第二讲直方图

1、什么(shn me)是灰度级的直方图呢？ 简单地说，灰度级的直方图就是反映(fnyng)一幅图像中的灰度级与出现这种灰度的概率之间的关系的图形，是图像重要的统计特征。 灰度直方图是图像的一种统计表达，它反映了该图中不同灰度级出现的统计概率。共五十三页在灰度级中， r = 0 代表(dibio)黑， r = 1 代表白。 设变量(binling) r 代表图像中像素灰度级。在图像中，像素的灰度级可作归一化处理，这样，r 的值将限定在下述范围之内:(44)共五十三页 对于一幅给定的图像来说，每一个像素取得0，1区间(q jin)内的灰度级是随机的，也就是说 是一个随机变量。假定对每一瞬间它们是连续

2、的随机变量，那么，就可以用概率密度函数 来表示原始图像的灰度分布。共五十三页 为了有利于数字图像处理，必须(bx)引入离散形式。在离散形式下，用 rk 代表离散灰度级，用 Pr(rk) 代表 pr(r) ，并且有下式成立： 式中，nk为图像中出现rk 这种灰度的像素数，n 是图像中像素总数，而 就是概率论中所说(su shu)的频数。在直角坐标系中作出 rk 与Pr(rk) 的关系图形，这个图形称为直方图。共五十三页 灰度级的直方图 共五十三页我们注意到在暗色的图像中，直方图的组成成分集中在灰度级低（暗）的一侧；反之，明亮的图像的直方图的组成成分则集中在灰度级高（亮）的一侧；动态范围小，也就是

3、对比度小，这种图像直方图集中于灰度级的中部；动态范围正常的图像直方图的成分覆盖了灰度级很宽的范围。直观上，若一图像像素占有全部可能的灰度级并且(bngqi)分布均匀，则图像有高的对比度和多变的灰度色调，即，可通过改变直方图的形状来达到增强图像对比度。共五十三页7直方图修正(xizhng) 直方图均衡化 直方图规定(gudng)化 常用的方法：直方图变换后可使图像的灰度间距拉开或使灰度分布均匀，从而增大对比度，使图像细节清晰，达到增强的目的。对于离散的图像，用频率来代替概率 。共五十三页直方图均衡化 直方图均衡化是一种典型的通过对图像的直方图进行修正来获得图像增强效果的自动方法(fngf)。图像

4、的灰度直方图是一个1-D的离散函数灰度累积直方图也是一个1-D的离散函数 共五十三页直方图均衡化直方图均衡化主要用于增强动态范围偏小的图像的反差。基本思想(sxing)是把原始图的直方图变换为在整个灰度范围内均匀分布的形式，增加了像素灰度值的动态范围，从而达到增强图像整体对比度的效果。更一般的（归一化的）概率表达形式：（图像灰度统计直方图） 共五十三页共五十三页11直方图均衡化把原始(yunsh)图的直方图变换为均匀分布的形式需要一个变换函数即增强函数T。该变换函数T满足2个条件：（1）T单值单增函数。（2）对 应 ， 有则有：共五十三页直方图均衡化上面的2个条件(tiojin)保证了： 第1

5、个条件保证逆变换存在，且原图像各灰度级在变换后仍保持从黑到白的排列次序，防止变换后的图像出现一些反转的灰度级。第2个条件保证变换前后灰度值动态范围的一致性，也可以说原图像和变换后图像有着同样的灰度级范围。共五十三页一幅图像的灰度级可视为区间0,L-1上的随机变量，可以证明累积分布函数（CDF）满足上述2个条件并能将r中的原始(yunsh)分布转换为s中的均匀分布。事实上r的CDF就是原始图像的累计直方图。直方图均衡化中T：共五十三页直方图均衡(jnhng)-流程1. 统计原始图像的直方图： 其中， 是归一化的输入图像灰度级。2. 计算直方图累积分布曲线3. 用累积分布函数作变换函数进行图像灰度

6、变换：根据计算得到的累积分布函数，建立输入图像与输出图像灰度级之间的对应关系，即重新定位累计分布函数 （与归一化灰度等级 比较(bjio)，寻找最接近的一个作为原灰度级k变换后的新灰度级）。 共五十三页的pk共五十三页 例如：假定有一幅像素数为6464，灰度级为8级的图像，其灰度级分布(fnb)、其灰度级直方图如下表、下图所示。对其进行均衡化处理，画出均衡化处理之后的直方图。 直方图均衡化例题(lt)共五十三页r0 =07900.19r1=1/710230.25r2=2/78500.21r3=3/76560.16r4=4/73290.08r5=5/72450.06r6=6/71220.03r7

7、=1810.026464的图像(t xin)各灰度级对应的概率分布表 共五十三页18直方图均衡化原始图像(t xin)各灰度级对应的概率分布灰度级01234567像素790102385065632924512281概率0.190.250.210.160.080.060.030.02例共五十三页共五十三页20直方图均衡化图像直方图均衡化过程如下：（1）得到(d do)变换后的值：依此类推(y c li tu)，即可得到 例解：共五十三页21直方图均衡化（2）用式 将 扩展(kuzhn)到 范围内并取整，得：(3)将相同(xin tn)值的归并起来,得: 例共五十三页22直方图均衡化（4）变换(b

8、inhun)后5个灰度级的像素数 (5) 新灰度级分布(fnb) 例共五十三页直方图均衡(jnhng)-示例1共五十三页图像(t xin)的灰度级分布 k01234567rk01/72/73/74/75/76/71nk790102385065632924512281pr(rk)0.190.250.210.160.080.060.030.02Sk0.190.440.650.810.890.950.981Sk1/73/75/76/76/7111Sk1/73/75/76/71nsk7901023850985448pr(sk)0.190.250.210.240.11共五十三页25直方图均衡化 结果(j

9、i gu)原始(yunsh)直方图变换函数直方图均衡化结果共五十三页26直方图均衡化 效果(xiogu) 原图(yun t)均衡化后效果图共五十三页 因为直方图是近似的概率密度函数，所以用离散灰度级作变换时很少能得到完全平坦的结果。另外，从上例中可以看出变换后的灰度级减少了，这种现象叫做“简并”现象。由于简并现象的存在(cnzi)，处理后的灰度级总是要减少的。这是像素灰度有限的必然结果。由于上述原因，数字图像的直方图均衡只是近似的。 共五十三页产生简并现象的根源是利用变换公式 求新灰度时，所得到的 往往不是(b shi)允许的灰度值，这时就要采用舍入的方法求近似值，以便用与它最接近的允许灰度来

10、代替它。在舍入的过程中，一些相邻的 值变成了相同的 值，这就发生了简并现象，于是也就造成了一些灰度层次的损失。那么简并现象(xinxing)如何产生？如何减少呢？共五十三页 减少简并现象的简单方法是增加像素的比特数。比如(br)，通常用8bit来代表一个像素，而现在用12bit来表示一个像素，这样就可减少简并现象发生的机会，从而减少灰度层次的损失。另外，采用灰度间隔放大理论的直方图修正法也可以减少简并现象。这种灰度间隔放大可以按照眼睛的对比度灵敏度特性和成像系统的动态范围进行放大。 减少(jinsho)简并现象的方法共五十三页 直方图均衡化处理方法是行之有效的增强方法之一，但是由于它的变换函数

11、采用的是累积分布函数，因此正如前面所证明的那样，它只能产生近似(jn s)均匀的直方图这样一种结果。这样就必须会限制它的效能。4.1.4 直方图规定(gudng)化处理 有时需要具有特定的直方图的图像，以便能够对图像中的某些灰度级加以增强。直方图规定化方法就是针对上述思想提出来的一种直方图修正增强方法。直方图规定化共五十三页 假设 pr(r ) 是原始图像灰度分布的概率密度函数， pz(z ) 是希望(xwng)得到的图像的概率密度函数。如何建立 pr(r ) 和 pz(z ) 之间的联系是直方图规定化处理的关键。 所以，直方图规定化处理的关键思路(sl)是寻找一个 pr(r ) 和 pz(z

12、 ) 间的中介，在 pr(r ) ， pz(z )间搭建一座桥梁，建立 r 与 z 的关系。 共五十三页 首先对原始(yunsh)图像进行直方图均衡化处理，即： (416) 假定已经得到了所希望的图像(t xin)，并且它的概率密度函数是 。 对这幅图像也作均衡化处理，即：式 4-2式 4-1共五十三页因为对于(duy)两幅图同样做了均衡化处理，所以 和 具有同样的均匀密度。其中上式的逆过程为： (418) 这样(zhyng)，如果用从原始图像中得到的均匀灰度级 来代替逆过程中的 ，其结果灰度级将是所要求的概率密度函数 的灰度级。 共五十三页根据以上思路，可以总结出直接直方图规定化增强处理的步

13、骤如下：(1)、用直方图均衡化方法将原始图像(t xin)作均衡化处理(2)、规定希望的灰度概率密度函数 ，并用式求得变换函数 ； 共五十三页 (3)、将逆变换函数 用到步骤(1)中所得到的灰度级。（4）、 这样，就实现了r与z的映射关系(gun x)。以上三步得到了原始图像的另一种处理方法。在这种处理方法中得到的新图像的灰度级具有事先规定的概率密度函数。共五十三页原始(yunsh)直方图数据 共五十三页规定(gudng)的直方图数据 共五十三页均衡化处理(chl)后的直方图数据 共五十三页（1）对原始图像进行直方图均衡化映射处理的数 值列于表栏目内。（2）利用下式计算(j sun)变换函数。

14、计算步骤如下： 直方图规定(gudng)化例共五十三页共五十三页以此类推(y c li tu)求得： （3）用直方图均衡化中的 sk 进行(jnxng) G 的反变换求z 。 共五十三页这一步实际上是近似过程(guchng)。也就是找出 与 的最接近的值。例如：与它最接近的是 所以可写成 用这样方法可得到下列变换值，共五十三页（4）用 找出 r 与 z 的映射(yngsh)关系 共五十三页共五十三页结果(ji gu)直方图数据 （5）根据这样的映射重新分配像素，并用(bn yn) n=4096去除，可得到最后的直方图。 共五十三页图47 直方图规定(gudng)化处理方法 共五十三页47直方图

15、规定(gudng)化结果(ji gu)原始直方图规定直方图结果直方图共五十三页直方图规定化-示例(shl)列表共五十三页49直方图规定(gudng)化效果(xiogu)原始图像规定直方图规定化后直方图规定化后的图像 共五十三页由图可见，结果直方图并不很接近希望的形状，与直方图均衡化的情况一样，这种误差是多次近似造成的。只有在连续的情况下，求得准确的反变换函数才能得到准确的结果。在灰度级减少时，规定的和最后得到的直方图之间的误差趋向于增加。但是实际处理效果表明，尽管(jn gun)是一种近似的直方图也可以得到较明显的增强效果。共五十三页 利用直方图规定化方法进行图像增强的主要困难(kn nn)在

16、于如何构成有意义的直方图。一般有两种方法，一种是给定一个规定的概率密度函数，如高斯，瑞利等函数。另一种方法是规定一个任意(rny)可控制的直方图，其形状可由一些直线所组成，得到希望的形状后，将这个函数数字化。共五十三页52直方图规定(gudng)化灰度级01234567概率0.00.000.000.200.600.000.2灰度级01234567像素790102385065632924512281概率0.190.250.210.160.080.060.030.02例原始(yunsh)图像各灰度级对应的概率分布已知规定直方图概率分布如下,求出结果直方图 ？共五十三页内容摘要什么是灰度级的直方图呢。灰度直方图是图像的一种统计表达(biod)，它反映了该图中不同灰度级出现的统计