江苏省2019高考数学总复习 优编增分练高考附加题加分练(六)曲线与方程、抛物线

1、(六)曲线与方程、抛物线1.如图，过抛物线y24x的焦点F作抛物线的两条弦AB，CD，设直线AC与BD的交点为P，直线AC，BD分别与y轴交于M，N两点得xB2，即Ba2，a，(1)求证：点P恒在抛物线的准线上；(2)求证：四边形PMFN是平行四边形证明(1)由题意知F(1,0)，不妨设A(a2,2a)，D(b2,2b)，a0，b0)过点(2,1)，直线l过点P(0，1)与抛物线C交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A，连结AB.(1)求抛物线C的标准方程；(2)问直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由解(1)将点(2,1)代入抛物线C的方程，得p2，所以抛物线C的标准方

2、程为x24y.(2)设直线l的方程为ykx1，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，y，由x24ykx1，得x24kx40，2则16k2160，x1,22x22x12y2y14xx14所以kAB2x2x1x1x24x2xx1(xx2)，于是直线AB的方程为y224x2x2x1x2x1(xx2)2所以yx1，3.如图，已知定点R(0，3)，动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使PQQM，且0.14k16k216，x1x24，x1x24k，4444当x0时，y1，所以直线AB过定点(0,1)PRPM21则由PRPM0，PQQM及R(0，3)，得(1)求动点M的轨

3、迹C1；(2)圆C2：x2(y1)21，过点(0,1)的直线l依次交C1于A，D两点(从左到右)，交C2于B，C两点(从左到右)，求证：ABCD为定值(1)解方法一设M(x，y)，P(x1,0)，Q(0，y2)，2xxx3y0，y1y1y，22112x11x，22化简得x24y.1xy由PQQM，得P，0，Q0，.x3x所以PR，3，PM，y.所以动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线方法二设M(x，y)223223x3x由PRPM0，得，3，y0，即x23y0，化简得x24y.(2)证明由题意，得ABCDABCD，C2的圆心即为抛物线C1的焦点F.2234所以动点M的轨迹C1是顶点在

4、原点，开口向上的抛物线设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则ABFAFBy111y1.同理CDy2.直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为ykx1，ykx1，联立x24y，得x24kx40，所以x1,22所以ABCDABCDy1y2所以ABCD为定值1.4k16k216，所以x1x24k，x1x24，(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)14k24k211，4.如图，已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)两点，T为抛物线的准线与x轴的交点(1)若TATB1，求直线l的斜率；此时TATB0，与TATB1矛盾，(2)求ATF的最大值解(1)因为抛物线y24x的焦点为F(1,0)，T(1,0)，当lx轴时，A(1,2)，B(1，2)，所以可设直线l的方程为yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，4x1,22k2因为TATB1，所以(x11)(x21)y1y21，2k242k2424k4，2k24则x1x2k2，x1x21，1故y2y216x1x216，y1y24.将代入并整理，得k24，所以k2.(2)因为y1