函数的对称性与周期性（提升）

1、3.6函数的对称性与周期性(提升)一.单选题(2021 陕西高三三模)已知定义域为R的奇函数f(x)满足2x) = /(6+x),当x0,4时,kt比4则叱+小卜()A. -1B. 4C. TD. 1【答案】C【解析】因为“X)是定义域为R的奇函数，所以/(一力= 一/),且0)= 0,又“2-x) = -/(6+x),所以/2-(x-2) = -/6 + (x-2),即4x) = -/(4+x) = Tx),所以函数无)的周期为8，所以42020) = 4) = 164x4 = 0, /(/(2020) = /(0)= 0,2021) = /(5) = -/(3) = -(16-4x3) =

2、 Y,所以/(/(2020)+/(2021) = 0_4 = Y,故选：C.(2021 宁夏高三)已知函数/(x)为偶函数，且x+2)= 2x),当xe0,2时，/(x) = 4v,A. 8B. 6C. 4D. 472【答案】A 【解析】由 x+2) = /(2x),可得 x) = C(4t),乂/(x)为偶函数, 所以/(x) = /(-x) = /(4+x).所以/(X)是周期函数, 且周期7 = 4,故选A.(2021 全国高三专题练习)已知定义在火上的奇函数/(1)满足f(x) = /(x-6),且当0Kxv3时,4 +log -(X+l),0 X 1 TOC o 1-5 h z /(

3、x)=,其中 a 为常数，则/(2019) + /(2020) + /(2021)的值为()2(x-2)2,1x311A. 2B. 2C. D.22【答案】B 【解析】由题意，函数“X)满足/(x) = /(x6),所以函数x)的周期为T = 6,乂由当0Wx3时，/U) =tz + log(x + l),0 x 1 2(x-2)2,1x3因为函数/(x)奇函数，所以/(0)= a + log应1 = 0,所以a = 0,则/(_l) = _/(D = _log应(1 + 1) = -2, /(-2)= -/(2) = -2x(2-2)2=0,令x = 3,可得/(3) = /(3-6) =

4、/(-3) = -/(3),可得/(3)=0,所以 /(2() 19) + /(2020) + /(2021) = /(336 x6 + 3) + /(336 x7-2) + /(337 x6-l)= /(3)+ /(-2) + /(-l) = 0+0-2 = -2.故选：B4.(2021天津高三三模)已知/(x)为定义在R上的偶函数，当x2 0时，有/(x+l) = /(x),且xe0,l)时；/(x) = log2(x+l),给出下列命题：/(2013)+ /(-2014)= 0；函数/(力在定义域R上是周期为2的周期函数；直线丁 =与函数y = /(x)的图象有1个交点；函数/(x)的值

5、域为(一1,1),其中正确命题有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【解析】由题设，f(x+2) = -f(x+l) = f(x),即/(x)是周期为2的函数，令 14x2,则OWx11,而xe0,l)时：/(x) = log2(x+l),二 /(x) = -/(x-l) = -匾乩，综上：/(x)= 且在xNO上周期为2.log2(x + l),0 x 1-log2 x, 1 x 2.(x)为定义在R上的偶函数,二在xVO匕周期为2且/(x) =log2(l x),-l x0一log, (x), 2 v x o,故x+i)=/(x)/(龙1),故/(元+l) = _/(x_

6、2)(x0),所以/(x+6) = _/(尤+3) = /(x)(x-2),所以/(2020) = /(6x336 + 4) = /(4) = / =/(0) + /(1) = -1,/(2021) = /(6x336+5) = /(5)= /(-l) = -l,故/(2020) + /(2021) = 2,故选：D.(2021 全国高三专题练习)已知函数/(x)为/?上的奇函数，且图象关于点(2,0)对称，且当xw(0,2) TOC o 1-5 h z 时，/(幻=(1一1，则函数/(x)在区间2018,2021上的()3131A.最小值为 B.最小值为一不C.最大值为一D.最大值为彳424

7、2【答案】B【解析】xw(0,2)时，10又/(0) = 0,二/*)在(-2,2)上是减函数.由 /0)的图象关于点(2,0)时称得 /(X)= / 2(2切=二/ 2+(2切=一/(4X),又/(x)是奇函数，/(x) = -f(-x) , A= -f(4-x), /(-x) = /(4-x), BP/(x) = /(4 + x), A/(x)是周期函数，周期为4./(-2) = /(2)ft/(-2) = -/(2), ./(2) = /(-2) = 0, ：.f(2k) = O,keZ./(x)在(-2,2)上递减，则f(x)在(2018,2022)上递减,/(2021) = /(1)

8、= 一；，而/(2018) = /(2) = 0,/(x)在2018,2021上的最小值是 /(2021) =.故选：B.,、2(2021 四川内江市高三一模(文)已知函数/(x) =+ sinx,贝|J/(ln2) + /(ln3) + .+ /(ln2020) + /|ln + /ln +.+ /(ln 募=()A. 4040B. 4038C. 2D. 0【答案】B中小2. / 2 X 2020.【解析】 因为 f (-x) =+ sin(-x) =-sinx. )2020,+11 7 1 + 2020,所以 y(x)+/(-x) =2020 +1+ sin，+ 2一sinx = 2；1

9、+ 2020”因为 In =-In x, x所以/(ln2) + /卜 n；) = /(ln3) + /n； = _ = /(ln2020) + /(ln所以原式的结果为2019 x 2 = 4038.故选：B.(2021 安徽高三其他模拟)定义在x G 0,2的单调函数f (力对任意x G 0,1恒有/(I - x) + /(I + x)=0 ,且xg0,1时，f(x) = -mx+2m-,则实数勿的取值范围是()A. 0,2B. (-00,0 U2,-H) C. (-2. /(x)在xeOU时是单调递减的，根据对称性可知，函数/(外在(L2上也是单 调递减的，又由/(1) = ?220,知

10、/。)在xc0,2卜.是单调递减的；当340,即帆WO，f(x)在xe0,l时是单调递增的，根据对称性可知，函数/(x)在(1,2.也是单调递增的，又由/(1)=加W0,知f(x)在xe0,2上是单调递增的.练上可得，实数m的取值范围是(f,0U2,+8).故选：B.(2021 四川成都市成都七中高三三模(理)已知函数/(x) = x + cos、+ 2x ,下列对于函数f(x) 性质的描述，错误的是(A.3=9是/(尤)的极小值点6f jr jr AB./(x)的图象关于点匕,5对称C./(x)有且仅有三个零点D.若/(力区间句上递增,则ba的最大值为1【答案】1)【解析】/(x) =x +

11、 cos + 2x = x - sin 2x.12A： f (x) = l-2cos2x, fl-2cos(2x) = l-2x = 0 ,62当xe(O，w)时，/ (x)0,/(x)单调递增，所以x = /是 “X)的极小值点，故本选项描述正确；B：因为/ (x) 4- f7rx) = x - sin 2x+x - sin2( - x) = tt - sin 2x-sin(2 - 2x) = tc .I jr jr所以x)的图象关于点 匕,万对称，因此本选项描述正确;D： / (x) = l-2cos 2x,当/(x)NO 时， TOC o 1-5 h z |TT、冗TT57r则有：cos

12、2x 2k7r-2x 2攵乃 + - (k sZ) = kx0时，函数/(X)的图象与函数y = iog2x的图象关于y=x对称，则g(-i)=()A. -5B. -3C. -1D. 1【答案】B【解析】因为x0时，f(x)的图象与函数y = log2X的图象关于y = x对称，所以x0时，/(x) = 21所以x0时，(x) = 2r +X2,又因为g(x)是奇函数，所以 g(-l) = _g(l)=_(2+l) = -3,故选：B(2021 福建南平市高三二模)过点P(2,l)的直线/与函数/(%) 二 的图象交于A, B两点，。为 x-2 TOC o 1-5 h z 坐标原点，则(物+丽

13、)丽=()A. 75B. 25C. 5D. 10【答案】Dr 11【解析】/(x) = - = - + 1,函数/(X)的图象关于点P对称，x 2 %2直线/与函数“X)的图象交于A，B两点时，得出A，B两点、为点P时称，则有砺+砺=2万，T-是(砺+南)丽=2万二=2x02+) = 10.故选；D.(2021 六盘山高级中学高三一模)已知函数/。)是R上的满足/(1 +幻=/(一1一%),且/。)的图象关于点(1,0)对称，当xe0,l时，/u)= 2-2r,则/(0) + /(1)+a2)+ /(2021)的值为()A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】D【解析】/(l + x) =

14、 /(-l - x)=/(x) = /(-x),又解析关于(1,0)对称,f(x + 2) = -/(-%) = -f(x) = f(x+4) = -f(x + 2) = f(x),./(X)的周期为4,由函数解析式及性质易知，/(0) = 1, /(1) =(), /(2) = -1, /(3) = 0,/(0) + /(1) + /(2)+ /(2021) = 505/(0) + /(1) + /(2) + /(3) + /(2020) + /(2021)=0 + /(0) + /(1) = 1故选：D.(2021 辽宁高三二模)已知/(x)是定义域为R的奇函数，/(l + x) = /(

15、l-x),当OWxWl时，f(x) = ex-,则2WxW3时，/(x)的解析式为()A. f(x) = 1 - ex2B. /(x) = ex2 - 1C. /(x) = 1 - exD. /(x) = ex -1【答案】A【解析】f(x)是定义域为R的，所以/(-x) = /(x),因为1 + X)= /(I -x),所以f(x)的一条对称轴方程为X = 1二;* = 1 ,当OWxWl时，fx = ex-,所以当一1 这xWO时，OW-xWl, /(-x) = ex-1 =-/(x)所以/(乃=1一夕,则2WxW3时，一1W2-XW0,所以/(2 x) = l e*)= i_/-2,即

16、“x)= i一e-2.故选：A. TOC o 1-5 h z (2021 全国高三专题练习)已知函数y = /(x)对任意实数X都满足/(X +乃) = /(-x),当乃) 时，/(x) = tanx,若。=/(1), b = f(2), c = /(3),则。、b、c 的大小关系为()A. abc B. bac C. cab D. cba 【答案】B【解析】/(x +万) = f(x), ./= /(T + i)=/(2.14),Vxg(-, 1)(1.57314), /(x) = tanx 在(工，外上单调递增， 22.-./(2)/(1) 则数列q的一个通项公式为().A. an=n +

17、 l B. an=3n + l C. an=3n + 3 D. an =n2 -2n +3 【答案】A【解析】由题已知g(x) = / x + ； -1是R工的奇函数，故 g(_x) = _g(x),代入得：f函数/(x)关于点对称，令 f = L-X,2则I- x l t,2得到/(，) + /0_，) = 2,=/+ /() + + ,a =+/(5)+“0)，倒序相加可得 =2( + 1),即 4 =(72 + 1),故选：A.(2021 全国高三专题练习)已知函数/(X)=厂(1 + cosx) + 2x- + 3x + 1 ,则下列说法正确的是() xA.函数/(此的图象关于原点对称

18、B.函数/(X)在(0,+8)上单调递增C.函数y = /(x) 5在(0,+8)上无零点D.函数的图象关于直x = 3线对称【答案】C【解析】依题意，/(x) = x(l + cosx) + 2x + + 3 ,易知y = x(l + cosx), y = 2x + 均为奇函数，图 XX象关于原点对称，故函数/(X)的图象关于(0,3)对称，故A、I)错误；易知/(0.1) 13故 B 错误：当x0时，x(l + cosx)0 , 2x + + 3 2/2 + 3 ,即/(x)5,即函数y = /(x)-5在(0,+oo)上无 x零点.故选：C(2021 河南高三二模)已知定义域为R的函数/

19、(x)在2,+8)单调递减，E/(4-x) + /(x) = 0,则 使得不等式/（X2 + x） + f（x + 1）0成立的实数X的取值范围是（A. -3x 1B. x3 C. xlD. xw-1【答案】C【解析】/(4-x) + /(x) = 0,则/(x)关于(2,0)对称，因为/(x)在2,+8)单调递减，所以/(x)在R上单调递减，所以/(% + 1) = /(3一%),由 /(f +x) + /(x + l)0得/(x? +x)-/(3-x) 0 ,所以/12+X)3-，解得x 1或x-3.故选：C.(2021 安徽马鞍山市高三一模)已知函数/(x) = er-e*-2+Jx,则

20、不等式/(ZOZO+jO+AZOZI-Zx)W1的解集是()A. (-oo,4039 B. 4039, +) C. 4042 D. 4042, +)【答案】A【解析】fx) = -e -e2 +- = (-7 + r) + - - +.(当且仅当= = =,即2 ex e2 2 e e V e e ee ex = l时等号成立)，2 1所以/(x)W- + -0.所以/(x)是减函数. e 2小)+八2-)入7-白+ /“尸+32-幻即小)=/(27).不等式/(2020 + x) + /(2021 一2x)41 化为/(202l-2x)l-/(2020 + x) = /(2-2020-x),

21、又八外递减，所以20212xN2 2020 x,解得XW4039.故选：A.2,(2021 四川内江市高三一模)已知函数/(尤)=而耳一+ sinx,其中/(x)为函数/(x)的导数，则 2020)+ /(-2020)+八2021)-/(-2021)=()A. 0B. 2C. 2020D. 2021,、， 、22【解析】 x) +=+ sinxHbsin(-x) 7 2020v + l2020 +1 72+ 2x2020 _ 2x(202。+1) _ ?2020+1 2020+1 2020,+ 1 所以 /(2020)+ /(-2020)= 22 x n 2020 x2020-2(2020,+

22、1/ f(x) = COS X H= COS X (2020,+1)-= cosx-2 x In 2020 x 2020-1(2020-x + l)2=cos x -2x In 2020 x2020=cosx2xln 2020 x20201(2020,+ 1不所以/(一x) = 0 所以/(2021)_/(_2021) = 0所以/(2020) + f(2020)+ /(2021)-/(一2021) = 2故选：B221. （2020 四川内江市高三一模）已知函数x）= 2020% +sinx，则/(ln2)+ /(ln3)+ -+/(ln2020)+ /llnlj+/(ln|j + . +

23、/(ln2020A. 4040B. 4038C. 2D. 9【答案】【解析】2020+12.21-sinxd2020 +12020-v +1+ sin (-x)2x2020 C+： = 22020 +1 2020 +112020/(ln2020)+ / in (2021 千阳县中学高三)已知定义在彳上的奇函数“X)满足“X + 2)= -/(X),且在区间L2上 TOC o 1-5 h z 23/、，、是减函数，令a=-ln3, b = ln2, c = -ln2 ,则f(a), /(b), /的大小关系为()928/(/?)/(c)/(a)C. /(c)/(/?)/(a)/(fl)/(c)/

24、(/?)D. f(c)f(a)0,解得0cxe.令g(x)0,解得xe,所以函数g(x) = 处 在(O,e)上递增, X在(e,+oo)上递减知，Oac/?所以 a)/(c)/.故选：B二.多选题(2021 全国高三专题练习)已知定义在R上的奇函数/(x)满足4) = 一/(%)且在区间0,2上 是增函数，则()A. /(2019) = /(2017)B. /(2019) =/(2020)C. /(2016)/(2021)【答案】ACD【解析】因为定义在R工的函数/(x)满足/(x-4) = -/。)，即，幻=-为x-4) 所以 f(x + 4) = -/(%),则 f(x + S) = -

25、f(x + 4) = /(x),因此函数/*)是以8为周期的函数；乂/3)是定义在R上的奇函数，且在区间0,2上是堵函数，所以/(x)住-2,0)I：也是增函数，因此/(x) 在卜2,2上是增函数；所以/(2019) = /(3+8x252) = 3) = /(l), /(2017) = /(l+8x252) = /(I) = /(2019),故 A 正确;7(2020) = /(4 + 8 x 252) = /(4) = -/(0) = /(0) /(I) = /(2019),故 B 错误；f (2016) = /(0 + 8x 252) = /(0) /(1) = /(2019),故 C

26、正确;/(202l) = /(5 + 8x252) = /(5) = -/(I) /(I) = /(2017),故 D 正确.故选：A C D.24.(2021 山东济宁市高三二模)已知/(X)是定义在R上的偶函数，/(1一%)=一/(1 +耳，且当*40时，/(X)= X2+X-2,则下列说法正确的是()/(X)是以4为周期的周期函数/(2018)+/(2021)=-2C.函数y = log2(x+l)的图象与函数的图象有且仅有3个交点D.当xe3,4时，/(x) = f-9x + 18【答案】ACD【解析】对于A选项，由已知条件可得/(x+l) = - = /(x-l) = /(x3),所

27、以，函数f(x)是以4为周期的周期函数，A选项正确；对于 B 选项，2018) = /(2) = -0) = 2, /(2021) = /(1) = 0,则/(2018) + /(2021) = 2 , B 选项错误： 对于C选项，作出函数y = log2(X+1)与函数/(X)的图象如下图所示:,-2/(x)3时，log2(x+1) 2，即函数y = log2(x+1)与函数/(x)在(3, +oo)上的图象无交点,由图可知，函数y = log2(x+l)与函数/(x)的图象有3个交点，c选项正确;对于 D选项，当xe3,4时，x-4e-l,0,则4-xc。,所以，/(x) = /(x-4)

28、= /(4-x) =(4-x)2+(4-x)-2 = x2-9x+18, D选项正确.故选：ACD.cos 2x25(2021 全国高三专题练习)设函数f(x) = ；,则()2 + sinxcosxA.y(x)= /(x+-)B-的最大值为C.f*)在一?,0单调递增D. f(x)在o，z单调递减【答案】ADcos 2 x【解析】/(X)的定义域为R,且7。) = ；2 + smxcosx/(x + %) =cos(2x+2)cos 2x2+sin(x+;r)cos(x + %) 2 + sinxcosx= /(x)，故A正确.又 /(x)=2cos2x4 + 2sinxcosx2cos2x

29、 /2cos2x，令)=，4 +sin 2x 4 + sin2x则4y = 2cos2x-ysin2x = j4 + y2 cos(2x + e)，2.)其中 cos 0 = ,sm e = J4+Vj4 + y2故z 1 nn 2 / 42x/15 ,2/W 1 即 y，W ,故- y 名叵，故B错误.152(-2 ra)=-4(l + 4sin 2x)sin 2x)(4 + sin 2x) - 2cos2 2x(4 +sin 2x1(4 + sin 2x)2当x10,时，/(x)0,故/(x)在(0,()为减函数，故D正确.行了(-?,0卜f, -1 sin2x0,故一3l+4sin2x0

30、即/(x)(),故/(x)在(,0)为减函数,故C不正确.故选：AD26.(2021 江苏高三专题练习)已知函数/(X)对 VxeR,满足 x) = -/(6-x), /(x+l) = /(-X+l), 若。)=一/(2。20),。5,9且/(力在5,9上为单调函数,则下列结论正确的是()A. /(3) = 0B. a = 87(x)是周期为4的周期函数D. y = /(x)的图象关于点(1,。)对称【答案】AB【解析】；/(x) = -/(6-x),/(x) + /(6-x) = 0,即y = /(x)的图象关于点(3,0)对称, 令x=3 得,/(3) = -/(3),故/(3) = 0,

31、 A正确；/U+l) = /(-x+l),/(x+l) = /(l-x),即y = /(x)的图象关于直线X=1对称，/(x + l) = /(-x+l) = -/6_(-x+l) = -/(5 + x),即 x+4)=-/(x),x+8)= -/(x+4)= /(x),/)是周期为8的周期函数，/(2020)= /(252x8+4)= /(4)= -/(8),(因为)(x+4)= /(x) /(a) = -/(2020),%)=/(8),”5,9,且/。)在5,9上为单调函数,/. /(a) = /(8),故a =8,故B正确.假设/(x)是周期为4的周期函数，RiJ/(x+4) = /(x

32、), X/(x+4)= -/(x),/. /(x)=-/(x),即 f(x) = O,9 “/(X)在5,9卜.为单调函数”矛盾，故假设不成r c错设；./7)= -/ =0.假设y = f(x)的图象关于点(1,0)对称，则/(x) + /(2_x) = 0,令x = l,得/(1) + /(1) = 0,即=J/(5)= -/(l) = 0,即45)= /，与“/(X)在5,9上为单调函数”矛盾，故假设不成、丸D错决故选：AB.(2021 全国高三专题练习)若函数/(x) = e*-ei,则下述正确的有()A. /(x)在/?上单调递增B. 7a)的值域为(0,田)c. y = /(x)的

33、图象关于点(；,0)对称D. y = /(x)的图象关于直线x =；对称【答案】AC【解析】因为y =，是定义在R上的增函数，y = e是定义在R上的减函数，所以/(x) = ex-e-x在R上单调递增，故A正确；因为/(0) = e-e = l-eo, x2 + l(x2+l)2 所以函数/(X)在上是增函数，故6正确.选项C /(l) = 3，/(-l) = -g，则/(1)。一/(一1)，函数/(x)不是奇函数，故C不正确. 选项 由选项力有/()的图象关于(0)成中心对称，即/(x) + /(x) = 2,由方程/(2x-l) + /(2x) = 2,则2xl + 2x = 0,即彳=

34、！，故正确.4故选:ABD.V +(2021 全国高三专题练习)设函数/(力=上，则下列选项正确的是()A. x)为奇函数B. “X)的图象关于点(0,1)对称C. /(X)的最大值为+ 1D. /(X)的最小值为一，+ 1【答案】BCDx【解析】/(x) = - = 4r+l,不满足/(-x) = /(x),所以/不正确；XXX令g(x) = F，则 g(-x)=F = -狎 = -g(x),所以 g(x)为奇函数，则/(x)的图象关于点(0)对称，所以3正确：Y设/(x) = f + 1的最大值为M -则g(x)的最大值为A/ -1, e设/ (x) = +1的最小值为N .则g(x)的最

35、小值为N -1，当 x0时，g(x) = W，所以 g(x) = Lf，当xe(0,1)时,gx) 0 ,当x(l,+oo)时,g(x) 0, /(x)为增函数，在(1,1)上用x)0, /(力为减函数，所以/(x)在x = T处取得极大值，正确；C：由 B知：/(-2)= -1, /(-1) = 3, /(1) = -1,故在(一2,1上的值域为7,3,错误；D：令g(x) = %3-x且为奇函数，则f(x) = g(x)+l,而g(x)图象关于(0,0)中心对称,所以/(X)关于(0,1)中心对称，正确：故选:ABD.(2021 全国高三专题练习)已知函数”X)在(7,2上为增函数，且函数

36、“X + 2)是R上的偶函数，若/(a)W/(3),则实数。的取值范围可以是()A. 2a3C. 1 a3 D. a2时,由/(a)W/(3)可得“N3, .“23；当时,则a)V/等价于(a)4/,可解得aWl, .aWl,给W上，或。N3.故选:BD.(2021 全国高三专题练习)关于函数y(x) = ln(l+x)-In(3T),下列结论正确的是(/(X)在(一1,3)上单调递增y = /(x)的图象关于直线尤=1对称c. y = /(x)的图象关于点(1, 0)对称 D. “X)的值域为R【答案】ACDV- _1_ 1【解析】函数f(x)的定义域是(-1, 3), /(x) = ln3

37、 x令，(力=X4-13 - x-4x-3-1(x3),易知f(x)在(-1, 3)上单调递增,所以f(x)f(T)= O,所以/(x) = lnx)在(-1, 3)上单调递增,且值域为R.故A, D正确.2 I V*2 Y* TOC o 1-5 h z 当1-2,2)时，1-xg(-1,3) , /(l + x) = In, /(l-x) = ln,2 x2 + x所以“l+x) = -lx), /(l+x)/(l-x).所以y = /(x)的图象关于点(1, 0)对称.故B错误,C正确.故选:ACD.(2021 全国高三专题练习)设函数/(x) = 2C82，-2Y82x,则()A. /(

38、x)在单调递增/(X)的一个周期为了3 3B. /(x)的值域为一万,/卜+ ?)的图像关于点(?,0)对称【答案】BC【解析】令，= cos2x,则y = 2-2T = 2-5，显然函数y = 2-2T = 2,一9为增函数,当卜寸，r = cos2x为减函数，根据复合函数单调性可知,单调递减,因为，= cos2xg-1,1,133所以增函数 y = 22T = 25 在，= cos2xe-1时，3(丫43， 222- 3 3一即/(X)的值域为一H ；因为 /* + 万)=28s2(f) _ 2-cos2(.) = 28 s2* _ 2COS2* = /(%)，所以/(X)的一个周期为万，

39、因为/X + ?) = 2-而2 - 2sin2x,令 h(x) = 2fhi2x _ 2sin2*,设P(x,y)为力(外=2-疝2，-2皿上任意一点，则(1 -x,-y)为P(x, y)关于(?,0)对称的点，4-sin 2(-x)sin 2(-x). -而屿_幻=22_22=2fg_2，m2x = _y,知点P(5-x,-y)不在函数图象上，故h(x)的图象不关于点(?,0)对称，即/(X + ?1j图像不关于点(7,()对称.故选：BC(2021 广东高三专题练习)已知定义在R上的函数y = /(x)满足条件/(x + 2)= -/(x),且函数 y = /(x-l)为奇函数，则()A

40、.函数y = /(x)是周期函数B.函数y = /(x)的图象关于点(一 1,0)对称C.函数y = /(x)为R上的偶函数 D.函数y = /(x)为R上的单调函数【答案】ABC【解析】因为 x+2) = “X),所以 f(x+4) = -f(x+2)= f(x),即 7 = 4,故 A 正确;因为函数y = /(xl)为奇函数，所以函数y = /(xl)图像关于原点成中心对称，所以B正确； 又函数y = /(x_l)为奇函数，所以/(-x_l) = _/(x_l),根据/(x+2) = _/(x),令x-1代x有 /(x+1) = -/(%-1),所以/(x+l) = /(-x_l),令x

41、l代x有/(-x) = /(x),即函数为R上的偶函数，C正确; 因为函数y = /(x-l)为奇函数，所以/(-1) = 0,又函数/(x)为R上的偶函数，/(1) = 0,所以函数不单调，d不正确.故选:ABC.三、填空题(2021 江苏苏州市高三月考)已知函数/(幻=(2丁-秋+ 3)化1-3-*)-2+1在0, 2上的最大值为最小值为/，则附m.【答案】-2解析/(1 一刈=2(1 -才 一4(1 切 + 3卜-1 _2(1 -x) +1=(2x2 + (e-x -e)+2x-l1 + x) = 2(1 + x)2 -4(1 + x) + 3卜_)-2(l + x) + l=(2x?

42、+l)(e ex 2xl所以/ (1 一 x)+/ (1 + x) = -2,所以/ (x)的图像关于点(1, 一 1)成中心对称.由/(x) 0, 2上的最大值为，最小值为例由中心对称图像的特点可得：M + m = -2故答案为：-2(2021 全国高三专题练习)已知函数/(无)=爷詈+ 2的最大值为M，最小值为加，则M + m =【答案】4,、 Asinx Asin(-x) Asinx .【解析】/(x) = + 2,该函数的定义域为R, f(x)= , j 71 + 2 = 一一G+2， /1 + x2(-x) +1X +1.-./(x) + /(-x) = 4,所以，函数/1(x)的图

43、象关于点(0,2)对称,则函数/(X)图象上的最高点和最低点也关于点(0,2)对称，因此，M +加=4.故答案为：4.(2021 全国高三专题练习)设函数/口)=/+法皿% +。1111+ 471) + 3的最大值为5,则f(X) 的最小值为【解析】对任意的xeR, Vx2+1 |x|-x，则x+J?W0,所以，函数x)的定义域为R, f (x) + f (-x) = or，+ bsin x + c In (x+Vx2 +1 j+3 + bsin (-x) + cln 卜x+Jx。+1) + 3=cln(x2 +1x2) + 6 = clnl+6 = 6.所以，函数f(x)的图象关于点(0,3)对称，则函数/(x)图象的最高点和最低点也关于点(0,3)对称，：f(x) =5,因此，/(x) . =6-/(x) =1.故答案为：1.(2021 全国高三专题练习(理)已知函数/(x) = / _3/ +3,有下列命题：函数y = /(x)的图像在点(1J)处的切线为3x+y-4 = 0；函数y = f(x)有3个零点；函数y = /(x)在x = 2处取得极大值；函数y = /(x)的图像关于点(U)对称上述命题中，正确命题的序号是.【答案】【解析】.r(x) = 3f_6x, ./(1) = 3-6 = -3,且1) = 1-3+3