系统的稳定性机械工程控制基础教案

1、Chp.5系统稳定性基本要求1了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2掌握Routh判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3掌握Nyquist判据；4理解Nyquist图和Bode图之间的关系；5掌握Bode判据；6理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度，并能够在Nyquist图和Bode图上加以表示。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。重点与难点本章重点1Routh判据、Nyquist判据和Bode判据的应用；2系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist图和Bode图的表示法。

2、本章难点Nyquist判据及其应用。1概念示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。（图5.1.2）讨论：线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。与输入量种类、性质无关。系统不稳定必伴有反馈作用。（图5.1.3）若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s)稳定若反馈加强E(s)不稳定稳定性是自由振荡下的定义。即xi(t)=0时，仅存在xi(0-)或xi(0+)在xi(t)作用下的强

3、迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。2、系统稳定的条件：对anpn+an-1pn-1+a1p+a0 x0(t)=bmpm+bm-1pm-1+b1p+b0 xi(t)酽锕极額閉镇桧猪訣锥。令B(s)=anpn+an-1pn-1+a1p+a0A(s)=bmpm+bm-1pm-1+b1p+b0彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。初始条件：B0(s)A0(s)则B(s)X0(s)-B0(s)=A(s)Xi(s)-B0(s)Xi(s)=0,由初始条件引起的输出：L-1变换根据稳定性定义，若系统稳定须满足，即zi为负值。系统稳定的充要条件：系统特征方程全部根的实部必须为负。或：系统传递函数的极点全部位于s复平面的左半部

4、。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。讨论：特征根中有一个或以上的根的实部为正系统不稳定；临界稳定：特征根中有部分为零或纯虚数，而其它根为负数。临界稳定系统属于不稳定。若，则系统不稳定。零点对稳定性无影响。零点仅反映外界输入对系统的作用，而稳定性是系统本身的固有特性。稳定性判定方法：a)直接求解出特征方程的根（高阶困难）b)确定特征根在s平面上的分布：时域：Routh判据，胡尔维茨判据频域：Nyquist判据，Bode判据2劳斯（Routh）判据Routh判据在特征方程系数和根之间建立一定关系，以判别特征根分布是否具有负实部。一、必要条件：特征方程：B(s)=anpn+an-1pn-1+a1p+a0=0必要

5、条件：B(s)=0的各项系数ai符号均相同，且不等于0;或an0an-10a10a00（证明）二、充要条件：（Rough稳定性判据）：1、Rough表：将特征方程系数排成两列：偶：anan-2an-4an-6奇：an-1an-3an-5an-7厦礴恳蹒骈時盡继價骚。Rough数列表：（p.124）snanan-2an-4an-6a0sn-1an-1an-3an-5an-7a10茕桢广鳓鯡选块网羈泪。sn-2A1A2A30sn-3B1B2B30s00002、判据：Rough列表中第一列各项符号均为正且不等于0若有负号存在，则发生负号变化的次数，就是不稳定根的个数。例1，已知系统特征方程B(s)=

6、s4+8s3+17s2+16s+5=0试判定其稳定性。解：a4=1a3=8a2=17a1=16a0=5(过程)ai0（i=1，2，3，4，5）Rough列表中第一列(1，8，15，13.3,5)均大于0，故系统稳定。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。例2，已知系统特征方程B(s)=s3-4s2+s+6=0试判定其稳定性。解：有一个负系数，不满足稳定的必要条件，有几个不稳定的根？(过程)有二个负实根，实际上s3-4s2+s+6=（s-2）(s+1)(s-3)例3，已知系统试判定其稳定性。解：B(s)=s5+2s4+14s3+88s2+200s+800=0(过程)符号改变二次，存在两个不稳定的根。例4，设有系

7、统方框图如下，已知=0.2，n=86.6，试确定k取何值时，系统方能稳定。(p.126图)籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。(过程)三、特殊情况：1、Rough列表中任一行第一项为0，其余各项不为0或部分不为0。造成该行的下一行各项变为无穷大，无法进行Rough计算。措施：以任一小正数代替0的那一项，继续计算。例：B(s)=s3-3s+2=0（求解）若用代替后，系统Rough列表第一列均为正，临界稳定（共轭虚根）用因式（s+a）乘特征方程两边，得新的特征方程，进行Rough计算后判断（A为任意正数）。例：B(s)=s3-3s+2=0（求解，取a=3）2、Rough列表任一行全为0。原因：系统特征方程的根出

8、现下列一种或多种情况时会发生。具有相异符号的实数根（如s=2）；虚根时（如s=j5）；共轭复数根时（如）解决：利用全为0这一行的上一行的各项系数组成一个多项式方程（辅助方程）；对辅助方程取导数得一新方程；以新方程的系数取代全为0的哪一行，继续进行Rough计算。例：B(s)=s4+s3-3s2-s+2=0（求解）例：B(s)=s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0（求解）3Nyquist判据时域判据的弱点：工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域判据不能应用；时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴

9、。Nyquist判据特点：图解法：由几何作图判定系统稳定性；由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析法或实验法获得）；可判断系统相对稳定性；可指出各环节对系统稳定性的影响。一、预备知识：1、三种函数的零、极点关系：（Gk(s)、GB(s)、F(s)）(图5.3.1)Gk(s)=G(s)H(s)F(s)=1+G(s)H(s)zi：Gk(s)的零点；pi：Gk(s)的极点。上述各函数零点和极点的关系：（p.131）结论：闭环系统稳定充要条件为GB(s)全部极点具有负实部F(s)函数的全部极点均具有负实部，即通过Gk(s)=G(s)H(s)判断GB(s)的稳定性。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。2、映射概

10、念：设函数F(s)=Re(s)+jIm(s)而s=+j两个函数：F(s)，s两个复平面：F(s)，ss上的每一个点对应F(s)上有一个映射的点，称为像点或映射轨迹。例：已知F(s)=s2，求s=1+j2的像点。F(s)=s2=（1+j2）2=-3+j4即s平面上点（1，j2）在F(s)复平面上的像点为-3，j4(tu2)3、映射定理（幅角原理）：L设F(s)为一有理数，设Ls为s平面上的一封闭曲线（看成点的封闭轨迹），F为F(s)平面上的对应曲线，则：铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。Ls在F(s)平面上的映射轨迹LF，也必然是一条封闭曲线。(tu2)若Ls包围了F(s)的zi个零点和pi个极点，则Ls上

11、某动点s沿Ls顺时针方向转一周时，它在B(s)上的映射轨迹LB将会顺时针方向包围OB原点N次（N=z-p）。(tu2)擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。二、Nyquist判据：1、映射定理的推广：F(s)=1+G(s)H(s)为有理数，满足映射定理。在s上，当s按顺时针方向沿整根虚轴（-j+j）及R=的半径组成的封闭曲线Ls（实际上为s平面的右半部）转一周时，若虚轴上无F(s)的极点，则在Ls在F(s)平面上的映射轨迹LF也将顺时针方向包围原点OB共N次。(tu2)贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。根据闭环系统稳定充要条件，特征方程F(s)=0的根均为负实数或实部为负的复数，即F(s)在s平面右半部无零点，系统稳定下

12、的映射为N=-p坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。复平面下系统稳定的充要条件：若s虚轴上无F(s)=1+G(s)H(s)的极点，则当s沿-j+j按顺时针方向转一周时，其在F(s)平面上的映射轨迹LF也将顺时针方向包围原点OB共N次，系统才能稳定，否则就不稳定。蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。2、N=-p含义的变通：N=-p的实质就是利用特征函数F(s)=1+G(s)H(s)的零、极点分布来判定系统是否稳定，实用上不方便，希望判据建立在开环基础上。買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。含义变通：在N=-p中的F(s)的极点数p，理解为开环G(s)H(s)的极点数；将F(s)平面转换成G(s)H(s)平面；F(s)的原点就是G(s)H

13、(s)的（-1，j0）点。令s=j，则s取值-j+j，变成取值-+。通过上述转换，将N=-p含义重新引申为：N：开环G(s)H(s)轨迹包围（-1，j0）点的次数，即开环轨迹顺，逆时针方向包围（-1，j0）点次数之代数和。綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。P:开环G(s)H(s)在s平面右半部的极点数。2、Nyquist判据：充要条件：当取值-+时，其开环G(j)H(j)轨迹必须逆时针包围（-1，j0）点p次，则系统稳定，否则就不稳定。驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。讨论：a)Nyquist判据在GH平面上判断；过程：s上Nyquist轨迹映射到GH上的Nyquist轨迹G(j)H(j)，根据G(j)H(j)包围（

14、-1，j0）点的次数来判断系统的稳定性。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。pb)应用简单：一般开环系统为最小相位系统，p=0，故只需看开环Nyquist图是否包围（-1，j0）点，不包围则稳定。若开环系统为非最小相位系统，0（开环不稳定），则看Nyquist图是否逆时针包围（-1，j0）点p圈。锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。c)开、闭环稳定性关系：开环不稳定，闭环可能稳定开环稳定，闭环可能不稳定d)绘制开环=0+的Nyquist图即可判断。原因：开环Nyquist图对实轴对称。三、对虚轴存在极点的处理：Nyquist判据中规定开环Gk(s)中不能含有s=0和s=jk（k为实数）的极点，否则，这些极点处的幅角是个不

15、确定值，因而，这些点的映射轨迹也不确定。但工程上大多数Gk(s)会含有s=0或s=jk的极点，此时，Nyquist判据仍可使用，但需对Ls曲线修正。構氽頑黉碩饨荠龈话骛。四、应用举例：1、开环稳定，判断闭环稳定性：Gk(s)在s右半部无极点，p=0，则=0+时Gk(j)不包围（-1，j0）点，即N=0，则系统稳定，否则就不稳定。輒峄陽檉簖疖網儂號泶。例1，0型系统例2，0型系统例3，型系统例4，型系统例5，型系统2、开环不稳定，判断闭环稳定性：对p0，若需闭环稳定，则N=-p，即在取值-+时，Gk(j)逆时针包围（-1，j0）点p次。尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。例：高阶系统四、典型环节对系统稳定性的

16、影响：1、比例环节G(s)=k若Gk(j)-180o,则k无论如何变化，系统总是稳定的；Gk(j)-180o,则kGk(j)随之增大，可能包围（-1，j0）点。2、惯性环节高频时（），G(j)-90o,增加了开环幅角Gk(j)的滞后，对系统稳定不利，惯性环节越多，系统越难稳定。识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。3、导前环节G(s)=Ts+1高频时（），G(j)+90o,减少了开环幅角Gk(j)的滞后，对系统稳定有利。若系统需较多惯性环节时，用导前环节保持其稳定性。4、积分环节高低频均产生90o滞后幅角，对系统稳定性影响大。积分环节越多，系统越不容易稳定。措施：增加导前环节，增加内部负反馈或降低系统“型”号

17、。5、延时环节G(s)=e-s不改变原系统的副频特性，仅使系统的相频特性变化。4系统的相对稳定性绝对稳定性判断出系统属于稳定、不稳定或临界稳定，还不能满足设计要求，应进一步知道稳定或不稳定的程度，即稳定或不稳定离临界稳定尚有多远，才能正确评价系统稳定性能的优劣，此即相对稳定性。凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。一、系统相对稳定性的两个指标：1、两种坐标对应关系：Gk(j)可用极坐标（Nyquist图）和对数坐标（Bode图）表示，二者有对应关系：a)极：单位圆对：零分贝线（幅频特性）相当于：GH=120lgGH=0dBb)极：负实轴对：-180o水平线（相频特性）原因：负实轴上的每一点的幅角都等于-180

18、oc)极：开环轨迹与单位圆的交点c对：幅频特性曲线与零分贝线的交点。交点c处的频率c称为剪切频率、幅值穿越频率、幅值交界频率。d)极：开环轨迹与负实轴的交点g对：相频特性曲线与-180o水平线的交点。交点g处的频率g称为相位穿越频率、相位交界频率。2、幅值和相位裕量：幅值和相位裕量是衡量系统离临界稳定有多远的两个指标。(1)幅值裕量Kg：定义：在相位交界频率g处Gk(j)的倒数。在对数坐标上，讨论：a)若G(jg)H(jg)1,Kg1,即Kg(dB)0系统具有正幅值裕量。若G(jg)H(jg)1,Kg1,即Kg(dB)0系统具有负幅值裕量。b)对最小相位系统p=0，正幅值裕量对应的开环轨迹不包

19、围（-1，j0），闭环稳定，负幅值裕量对应的开环轨迹包围（-1，j0），闭环不稳定。c)Kg实际上是系统由稳定（或不稳定）到达临界稳定点时，其开环传递函数在g处的幅值G(jg)H(jg)需扩大或缩小的倍数。恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。d)一阶、二阶系统幅值裕量为无穷大。原因：其开环轨迹与GH平面的负实轴交于原点，1/Kg=0(2)相位裕量：定义：在c处，使系统达到临界稳定所需附加的幅角滞后量（或超前量）。=G(jc)H(jc)-（-180o）=180o+(c)若0称正相位裕量（正稳定性储备）必在Bode相位图横轴（-180o线）以上，在Nyquist图负实轴以下（第三象限）；若0称负相位裕量（负稳定性储备）3必