21.1.2一元二次方程的概念（1）

1、第二十一章 一元二次方程21.1一元二次方程(1) ?问题情景(1)问题(1) 有一块矩形铁皮,长100,宽50,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?10050 x3600分析:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .(100-2x)cm(50-2x)cm根据方盒的底面积为3600cm2,得即21.1.2一元二次方程的概念（1）一元一次方程与一元二次方程有什么联系与区别？ax+b=0 (a0）ax2+bx+c=0 (a0）整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1未

2、知数最高次数是2 ?42x2+x+4=021-4y2+2y=0-4203x2-x-1=03-1-1抢答：4x2-5=040-5m-31-m-m3x(x-1)=5(x+2)(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m3)3-8-10解：设竹竿的长为x尺,则门的宽 度为 尺,长为 尺,依题意得方程：例3.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽尺，竖着比门框高尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多很多刚好进去了你知道竹竿有多长吗？请根据这个问题列出方程(x4)2 (x2)2 x2即x212 x 20 04尺2尺xx4x2(x4)(x2)1.关于x的方程(

3、k3)x2 2x10,当k 时，是一元二次方程2.关于x的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当k 时，是一元二次方程当k 时，是一元一次方程3113.m为何值时，方程（m-1）xm2+1+3x+2=0是关于x的一元二次方程？4.若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。练习巩固 1.本节学习的数学知识是：2、学习的数学思想方法是 3、如何理解一元二次方程的一般形式 (a0)？（1）（2）（1）（2）一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式 转化、建模思想。(a0)是成为一元二次方程的必要条件找一元二次方程的二次项、一

4、次项系数及常数项要先化为一般式一元一次方程与一元二次方程有什么联系与区别？ax+b=0 (a0）ax2+bx+c=0 (a0）整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1未知数最高次数是2 ? ?问题(2) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?问题情景(2)分析:全部比赛共47=28场设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场, 因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 场.(x-1)即一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为m，宽为m如果地毯中央

5、长方形图案的面积为m2 ，则花边多宽?你怎么解决这个问题？问题情景(3)解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程： （82x）（52x） (8 2x) (5 2x) = 18.5xxxx （82x）（52x）818m2数学化问题情景(3)21.1.2一元二次方程的概念（1）x8m110m7m6m解：由勾股定理可知，滑动前梯 子底端距墙m如果设梯子底端滑动X m，那么滑 动后梯子底端距墙m根据题意，可得方程：72(X6)21026X6如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多

6、少米？10m数学化问题情景(4)由上面四个问题，我们可以得到四个方程：(8-2x)(5-2x)=18;即 2x2 13x 11 = 0 .(x)22102即 x2 12 x 15 0.上述四个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方程和分式方程有什么区别？特点:都是整式方程;只含一个未知数;未知数的最高次数是2.1、上面四个方程整理后含有 _未知数,它们的最高次数 是 _ ,等号两边是 _ 式。2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？ 请定义。一个2整一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。 都是整

7、式方程; 只含一个未知数;未知数的最高次数是2.即：一元二次方程的共同特点:一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把(a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。为什么要限制a0，b,c可以为零吗？想一想 a x 2 + b x + c = 0(a 0)二次项系数一次项系数常数项例1： 判断下列方程是否为一元二次方程？(1)x2+x =36(2) x3+ x2=36(3)x+3y=36(5) x+1=0下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？(2)2x25xy6y0(5)x22x31x2(1)7x26x0解: (1)、 (4) (3)2x2

8、 1 0 13x(4) 0y22练习巩固 1.关于x的方程(k3)x2 2x10,当k时，是一元二次方程2.关于x的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当k 时，是一元二次方程当k 时，是一元一次方程3113.m为何值时，方程（m-1）xm2+1+3x+2=0是关于x的一元二次方程？4.若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。练习巩固 例2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：3x25x10 x2 x80或7x2 0 x4035111870 435 111870 4或7x2 4

9、070 47x2 4042x2+x+4=021-4y2+2y=0-4203x2-x-1=03-1-1抢答：4x2-5=040-5m-31-m-m3x(x-1)=5(x+2)(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m3)3-8-1021.1.2一元二次方程的概念（1）解：设竹竿的长为x尺,则门的宽 度为 尺,长为 尺,依题意得方程：例3.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽尺，竖着比门框高尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程(x4)2 (x2)2 x2即x212 x 20 04尺2尺xx4

10、x2数学化(x4)(x2)1.根据题意，列出方程：（）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x5) m,宽为(x2) m，依题意得方程： (x5) (x2) 54即x2 7x44 025xxX5X254m2练习巩固 2.三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？x (x1) x(x2) (x1) (x2) 242. x2 2x8 00.即解：设第一个数为x，则另两个数分别为x, x2，依题意得方程：一元一次方程与一元二次方程有什么联系与区别？ax+b=0 (a0）ax2+bx+c=0 (a0）整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1未知数最高次数是2 ?1.本节学习的数学知识是：2、学习的数学思想方法是 3、如何理解一元二次方程的一般形式 (a0)？（1）（2）（1）（2）一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式 转化、建模思想。(a0)是成为一元二