方程组的基本方法，要根据方程组的特 点确定用加减消元法还是用代入消元法(2)待定系数法是求表达式的常用方法.【训练 2 a, b, c取什么值时，x3 ax2+bx+c= (x1) (x2)(x3)恒成立? 解: (x- 1)(x-2)(x- 3) = (x 1)(x2 5x+ 6) = x3 6x2+ 11x- 6,要使 x3 ax2 + bx+ c=x3 6x2+ 1仅一6 恒成立， a= - 6,a = 6,则 b= 11,b=11,c= - 6,c= -

9、6.题型三求二元二次方程组的解集【例3】 求下列方程组的解集：y=x+1,(1) x2 + y2=13；x2+xy 2y2 = 0,2 c2c cx2 + 2xy+ y2 x y2 = 0.解(1)把代入得x2+(x+1)2=13,整理得 x2 + x 6= 0,解得 xi = 3, x2=2.把xi = - 3代入，得yi = - 2,把x2=2代入，得y2=3, 所以原方程组的解集为(x, y)|(-3, 2), (2, 3).(x y) (x+ 2y) =0,(2)方程组可化为(x+ y- 2) (x+ y+ 1) = 0,x y=0,x y= 0,即为或x+ y 2 = 0 x+ y+

10、 1 = 0 x+2y=0,x+ 2y=0,或或x+y 2 = 0 x+ y+1=0.一二x= 1,x 25x= 4,x= 2,解得 或或 或y= 1y= _2y= -2y= 1.所以原方程组的解集为 11,(x, y) | (1, 1) , 一2，2 , (4, -2) , ( 2, 1)Ax+By+ C = 0,规律方法 1.对形如Dx2 + Exy + Fy2+Gx+Hy+K = 0的方程组可用代入法.A1x2+ Bxy+ Cy2+ Dx+ Ey+ F1 = 0,2.对形如22的方程组可通过 “降次”转化A2x2+ B2xy+ C2y2+ D2x+ E2y+ F2 = 0为1中的形式求解

11、.【训练3】 求下列方程组的解集:22 .x + y=7,x -4xy+ 4y +x 2y 2=0, xy= 12;3x+ 2y11=0.x + y= 7,解(1)法一由得，y=7 x,代入整理得，x27x+12=0.xy= 12,解得x1 = 3或x2=4,分别代入得y1 =4或y2 = 3,.方程组的解集为(x, y)|(3, 4), (4, 3).法二 由题意知x, y是方程z2 7z+ 12=0的两根，x=3,x = 4,y=3.即为(z3)(z 4) = 0的两根， 或 y = 43).原方程组的解集为(x, y)|(3, 4), (4,22x 4xy+4y +x 2y2 = 0(2

12、)方程组3x+2y 11 = 0 中，可化为(x 2y)2+(x 2y) 2 =0,即(x 2y+ 2)(x-2y- 1)=0. x 2y+2 = 0jx-2y-1=0.x-2y+ 2=0, 原方程组等价于(i )3x+2y 11 = 0或(ii )x- 2y1=0,3x+2y11 = 0,9 TOC o 1-5 h z x 45x= 3,由(i )解得由(五)解得y=17v= 1.y 8 (3, 1). 917所以原方程组的解集为(x, y) 9, 了，核心素养mo I ImIililil I至面提升一、素养落地.通过求方程的解集提升数学运算素养.消元与降次是求方程组解集的基本方法.二、素养

13、训练 TOC o 1-5 h z 1.某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面 所列的方程组中符合题意的是（）x+y = 246,x+ y= 246,A.B.2y= x 22x= y+ 2x + y = 246,x+y= 246,C.D.y = 2x+22y= x+2x+y=246, 解析由题意得y= 2x 2.答案 B.三个二元一次方程 2x+ 5y6 = 0, 3x- 2y 9 = 0, y= kx 9有公共解的条件是k=() TOC o 1-5 h z A.4B.3C.2D.12x+ 5y 6=0,x=3,解析 由解得 代入y = kx 9,得0= 3k 9

14、.k= 3.3x- 2y 9=0y=0,答案 B.已知 a 3b = 2a+ b15=1,则代数式 a2 4ab+b2+3 的值为.a 3b= 1,a=7,解析由解得2a+b15=1b=2, a2-4ab+ b2+3= 72 4X 7X 2 + 22+3 = 0.答案 04x- 3y 3z= 0,xv4.从方程组 八 (xyzw 0)中，可得x =， y=.x3y+ z=0zz4x 3y= 3z,解析方程组可化为x- 3y= z,4x= 3z，7V= 9z.x 4 y 7z 3，z 9.4x2 一 9y2 =15,5.求方程组2一口的解集.4x2 9y2=15 解 由，式可化为(2x 3y)(

15、2x+3y) = 15.2x- 3y =52x+3y= 3,把代入，易得2x+ 3y=3,于是原方程组可化为2x3y= 5,解得x = 2,1y 3. ，一、，一，1所以原方程组的解集为 （x, y）2, 3 .课后作业基础达标、选择题1.下列方程组中，只有一个解的是（x+y=1, A.3x+ 3y =0 x+ y= 0,B.八 八3x+ 3y= 2x+y=1, C.3x- 3y=4x+y= 1, D.3x+3y=3解析 A、B无解，D有无穷多解,C只有一个解.答案 Ca的取值范围是（）x y=a,.如果的解是正数，那么3x+2y= 4A.(-oo, 2)_4,B. 3, +00 TOC o

16、1-5 h z 八 c 44C. 2, -D. -00, 34+ 2ax y=a,x= 5,解析由解得3x+ 2y=44- 3av=F.x0,4 + 2a0,4由 即解得一2a-.答案 Cxy=5,.已知方程组有无数多个解，则a, b的值分别为（）ax+3y= b- 1A.a= 3, b=14B.a=3, b= 7C.a=1, b= 9D.a= 3, b=14a 3 b 1解析 检验湎足：=一占一的只有a= 3, b=-14. TOC o 1-5 h z -15答案 Ax= 4,x= 2,.已知与都是方程y=kx+ b的解，则k与b的值分别为（）y= - 2y= 5一11 ,A.k= 2，b=

17、 - 4B.k=-2，b=411 .C.k=2，b = 4D.k= ？，b= - 4x=4,x= 2,解析 把分另1J代入 y=kx+ b,得2 = 4k+ b，一5二 2ky= 2, y= 5,+ b.,1k 2,解组成的方程组得2b= - 4.答案 Ax+ 2y =3m,.关于x, y的方程组的解是方程3x+ 2y=34的一组解，那么m的x y= 9m值是（）B.-1A.2C.1D.-2x+2y= 3m,x= 7m,解析 由解得代入3x+ 2y =34可解得m= 2.x y=9my= _ 2m,答案 A二、填空题16.已知方程/ + 3y= 5,请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成

18、的方x = 4、程组的解为这个方程可以是.y= 1,解析 设所写出的二元一次方程为y=kx+ b（kw0）.把（4, 1）代入y=kx+ b,得1/_11_._= 4k+ b,令b=0,则k=4，:这个方程可以是 y=4x,即x4y= 0.答案 x-4y= 0（答案不唯一）x= 2,3 V= 2.7.关于x, y的方程3kx+ 2y= 6k-3,对于任何k的值都有相同的解，则方程的解 集为.3x- 6= 0,解析 方程可化为k(3x- 6) + 2y+ 3=0,由题意2y+ 3= 0, TOC o 1-5 h z 一、3答案（x, y） 2, 一 2x+ y ax 2.方程组的一个解为那么这个

19、方程组的另一个解是.xy= by= 3,x = 2,解析 由题意，得a = 5, b=6, x, y是方程z2 5z+ 6=0的两根，.二或y= 3x= 3, y= 2.x= 3, y= 2三、解答题.在 丫=2*+ bx+ c 中，当 x=0 时 y = - 7,当 x= 1 时，y= 9,当 x= 1 时 y =3,求 a, b, c 的俏.7= c,解 把(0,7),(1,9),(1,3)分别代入 y=ax2+bx+c,W -9 = a+b+c,- 3 = a b+ c,a=1,解得b= 3,c= 7.10.已知关于x,出这个解及a,x+2y= 10,bx+ay=6,y的方程组与方程组ax+ by= 12xy=5b的值.有相同的解，求x+ 2y= 10,x = 4,解由题意可得2xy=5,y=3,即为方程组的解，把它代入ax+by= 1 及 bx+ay=6,得4a+ 3b = 1, a= 2, 解得3a+4b = 6,b = 3.能力提升11.已知关于x, y的方程组3x 4y=5，5x6y= 9，(n 8m) x8y=10,有解，求m2+r|2的值.5x+ (10m+2n) y= 9Nx 4/ 5x QQ解由解得代入得5x - 6y = - 9y = - 26,(n-8m) X (-33) + 8X26=10,5X (-33) + ( 10m+2n) X