第二章概率（原稿）

1、第二章 概率11随机变量及其概率分布（一）学习目标：1通过实例分析，理解随机变量的概念，能写出离散型变量（有限值）的可能值，并能解释其意义2理解随机变量分布列的概念、了解其性质，会求分布列学习过程：活动一（背景引入）复习：随机事件及其概率古典概型的特征背景：在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵树是0，1，2，10中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3，4，5，6中的某一个数；新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果是0和1中的某个数思考：（1）在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示这个数在随机试验前是否是预先确定的

2、?（2）在不同的随机试验中，结果是否不变?（3）观察，概括出它们的共同特点活动二（随机变量的概念）思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 随机变量：定义：表示方法：思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？思考3：在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是0, 1, 2 , 3, 4 利用随机变量可以表达一些事件例如X=0表示“抽出0件次品” , X =4表示“抽出4件次品”等你能说出X 3 在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品

3、”又如何用 X 表示呢？例1写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1) 一实验箱中装有标号为1，2，3，4，5的五只白鼠,从中任取一只,记取到的白鼠的标号为Y；（2）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数；（3）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数活动三（随机变量的分布列的概念）思考4：如何求随机变量取值的概率？1随机变量分布列的定义：假定随机变量X有个不同的取值,它们分别是且P(X=xi)=pi ,i=1,2,n,称为随机变量X的概率分布列,简称X的分布列2概率分布表将用表的形式表示如下

4、:此表称为随机变量X的概率分布表3分布列的性质:概率分布列中满足以下两个条件例2从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球,用X表示 “取到的白球个数”,即 求随机变量X的概率分布4 两点分布如果随机变量X只取两个可能值_0_和_1_,则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布,并记为X0-1或X两点分布其概率分布表为:X01P1-pp活动四（求随机变量及其分布列）例3同时掷两颗质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数,求两颗骰子中出现的较大点数X的概率分布,并求X大于2小于5的概率(2X 4”表示的试验结果是什么？ 答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-55，

5、也就是说“4”就是“=5”所以，“4”表示第一枚为6点，第二枚为1点 2一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的概率分布列3甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率设随机变量为这五名志愿者中参加A的岗位服务的人数，求的分布列4现有10张奖券,其中8张为2元,2张为5元,从中同时任取3张,求所得金额的概率分布21随机变量及其概率分布（二）学习目标：巩固随机变量及其分布列的概念，会求随机变量的分布列；掌握随

6、机变量分布列的两个性质并能应用其解决简单的实际问题学习过程：活动一（复习巩固）1随机变量的概念：2随机变量的分布列的概念及其性质：两点分布：例1写出下列随机变量的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果一个袋中装有8个红球,3个白球,从中任取5个球,其中所含白球的个数为X;一个袋中有5个相同大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个球,取出的球的最大号码记为X活动二（求简单的随机变量的分布列）例2从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱子中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的概率分布

7、变题: 将题中 “取出一个黑球赢2元”改为 “赢1元”其他不变,该如何解答?例3从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为的分布列例4掷两枚骰子,设掷得的点数和为随机边变量X;求X的概率分布;求 “点数和大于8”的概率;求 “点数和不超过6”的概率活动四（随机变量分布列性质的应用）例5设随机变量的分布列（1）求常数的值；（2）求； （3）求例6一个盒子里有9个正品和3个次品零件,每次取一个零件,如果取出的是次品则放回重取，如果取出的是正品就不再放回,求在取得正品之前已取出的次品数X的概率分布,并求P活动五活动五课堂小结与自我检测一课题小结如何求随机变量的分布列？二课

8、堂检测1已知随机变量X的分布列为则 2设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量Y描述1次试验的成功次数,则P(Y=0)= 3随机变量的概率分布如下:123456P020350101502则(1) =_;(2)P(3)=_(3)P()=_4 将3个小球任意放入4个大玻璃杯中去，杯子中球的最多个数记为，求的分布列备选题：1随机变量可能的取值的集合为-2,0,3,5,且P(=-2)=,P(=3)=,P(=5)= ,则P(=0)的值为_2100件产品中有10件次品,从中任意抽取4件,设可能含有的次品的件数为X,则X的可能取值为_3设随机变量只能取5，6，7，16这12个值，且取每个值的概率相同，则

9、 = 4某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停考,若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为,用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求随机变量的分布列5袋中有3个白球，3个红球和5个黑球从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分求所得分数的概率分布解 得分的取值为-3，-2，-1，0，1，2，3=-3时表示取得3个球均为红球， P（=-3）=；=-2时表示取得2个红球和1个黑球，P（=-2）=；=-1时表示取得2个红球和1个白球，或1个红球和2个黑球，P（=-1）=；=0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，

10、P（=0）=；=1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，P（=1）=；=2时表示取得2个白球和1个黑球，P（=2）=；=3时表示取得3个白球，P（=3）=；所求概率分布为：-3-2-10123P22超几何分步学习目标：通过实例，理解超几何分步及其特点；通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能进行简单的应用学习过程：活动一（背景引入）问题1某校组织了一次主题为“认识大自然”的夏令营活动，有10名学生参加，其中6名男生，4名女生，为了活动的需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，那么其中恰有1名女生的概率有多大？并求抽取的三名同学中女生人数的概率分布问题2假

11、设一批产品共有100件，其中有5件不合格品，随机取出10件产品，求抽取的10件产品中不合格品的概率分布思考：（1）这两个问题有什么共同特点？ （2）对问题2，推广到一般情形，假设一批产品共有件，其中有件不合格品，随机取出件产品，求抽取的件产品中不合格品的概率分布活动二（超几何分布）1假设一批产品共有件，其中有件不合格品，随机取出件产品，则抽取的件产品中不合格品的概率分布为：,其中，且称分布列X01P为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从参数为的超几何分布，记为，并将记为2说明：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布种的参数是；（3）记号中各

12、个字母的含义：活动三（应用）高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除了颜色外完全相同,一次从中摸出5个球摸到4个红球一个白球就中一等奖,那么中一等奖的概率是多少?思考：如何判断一个实际问题是否为超几何分布？生产方提供50箱的一批产品,其中有2箱是不合格产品,采购方接受该批产品的准则是：从该产品中任取5箱产品进行检测,若至多有1箱不合格产品,便接受该批产品问：该批产品被接受的概率是多少?从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张,求至少有3张A的概率变题1：求至少有2张A的概率；变题2：求至多有2张A的概率活动四（课堂小结）如何判断一个实际问题是否

13、为超几何分布？活动五（自我检测）1一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，求其中出现次品的概率2从4名男生和2名女生任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，（1）求的分布列 （2）求“所选3人中女生人数”的概率备选题：1设袋中有80个红球，20个白球，若从中取10个球，求其中恰有6个红球的概率2有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，求二级品不多于1台的概率3从含有5件次品的100件产品中任取3件，试求：取到的次品数的分布列；至少取到1件次品的概率4在某年级的联欢会上设计了一个摸球游戏，在一个口袋中装有10个红球和

14、20个白球，这些球除颜色外完全相同一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖,求中奖的概率思考：如果要将这个游戏的中奖率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？ 231条件概率学习目标：通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义；掌握一些简单的条件概率的计算；体会由特殊到一般，再由一般到特殊的探究方法学习过程：活动一（背景引入）抛掷一枚质地均匀的硬币两次问题1两次都是正面向上的概率是多少？问题2在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？问题3在第一次出现正面向上的条件下，第2次出现正面向上的概率是多少？思考：上述三个问题有什么区别？它们之间有什么关系？活动二（条件概率的

15、定义）定义：一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率记为P ( A|B）思考1试举出几个条件概率的例子思考2若事件A与B互斥,则P(A|B)等于多少?思考3在问题1，2中，设“两次抛掷硬币，其中有一次正面向上”为事件B，“两次抛掷硬币都是正面向上”为事件A，则P(A|B)表示什么事件？分别求出 P(A|B),探求这三者之间有什么关系？能推广到一般情形吗？活动三（条件概率的运算）条件概率的公式:条件概率公式的变形:例1抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S=1,2,3,4,5,6,令事件A=2,3,5,B=1,2, 4,5,6

16、,求P(A),P(B),P(A|B)例2一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P（AB），P（AB）例3在一个盒子中有大小一样的20个球,其中10个红球,10个白球求第1个人摸出1个红球,紧接着第2个人摸出1个白球的概率活动四课堂小结与自我检测一课题小结什么是条件概率？如何求条件概率？二自我检测1从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽1张,已知第1次抽到A,求第2次也抽到A的概率2设某种动物出生后,能活到20岁的概率为08,活到25

17、岁的概率是04,现有一只20岁的这种动物,求它能活到25岁的概率?3在5道题中有3道理科题和2道文科题如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l）第1次抽到理科题的概率； (2）第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率备选题：1一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从09中任选一个某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： (1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率； (2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率21号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出

18、一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球P（B）=，P（）=1-P（B）=，P（A|B）=3已知100件产品中有4件次品，无放回的从中抽取2次，每次抽取1件，求下列事件的概率：（1）第一次取到次品且第二次取到正品；（2）两次都取到正品；（3）在第一次取到正品的条件下第二次取到次品的概率232事件的独立性学习目标：了解两个事件相互独立的概念及简单应用；通过实例探究事件独立性的过程，学会判断事件独立性方法学习过程：活动一（背景引入）复习巩固：条件概率的定义：条件

19、概率的计算公式：问题1：把一枚硬币任意抛掷两次，事件A：第一次出现正面，事件B：第二次出现正面，求问题2：抛掷红、蓝两个骰子，事件A：蓝骰子出现3点或6点，事件B：两骰子出现的点数之和大于8，求思考：在上述两个问题中，之间有什么关系？事件A的发生对事件B的发生之间有没有影响？活动二（相互独立事件的概念）定义：两个事件相互独立：思考：独立事件与互斥事件有什么区别？当时，能否称事件A、B相互独立？如何求两个相互独立事件同时发生的概率？能否将两个事件的独立性推广到n个事件独立性？请给出相应的结论例1 判断下列事件哪些是相互独立的？袋中有3个红球，2个白球，采取有放回的取球事件A：从中任取一个球是白球

20、；事件B：第二次从中任取一个球是白球袋中有3个红球，2个白球，采取不放回的取球事件A：从中任取一个球是白球；事件B：第二次从中任取一个球是白球篮球比赛的“罚球两次”中，事件A：第一次罚球，球进了；事件B：第二次罚球，球没有进思考：（1）判断相互独立事件有哪些方法？ (2)若事件A与B相互独立，那么事件A与,B与,与是否相互独立？例2在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮鸡蛋，2个白皮鸡蛋，每次取一个，有放回的取两次，（1）求在第一次取到红皮鸡蛋的前提下，第二次取到红皮鸡蛋的概率；（2）求在第一次没有取到红皮鸡蛋的前提下，第二次取到红皮鸡蛋的概率活动三（求相互独立事件的概率）例3如图,用X,Y,Z三类

21、不同的元件连接成系统N,当元件X,Y,Z都正常工作时,系统N正常工作已知元件X,Y,Z正常工作的概率依次为080,090 , 090 ,求系统N正常工作的概率P XYZ变题1：在一段线路中并联着3个自动控制的开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是07，计算在这段时间内线路正常工作的概率变题2如图添加第四个开关与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是07，计算在这段时间内线路正常工作的概率变题3如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是07，计算在这段时间内线路正常工作的概率例4甲、乙二射击运动

22、员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：（1）人都射中目标的概率；（2）人中恰有人射中目标的概率；（3）人至少有人射中目标的概率；（4）人至多有人射中目标的概率？活动四课堂小结与自我检测一课题小结事件独立性是怎样定义的？如何判断事件是相互独立的？如何求相互独立事件的概率？二自我检测1加工某一个零件共需要两道工序,若第一、二道工序的不合格品率分别为3%和5%，假定各道工序是互不影响的，问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？2在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是 备选题：1电灯泡使用时间在1

23、000小时以上概率为02，则3个灯泡在使用1000小时后恰好坏了1个的概率是 2某道路的、三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 3（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是08与07，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 4一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是06，第2台是07，第3台是080，第4台是09，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照

24、顾的概率5制造一种零件，甲机床的废品率是004，乙机床的废品率是005从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？6甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中都任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？7已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为02（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后被击中的概率在09以上，至少需要布置几门高炮？24二项分布学习目标:1理解次独立重复实验的模型及其意义；2理解二项分布并能解决一些简单的实际问题学习过程：活动一（背景引入）1猜数游戏：游戏：甲、乙两组同学

25、进行抛掷硬币游戏，共抛掷9次若正面朝上5次以上则甲组获胜，若反面朝上5次以上则乙组获胜问题1：前一次抛掷的结果是否影响后一次的抛掷？也就是每次抛掷是否相互独立？问题2：游戏对双方是否公平？能否从概率角度解释？练习1：求“重复抛一枚硬币5次，其中有3次正面向上”的概率2求“重复抛掷一枚骰子3次，其中有2次出现1点”的概率思考：这两个练习有什么共同点和不同点？活动二 （n次独立重复试验的概念）1定义：一般地，由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态即A与，每次试验中,我们将这样的试验称为次独立重复试验2思考：次独立重复试验必须具备哪些条件？3判断下列实验是不是独立重复

26、实验，为什么？(1)依次投掷四枚质地不同的硬币(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的他连续射击了十次(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取2个球4思考：活动一中的游戏是否可以看成独立重复试验？游戏中，我们用X表示正面朝上的次数，请探求X的取值和相应的概率推广：若游戏中有n组数据，则正面朝上次数的概率是多少？活动三（二项分布）1定义：（1）在次独立重复试验中，事件A恰好发生（）次的概率为说明：可以看出, 恰好是的二项展开式中的第项(2)若随机变量X的分布列为，则称X服从参数为的二项分布，记作2思考：如何判断一个随机变量的分布是否为二项分布？二项分布与两点分布有何关系？与超几何

27、分布有什么区别？活动四（简单应用）例1求随机抛掷100次均匀硬币,正好出现50次正面的概率思考: 随机抛掷100次”均匀硬币正好出现50次反面的概率是多少?例2设某保险公司吸收10000人参加人生意外保险,该公司规定:每人每年付给公司120元,若意外死亡,公司将赔偿10000元如果每人每年意外死亡的概率为0006,问：该公司赔本及赢利额在400000元以上的概率各有多大?（不考虑其它支出）例3实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛规定5局3胜(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；按比赛规则甲获胜的概率练习：甲、乙两人进行围棋比赛，已知在一局棋中甲

28、胜的概率为，甲负的概率为，没有和棋若进行三局两胜,则甲获胜的概率是多少?若进行五局三胜制比赛,先胜三局者为胜,则甲获胜的概率的概率是多少?活动四（课堂小结）n次独立重复试验；二项分布活动五（自我检测）1某人对一目标进行射击,每次命中率都是025,若使至少命中1次的概率不小于075,至少射击几次?2某气象站天气预报的准确率为80%,计算(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且第3次预报准确的概率备选题：1我潜艇用鱼雷打击来犯敌舰，已知每枚鱼雷的命中率都是，要击沉敌舰，至少要3枚以上鱼雷击中敌舰，现我艇的8个鱼雷管同时向敌舰发射，求

29、敌舰被击沉的概率2一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概率都是设为这名学生在途中遇到红灯的次数,求的分布列;设为这名学生在首次停车前经过路口数,求的分布列;求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率3甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别为和假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响求甲射击4次,至少1次击中目标的概率;求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;假设某人连续2次击中目标,则中止其射击问：乙恰好射击5次后中止射击的概率为多少?25随机变量的均值与方差25

30、1离散型随机变量的均值学习目标：通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值（数学期望）的概念和意义；能计算简单离散型随机变量的均值（数学期望），并能解决一些实际问题；3掌握两点分布、二项分布和超几何分布的期望学习过程：活动一（背景引入）复习巩固：随机变量及其分布列的概念：分布列的两个性质：几个常见的分布：两点分布，超几何分布，二项分布问题1：已知一次测试中，某小组得分情况如下表得分12345人数11341（1）求此小组的平均值；（2）若从中任取1人，用随机变量X表示得分，求X的概率分布问题2：乙两个工人生产同一种产品,在相同条件下,他们生产100件产品所出的不合格数分别用表示, 的概率分布如

31、下:01230701010101230503020如何比较甲乙两个工人的技术?小结：如何求随机变量的平均值？活动二（随机变量的均值）离散型随机变量的均值:一般地,若离散型随机变量X的分布列为XP则称为随机变量X的均值或数学期望,记为E(X)或其中是随机变量X的可能取值，是概率，说明：上述定义给出了求离散型随机变量均值的方法,高中阶段我们只研究有限个随机变量的均值的情况练习：（1）设随机变量X的概率分布如下表,试求E(X)X12345p（2）从甲乙两位射击运动员中选择一位参加比赛，现统计了这两位运动员在训练中命中环数X，Y的概率分布如下，问：哪名运动员的平均成绩较好？X8910p030106Y8

32、910p020503思考：（1）与有何区别？随机变量是可变的，可取不同的值；而期望是不变的，由的分布列唯一确定，所以称之为概率分布的数学期望，它反映了的平均水平（2）随机变量的期望和相应数值的算术平均数有什么区别？期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，是相应数值的算术平均数这一概念的推广活动三（求随机变量的均值）高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏,在一个口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色外完全相同某学生一次从中摸出5个球,其中红球的个数为X,求X的数学期望思考：例1中的随机变量服从什么分布？试探求出超几何分布的随机变量的均值从批量较大的成品中随机取出1

33、0件产品进行质量检查,若这批产品的不合格品率为005,随机变量X表示这10件产品中的不合格品数,求随机变量X的数学期望E(X)思考：例2中的随机变量服从什么分布？试探求出二项分布的随机变量的均值小结：(1)求离散型随机变量的期望的基本步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E （2）服从超几何分布的随机变量的期望服从二项分布的随机变量的期望练习：（1）假定1500件产品中有100件不合格品，从中抽取15件进行检查，其中不合格品件数为X，求X的数学期望 (2)某单位有一台电话交换机,其中有5个分机专供与乙市通话设每个分机在1小时内平均占线2

34、0分钟,并且各个分机是否占线是相互独立的,求任一时刻占线的分机数目X的数学期望活动四（随机变量均值的性质）例3（1）已知的平均数为5则的平均数为 ；的平均数为 （2）已知E（X）=1，则E（2X+6）= 练习：已知随机变量X的概率分布为：X-101P且设Y=2X+3，则E（Y）= 小结：公式E（a+b）= aE+b活动四 课堂小结与检测一 课题小结如何求随机变量的均值？二 自我检测1若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为，求2设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为 3有10件产品，其中

35、3件次品，从中任取2件，若表示取到次品的个数，求 4甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等，每天出废品的情况为工人甲乙废品数01230123概率040302010305020 则有结论 （1）甲的产品质量比乙的产品质量好一些；（2）乙的产品质量比甲的产品质量好一些；（3）两人的产品质量一样好；（4）无法判断谁的质量好一些备选题1随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望解：，=352一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对每一题的概率均为09，学生乙则在测验中对每题都从

36、4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则 B（20,09）, 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是： 3根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为025,有大洪水的概率为001该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800 元 方案2：建保护围墙，建设费为2000 元但围墙只能防小洪水方案3：不采取措施，希望不发生洪水试比较哪一种方案

37、好解：用X1 、X2和X3分别表示三种方案的损失采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800 元，即X1 = 3800 采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2000 + 60000=62000 元；没有大洪水时，损失2000 元，即同样，采用第 3 种方案，有于是， EX13 800 , EX262 000P (X2 = 62 000 ) + 2 00000P (X2 = 2 000 ) = 620000 01 + 2000(1-001) = 2 600 , EX3 = 60000P (X3 = 60000) + 10 000P(X3 =10 000 ) + 0P (X3 =0) = 60 0

38、00001 + 10000025=3100 采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 4篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为07，求他罚球1次的得分的数学期望；他罚球2次的得分的数学期望；他罚球3次的得分的数学期望解：因为，所以10的概率分布为012P所以 01214 的概率分布为23P所以 01221252离散型随机变量的方差与标准差学习目标：通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义；能计算简单离散型随机变量的方差、标准差，并能解决一些实际问题掌握两点分布、超几何分布、二项分布的方差与标准差学习过程：活动一（背景引入）复习

39、巩固：随机变量及其分布列：随机变量的均值：随机变量均值的性质：背景引入：问题 甲、乙两名工人生产同一种产品,在相同的条件下,他们生产100件产品所出的不合格品数分别用表示, 的概率分布如表所示01230602010101230503020求E(),E()如何比较两名工人的技术?思考：当样本均值相差不大时,可以利用样本方差考察样本数据与样本均值的偏离程度,能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢?活动二（随机变量的方差与标准差）1定义：离散型随机变量X的分布列为XP则描述了相对于均值E(X)的偏离程度而为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量与其均值E(X)的平均偏离程度,我们称V

40、(X)为随机变量X的方差,其算数平方根为随机变量X的标准差2方差的意义：方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量，如果V(X)值大，表示X取值分散程度大，E(X)的代表性差；而如果V(X)值小，表示X取值分散程度小，E(X)的代表性好离散型随机变量方差的计算：利用定义计算：，其中是的分布列利用公式计算：例1设随机变量X的概率分布如下表所示,试求X的标准差X12345P活动三（求随机变量的方差与标准差）例2若随机变量X的分布列如表所示,求方差V(X)和标准差X01P例2求第251节例1中超几何分布H(5,10,30)的方差和标准差练习: (1)求251节例2中的二项分布B(10,005)的

41、方差和标准差(2)假定1500件产品中有100件不合格品,从中抽取15件进行检查,求15件中不合格品件数X的标准差小结：常见的一些离散型随机变量的方差 两点分布： 二项分布： 超几何分布：方差的性质：（1）；（2）例3 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数求的分布列、期望值及方差求的分布列、期望值及方差活动四 课堂小结与自我检测一 课题小结如何求随机变量的方差和标准差？二 自我检测1 设随机变量，求= 02 2若随机变量的分布列为则= 3甲、乙两名射手在一次射击中得分（分别用表示）的分布列为1230401051

42、23010603 试问两名射击手中谁的技术更好些？4对两门炮进行射击试验，设炮落点与目标的距离为（单位：），随机变量的概率分布如下：1086420002000180000120842 1086420001000050001100700859试比较A,B两门炮哪门射击的准确度较好？备选题1某人每次射击命中目标的概率为08，现连续射击3次，求命中目标的次数的数学期望和方差2假定某射击手每次命中目标的概率为，现有3发子弹，该射击手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完设耗用子弹数为，求：（1）的概率分布 （2）均值 （3）标准差3随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、

43、方差和标准差解：抛掷散子所得点数X 的分布列为123456P从而; 4有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P104030201乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002000获得相应职位的概率P204030201根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX1 = 120004 + 1 40003 + 160002 + 180001 = 1400 , DX1 = (1200-1400) 2 0 4 + (1400-1400 ) 203 + (1600

44、-1400 )202+(1800-1400) 20 1= 40 000 ; EX21 00004 +1 40003 + 1 80002 + 220001 = 1400 , DX2 = (1000-1400)20 4+(1 400-1400)03 + (1800-1400)202 + (2200-1400 )20l = 160000 因为EX1 =EX2, DX1DX2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位25随机变量的均值与方差学习目标：巩

45、固随机变量的均值与方差、标准差的概念和性质；会求随机变量的均值与方差、标准差，并能运用其解决简单的实际问题学习过程：活动一（复习巩固）1若离散型随机变量X的分布列为XP则称_为随机变量X的均值或数学期望,记为E(X)或其中是随机变量X的可能取值，是概率，2离散型随机变量X的分布列为上表所示，则描述了相对于均值E(X)的偏离程度,故刻画了随机变量与其均值E(X)的平均偏离程度,我们将其称为随机变量X的_,记为_方差也可以用公式V(X)=_计算随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差,X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差,即_3若X服从超几何分布,则E(X)=_;V(X)=_ 若X服从二项分

46、布,则E(X)=_;V(X)=_ 活动二（基础练习）1一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况),则ab的最大值为_2有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取3件,若X表示取到的次品的件数,则V(X)=_3一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则其中含有红球个数的数学期望是_4设离散型随机变量可能取值为1,2,3,4又的数学期望E=3,则=_活动三（综合应用）有一批数量很大的环形顶管,其次品率为20%,对这批产品进行抽查,每次抽取出1件,如果抽出次品则抽查结束,否则继续抽查,直

47、到抽出次品,但抽查的次数最多不超过5次,求抽查次数X的数学期望甲、乙两名射击手在一次射击中的得分为相互独立的随机变量与,且与的概率分布为123Pa0106123P03b03求：（1）a,b的值;(2)计算与的数学期望与方差,并以此分析甲乙的技术情况投两颗骰子(每个骰子有六个面,各个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6), 表示两颗中出现的较大的点数,求E,D例4现有甲乙两个项目,对甲项目每投资10万元,一年后利益是12万元、118万元、117万元的概率分别是、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是，设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品在一年

48、内的下降次数为对乙项目每投资10万元, 取0、1、2时,一年后相应的利润是13万元、125万元、02万元随机变量分别表示对甲乙两个项目各投资10万元一年后的利润求的概率分布和数学期望;当时,求的取值范围活动四（自我检测）口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则 2一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）3 已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=24，V（X）=144，则二项分布的参数n，p的值为 答案 6，044 已知的分布列为=-1,0,1,对应P=，且设=2+1，则的期望是 5设随机

49、变量具有分布P（=k）=，k=1，2，3，4，5，求E（+2）2，V（2-1），（-1）解 E（）=1+2+3+4+5=3E（2）=1+22+32+42+52=11V（)=（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2=（4+1+0+1+4）=25分E（+2）2=E（2+4+4）=E(2)+4E()+4=11+12+4=278分V（2-1）=4V()=8，11分（-1）=6 A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为

50、甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为 (1)求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的概率分布和数学期望解 （1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2，Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2依题意有P（A1）=2=,P（A2）=P(B0)= =,P(B1)=2=所求的概率为P=P(B0A1)+P（B0A2）+P（B1A2）=+=（2）的可能值为0,1,2,3，且B(3,)P（=0）=，P（=1）=,P(=2)=,P(=3)= 的概率分布为0123P数学期望E()

51、=0+1+2+3=备选题1设一随机试验的结果只有A和，且P（A）=p，令随机变量X=，则X的方差V(X)= 答案 p（1-p）2某一离散型随机变量的概率概率分布如下表，且E()=15，则ab的值为 0123P01ab01答案 03如果a1,a2,a3,a4,a5,a6的平均数（期望）为3，那么2（a1-3），2（a2-3），2（a3-3），2（a4-3），2（a5-3），2（a6-3）的平均数（期望）是 答案 04设B（n，p），若有E()=12，V()=4，则n、p的值分别为 答案 18，5随机变量X的概率分布为 X124P040303则E（5X+4）= 答案 156 袋中有20个大小相同的

52、球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）现从袋中任取一球，表示所取球的标号（1）求的概率分布、期望和方差；（2）若=a +b,E()=1,V()=11,试求a,b的值解 （1）的概率分布为 01234PE()=0+1+2+3+4=15V()=(0-15)2+(1-15)2+(2-15)2+(3-15)2+(4-15)2=275(2)由V()=a2V(),得a2275=11,即a=2又E()=aE()+b,所以当a=2时,由1=215+b,得b=-2当a=-2时,由1=-215+b,得b=4或即为所求7 有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目

53、负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下： 110120125130135P0102040102100115125130145P0102040102其中和分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好解 E()=11001+12002+12504+13001+13502=125,E()=10001+11502+12504+13001+14502=125，V()=01（110-125）2+02（120-125）2+04（125-125）2+01（130-125）2+02（135-125）2=50

54、，V()=01（100-125）2+02（115-125）2+04（125-125）2+01（130-125）2+02（145-125）2=165，由于E()=E()120，而V()V(),故甲厂的材料稳定性较好8.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为（1）求乙投球的命中率p；（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的概率分布和数学期望解 (1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得（1-P(B)）2=(1-p)2=,解得p=或p=（舍去），所以乙投球的命中率为（2）由题设和（1）知P(A)=,P

55、()=,P(B)= ,P()=可能的取值为0，1，2，3，故P(=0)=P()P()=,P(=1)=P(A)P()+P（B）P（）P（）=+2=,P(=3)=P(A)P(BB)=,P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=的概率分布为0123P的数学期望 E()=0+1+2+3=2第二章概率章末总复习一知识梳理：1条件概率与事件的独立性：（1）条件概率：在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；（2）事件的独立性：若,则称事件A与事件B是相互独立的；（3）独立重复试验：在相同条件下、重复做的n次试验称为n次独立重复试验，在n次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率为P，则在n次

56、独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为2离散型随机变量：（1）离散型随机变量的概念；（2）离散型随机变量分布列：若随机变量X有个不同的取值,它们分别是且称为随机变量X的概率分布列,简称X的分布列概率分布表将用表的形式表示如下:此表称为随机变量X的概率分布表分布列的性质: ， 3离散型随机变量的期望与方差（1）若离散型随机变量X的分布列为XP则称_为随机变量X的均值或数学期望,记为E(X)或其中是随机变量X的可能取值，是概率， （2）离散型随机变量X的分布列为上表所示，则描述了相对于均值E(X)的偏离程度,故刻画了随机变量与其均值E(X)的平均偏离程度,我们将其称为随机变量X的_,记为_方差

57、也可以用公式V(X)=_计算（3）随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差,X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差,即_（4）若X服从超几何分布,则E(X)=_;V(X)=_若X服从二项分布,则E(X)=_ _ _ _;V(X)= _典型例题（一）离散型随机变量的分布列例1袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分（1）求得分X的概率分布；（2）求得分大于6的概率解 得分X的所有可能值为：5，6，7，8（1）P（X=5）=,P（X=6）=,P（X=7）=,P（X=8）=X的概率分布为X5678P（2）得分大于6的概率为：P（X=7）+P（X=

58、8）=+=小结：求随机变量分布列的步骤：练习：已知随机变量的概率分布为-2-10123P分别求出随机变量1=，2=的概率分布解 由于1=对于不同的有不同的取值y=x，即y1=x1=-1，y2=x2=-，y3=x3=0，y4=x4=，y5=x5=1，y6=x6=所以1的概率分布为：-1-01P=对于的不同取值-2，2及-1，1，分别取相同的值4与1，即取4这个值的概率应是取-2与2值的概率与合并的结果，取1这个值的概率为取-1与1的概率与合并的结果，故的概率分布为：0149P（二）条件概率与独立事件的概率例2 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球

59、放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问（1）从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？（2）从2号箱取出红球的概率是多少？解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球P（B）=，P（）=1-P（B）=，（1）P（A|B）=（2）P（A|）=，P（A）=P（AB）+P（A）=P（A|B）P（B）+P（A|）P（）=+=例3甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分（1）求随机变量的概率分布和数

60、学期望；（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）解 （1）方法一 由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且P（=0）=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)= =所以的概率分布为0123P的数学期望为E()=0+1+2+3=2方法二 根据题设可知,B（3，）,因此的分布列为P(=k)=,k=0,1,2,3因为B（3，）,所以E()=3=2(2)方法一 用C表示“甲队得2分乙队得1分”这一事件，用D表示“甲队得3分乙队得0分”这一事件，所以AB=C+D，且C、D互斥，P（C）=（+）=,P(D)=（）=,由互斥事件的概率