第64讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(共9页)

1、第64讲离散型随机变量(su j bin lin)的均值与方差、正态分布知识(zh shi)梳理一、离散型随机变量(su j bin lin)的均值1概念：一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)_为随机变量X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平2性质：若YaXb，其中Y也是随机变量，a，b是常数，随机变量X的数学期望是E(X)，则E(Y)_二、离散型随机变量的方差1概念：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则(xiE(X)2描述了xi(i1，2，3，n)相对于均值E(X)的偏离程度而D(X)_为这些偏离程

2、度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq r(D（X）)为随机变量X的标准差，记(X)2性质：D(aXb)_证明：E(aXb)aE(X)b，D(aXb)(ax1baE(X)b)2p1(ax2baE(X)b)2p2(axibaE(X)b)2pi(axnbaE(X)b)2pna2(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pna2D(X)三、两点分布和二项分布的均值和方差1两点分布的均值和方差：若X服从成功概率为p的两点分布，则均值E(X)_，方差D(X)_2二项分布的均值和方差：若XB(n，

3、p)，则E(X)_，D(X)_四、正态分布1正态密度曲线：函数，(x)eq f(1,r(2)eeq f(（x）2,22)，x(，)，其中和为参数(0，R)我们称函数，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线其中函数，(x)称为正态密度函数，其中的参数是正态总体的均值，参数是正态总体的标准差2正态曲线有以下特点：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x对称；(3)曲线在x处达到峰值eq f(1,r(2)；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；(6)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，越大，

4、曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散的程度3正态分布：若X是一个随机变量，对任给区间(a，b，P(axb)恰好是正态密度曲线下方和x轴上(a，b上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为和2的正态分布，简记为XN(，2)疑难辨析1均值的意义(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均，反映了离散型随机变量取值的平均水平()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随着样本的不同而变化的，样本的均值是随机变量，这是样本的均值和随机变量的均值的差别()2方差的意义(1)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均值的平均程度越小()

5、(2)随机变量的方差是常数，样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本方差是随机变量()3对正态分布的理解(1)如果对于任意实数ab，随机变量X满足P(aXb)eq iin(a,b,)，(x)dx，则称X的分布为正态分布，正态分布完全由参数和确定，不同的和对应着不同的正态分布()(2)正态分布中的参数和完全确定了正态分布，参数就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计；参数2就是随机变量X的方差，它可以用样本的方差去估计()(3)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布()考点一离散型随机变量的均值与方差的求法例1 2012湖北卷

6、根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率 思考流程 (1)条件：各取值范围的概率；目标：求均值与方差；方法：先求分布列(2)条件：已知降水量X至少是300；目标：求条件概率；方法：应用条件概率的公式解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X7

7、00)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P(X900)1P(X900)10.90.1，所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是E(Y)00.320.460.2100.13，D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8，故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8. (2)由概率的加法公式，P(X300)1P(X300)0.7，又P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由条件概率，得P(Y6|X300)P(X900|X300)eq f(P（300X90

8、0）,P（X300）)eq f(0.6,0.7)eq f(6,7).故在降水量X至少(zhsho)是300的条件(tiojin)下，工期延误不超过6天的概率(gil)是eq f(6,7). 点评 计算离散型随机变量的均值和方差，首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据均值与方差的定义计算eq avs4al(归纳总结) 求解离散型随机变量均值与方差的步骤是：求出随机变量X的所有可能的取值计算随机变量X取各个值的概率，列出概率分布列按照均值的定义计算，注意适当使用性质E(aXb)aE(X)b.按照方差的定义计算若随机变量X服从二项分布，即XB(n，

9、p)，则可直接应用公式E(X)np，D(X)np(1p)求解变式题 2013济宁模拟 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，摸出3个白球的概率；获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)解：(1)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i0，1，2，3)，则P(A3)eq f(C32,C52)eq f(C21,C32)eq f(1,5).设“在1次游戏中获奖”为事件

10、B，则BA2A3，A2，A3互斥，P(A2)eq f(C32,C52)eq f(C22,C32)eq f(C31C21,C52)eq f(C21,C32)eq f(1,2)，所以P(B)P(A2)P(A3)eq f(1,2)eq f(1,5)eq f(7,10). (2)方法一：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.P(X0)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(7,10)eq sup12(2)eq f(9,100)，P(X1)C21eq f(7,10)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(7,10)eq f(21,50)，P(X2)eq blc(rc)(avs4alco

11、1(f(7,10)eq sup12(2)eq f(49,100).所以X的分布列是X012Peq f(9,100)eq f(21,50)eq f(49,100)X的数学期望E(X)0eq f(9,100)1eq f(21,50)2eq f(49,100)eq f(7,5).方法二：2次游戏，条件都相同，每次摸球获奖的概率都是eq f(7,10)，相当于2次独立重复试验，则随机变量XBeq blc(rc)(avs4alco1(2，f(7,10)，于是可依次得出P(X0)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(7,10)eq sup12(2)eq f(9,100)，P(X1)C21eq f

12、(7,10)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(7,10)eq f(21,50)，P(X2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,10)eq sup12(2)eq f(49,100)，所以X的分布列是X012Peq f(9,100)eq f(21,50)eq f(49,100)X的数学期望E(X)2eq f(7,10)eq f(7,5).考点二均值与方差的实际应用例22012课程标准卷 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y关于当天需求量n(单位：

13、枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由思考流程(1)条件：已知售价与销量的关系；目标：求函数解析式；方法：分段求解(2)条件：已知日需求量的频率；目标：求分布列、数学期望及方差；方法：频率估计概率，求出X的各取值的概率条件：可求出两随机变量的期望与方差；目标

14、：对两种方案作出选择；方法：比较数学期望与方差解：(1)当日需求量n16时，利润y80，当日需求量n16时，利润y10n80，所以y关于n的函数解析式为yeq blc(avs4alco1(10n80，n16，,80，n16)(nN) (2)X可能的取值为60，70，80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为E(X)600.1700.2800.776.X的方差为D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表

15、示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学(shxu)期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差(fn ch)为D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以(ky)看出，D(X)D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

16、Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花点评 本题通过对生产生活问题的检测，展示了数据的获取、整理、分析过程，对于购进方案的选择，首先应从利润的数学期望进行比较，利润的期望值高，购进方案较好，再比较方差，方差小则获得的利润较稳定 归纳总结解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率；随机变量的均值反映了随机变量取值的平均

17、水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体上刻画了随机变量，是生产生活实际中用于方案取舍的重要方法，一般先比较均值，再考虑方差变式题 现有A，B两个项目，投资A项目100万元，一年后获得的利润为随机变量X1(万元)，根据市场分析，X1的分布列为X11211.811.7Peq f(1,6)eq f(1,2)eq f(1,3)投资B项目100万元，一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整(价格上调或下调)有关，已知B项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是p(0pD(X1)，当投资两个项目的利润均值相同的情况下，投资B项目的风险高于A项目，从获得

18、稳定收益考虑，当p0.3时应投资A项目考点三正态分布的问题例3 2012课程标准卷 某一部件由三个电子元件按图中方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_思考流程 分析：随机变量服从正态分布；推理：利用事件的独立性求概率；结论：求出指定范围的概率 解析(ji x) 方法(fngf)一：设该部件的使用寿命超过1 000小时(xiosh)的概率为P(A)因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000，502)

19、，所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P1eq f(1,2)，P2eq f(1,2)，P3eq f(1,2).因为P(A)P1 P2P3P3eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(5,8)，所以P(A)1P(A)eq f(3,8).方法二：设该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P(A)因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000，502)，所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P1eq f(1,2)，P2eq f(1,2)，P3eq f(1,2).故P(A)P1P2P3P1P2P3P1P2P3eq

20、f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(3,8).点评 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上；解题时应充分利用正态曲线的对称性，曲线与x轴之间的面积为1.eq avs4al(归纳总结) 正态分布是连续型的概率分布，主要是根据正态曲线的对称性解决一些概率和实际问题服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲

21、线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P(x1)P(x2)时必然有eq f(x1x2,2)，这是解决正态分布类试题的一个重要结论变式题 (1)关于正态曲线性质的叙述：曲线关于直线x对称，这个曲线在x轴上方；曲线关于直线x对称，这个曲线只有当x(3，3)时才在x轴上方；曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；曲线在x时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；曲线的对称轴由确定，曲线的形状由确定；越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”上述说法正确的是()A B C D(2)2012保定模拟 设随机变量XN(1，52)，且P(X0)P(Xa2)，

22、则实数a的值为()A4 B6 C8 D10解析 (1)参照正态曲线的性质当x(，)时，正态曲线全在x轴上方，且只有当0时，正态曲线才关于y轴对称，因此知A选项正确(2)由随机变量X服从正态分布N(1，52)，则其正态密度曲线关于直线x1对称P(X0)P(Xa2)，在x轴上数0对应的点与a2对应的点关于直线x1对称，eq f(0（a2）,2)1，解得a4，故选A.习题1.2012湖南卷 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分

23、钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率(注：将频率视为概率)解：(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.2分该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X1)eq f(15,100)eq f(3,20)，P(X1.5)eq f(30,100)

24、eq f(3,10)，P(X2)eq f(25,100)eq f(1,4)，P(X2.5)eq f(20,100)eq f(1,5)，P(X3)eq f(10,100)eq f(1,10).6分X的分布列为X11.522.53Peq f(3,20)eq f(3,10)eq f(1,4)eq f(1,5)eq f(1,10)X的数学期望为E(X)1eq f(3,20)1.5eq f(3,10)2eq f(1,4)2.5eq f(1,5)3eq f(1,10)1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i1，2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)P(X11且

25、X21)P(X11且X21.5)P(X11.5且X21)由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)P(X11)P(X21)P(X11)P(X21.5)P(X11.5)P(X21)eq f(3,20)eq f(3,20)eq f(3,20)eq f(3,10)eq f(3,10)eq f(3,20)eq f(9,80).11分故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为eq f(9,80).12分方法解读 离散型随机变量及其分布、数字特征等都离不开概率的计算，在计算概率时要善于根据问题的实际情况把概率归结事件的分析和基本的概率模型(1)根据(gnj)统计表

26、和100位顾客(gk)中的一次购物量超过8件的顾客(gk)占55%知，购物量超过8件的有55人，购物量不超过8件的有45人，再用频率估计概率，计算随机变量每一个取值对应的概率，从而求得分布列和期望；(2)通过分析各结算相互独立，判断事件之间相互独立，化归为独立事件的概率求解2.2012豫北六校联考 当前人们普遍认为拓展训练是一种挑战极限、完善人格的训练，某大学生拓展训练中心着眼于大学生的实际情况，精心设计了三个相互独立的挑战极限项目，并设置如下计分办法：项目甲乙丙挑战成功得分103060挑战失败得分000据调查，大学生挑战甲项目的成功概率为eq f(4,5)，挑战乙项目的成功概率为eq f(3

27、,4)，挑战丙项目的成功概率为eq f(1,2).(1)求某同学三个项目至少一项挑战成功的概率；(2)记该同学挑战三个项目后所得分数为X，求X的分布列并预测该同学所得分数的数学期望解：(1)甲乙丙这三个项目至少一项挑战成功的概率P1eq blc(rc)(avs4alco1(1f(4,5)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)1eq f(1,40)eq f(39,40).(2)由题意，X的可能取值为0，10，30，40，60，70，90，100.P(X0)eq f(1,5)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,

28、40)，P(X10)eq f(4,5)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,10)，P(X30)eq f(1,5)eq f(3,4)eq f(1,2)eq f(3,40)，P(X40)eq f(4,5)eq f(3,4)eq f(1,2)eq f(3,10)，P(X60)eq f(1,5)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,40)，P(X70)eq f(4,5)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,10)，P(X90)eq f(1,5)eq f(3,4)eq f(1,2)eq f(3,40)，P(X100)eq f(4,5)eq f(3,4)eq f(1,

29、2)eq f(3,10).所以X的分布列为X0103040607090100Peq f(1,40)eq f(1,10)eq f(3,40)eq f(3,10)eq f(1,40)eq f(1,10)eq f(3,40)eq f(3,10)E(X)0eq f(1,40)10eq f(1,10)30eq f(3,40)40eq f(3,10)60eq f(1,40)70eq f(1,10)90eq f(3,40)100eq f(3,10)60.5(分)所以该同学所得分的数学期望为60.5分3. 2012北京东城区二模 某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算

30、)甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为eq f(1,4)，eq f(1,2)；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为eq f(1,2)，eq f(1,4)；两人租车时间都不会超过三小时(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望E(X)解：(1)甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元都付2元的概率为P1eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,8)，都付4元的概率为P2eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,8)，都付6元的概率为P3eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(

31、1,16)，故所付费用相同的概率为PP1P2P3eq f(1,8)eq f(1,8)eq f(1,16)eq f(5,16). (2)依题意，X的可能取值为4，6，8，10，12.P(X4)eq f(1,8)，P(X6)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(5,16)，P(X8)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(5,16)，P(X10)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(3,16)，P(X12)eq f(1,4)eq f(

32、1,4)eq f(1,16).故X的分布列为X4681012Peq f(1,8)eq f(5,16)eq f(5,16)eq f(3,16)eq f(1,16)所求数学期望E(X)4eq f(1,8)6eq f(5,16)8eq f(5,16)10eq f(3,16)12eq f(1,16)eq f(15,2).4.某单位为了提高员工素质，举办了一场跳绳比赛，其中男员工12人，女员工18人，其成绩编成如图所示的茎叶图(单位：分)，分数在175分以上(含175分)者定为“运动健将”，并给予特别奖励，其他人员则给予“运动积极分子”称号(1)若用分层抽样的方法从“运动健将”和“运动积极分子”中抽取1

33、0人，然后再从这10人中选4人，求至少有1人是“运动健将”的概率；(2)若从所有“运动健将”中选3名代表，用X表示所选代表中女“运动健将”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望解：(1)根据(gnj)茎叶图，有“运动健将(yn dn jin jin)”12人，“运动(yndng)积极分子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为eq f(10,30)eq f(1,3)，所以选中的运动健将有12eq f(1,3)4人，运动积极分子有18eq f(1,3)6人，设事件A：至少有1名“运动健将”被选中，则P(A)1eq f(C64,C104)1eq f(1,14)eq f(13,14).

34、(2)由茎叶图知，男“运动健将”有8人，女“运动健将”有4人，故X的取值为0，1，2，3.P(X0)eq f(C83,C123)eq f(14,55)，P(X1)eq f(C82C41,C123)eq f(28,55)，P(X2)eq f(C81C42,C123)eq f(12,55)，P(X3)eq f(C43,C123)eq f(1,55).X的分布列为X0123Peq f(14,55)eq f(28,55)eq f(12,55)eq f(1,55)E(X)0eq f(14,55)1eq f(28,55)2eq f(12,55)3eq f(1,55)1.课后习题（离散型随机变量的均值与方差

35、、正态分布）12013漳州模拟 已知X的分布列为X101Peq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,6)设Y2X3，则E(Y)的值为()A.eq f(7,3) B4 网C1 D12设X为随机变量，XBeq blc(rc)(avs4alco1(n，f(1,3)，若随机变量X的数学期望E(X)2，则P(X2)等于()A.eq f(13,16) B.eq f(4,243) C.eq f(13,243) D.eq f(80,243)32013蚌埠质检 若N(2，2)，且P(40)的值为()A0.2 B0.3 C0.7 D0.842013郑州检测 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表

36、：x123P(x)？！？请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E_52013西安远东一中月考 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200 C300 D4006某个数学兴趣小组有女同学3名，男同学2名，现从这个数学兴趣小组中任选3名同学参加数学竞赛，记X为参加数学竞赛的男同学与女同学的人数之差，则X的数学期望为()Aeq f(3,5) B.eq f(2,5) C.eq f(3,5) Deq f(2

37、,5)72013临沂二模 某校在模块考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩N(90，a2)(a0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的eq f(3,5)，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为()A200 B300 C400 D60082013赣州质检 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c(0，1)，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A.eq f(1,48) B.eq f(1,24) C.eq f(1,12) D.eq f(1,6)9有10张

38、卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是()A7.8 B8 C16 D15.610某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)设某学生对每道题答对的概率都为eq f(2,3)，则该学生在面试时得分的期望值为_分11袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)_12已知某随机变量的概率分布列如下表，其中x0，y0，随机变量的方差Deq f(1,2)，则xy_.123Pxyx13.某

39、保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为_元14某校从高二年级4个班中选出18名学生参加全国数学联赛，学生来源人数如下表：班别高二(1)班高二(2)班高二(3)班高二(4)班人数4635(1)从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班的概率；(2)若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高二(1)班的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)15某公司(n s)准备将100万元资金投入代理(dil)销售业务，现有A，B两个(lin )项目可供选

40、择(i)投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的数学期望E(X1)12；(ii)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0p1)和1p.经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示：X(次)012X2(万元)4.1211.7620.40(1)求a，b的值；(2)求X2的分布列；(3)若E(X1)E(X2)，则选择投资B项目，求此时p的取值范围16(12分)2013江苏卷

41、 设为随机变量从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1.(1)求概率P(0)；(2)求的分布列，并求其数学期望E.课后习题答案（离散型随机变量的均值与方差、正态分布）1A解析(ji x) E(X)eq f(1,2)eq f(1,6)eq f(1,3)，E(Y)E(2X3)2E(X)3eq f(2,3)3eq f(7,3)，故选A.2D解析(ji x) XBeq blc(rc)(avs4alco1(n，f(1,3)，E(X)eq f(n,3)2，即n6，P(X2)Ceq oal(2,6)eq blc(rc)(avs4a

42、lco1(f(1,3)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(4)eq f(80,243)，故选D.3A解析(ji x) 由随机变量N(2，2)，则其正态密度曲线关于直线x2对称P(42)0.3，P(20)P(40)eq f(1,2)1P(20)P(42)0.2，故选A.42解析 设“？”处数值为t，则“！”处的数值为12t，所以Et2(12t)3t2.【能力提升】5B解析 记“不发芽的种子数为”，则B(1 000，0.1)，所以E1 0000.1100，而X2，则E(X)E(2)2E200，故选B.6A解析 X的可能取值为3，1，1，P(

43、X3)eq f(Ceq oal(3,3),Ceq oal(3,5)eq f(1,10)，P(X1)eq f(Ceq oal(2,3)Ceq oal(1,2),Ceq oal(3,5)eq f(6,10)，P(X1)eq f(Ceq oal(1,3),Ceq oal(3,5)eq f(3,10)，所以E(X)(3)eq f(1,10)(1)eq f(6,10)1eq f(3,10)eq f(3,5)，故选A.7A解析 由数学考试成绩N(90，a2)，则其正态曲线关于直线x90对称又成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的eq f(3,5)，由对称性知，成绩在110分以上的人数约为总人数的eq

44、 f(1,2)1eq f(3,5)eq f(1,5)，此次数学考试成绩不低于110分的学生约有1 000eq f(1,5)200(人)，故选A.8D解析 设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为X320PabcE(X)3a2b22eq r(3a2b)，所以abeq f(1,6)，当且仅当3a2b时，等号成立，故选D.9A解析 X的取值为6，9，12，相应的概率P(X6)eq f(Ceq oal(3,8),Ceq oal(3,10)eq f(7,15)，P(X9)eq f(Ceq oal(2,8)Ceq oal(1,2),Ceq oal(3,10)eq f(7,15)，P(X12)eq f(Ceq oal(1,8)Ceq oal(2,2),Ceq oal(3,10)eq f(1,15)，E(X)6eq f(7,15)9eq f(7,15)12eq f(1,15)7.8.1015解析 设面试时得分为随机变量，由题意，的取值可以是15，0，15，30，则P(15)1eq f(2,3)3eq f(1,27)，P(0)Ceq oal(1,3)1eq f(2,3)2eq f(2,3)eq f(2,9)，P(15)Ceq oal(2,3)1eq f(2,3)eq f(2,3)2eq f