全套课件·《自动控制原理》

1、 自动控制原理 一.控制系统的发展史 自动控制成为一门科学是从1945发展起来的。开始多用于工业：压力、温度、流量、位移、湿度、粘度自动控制后来进入军事领域：飞机自动驾驶、火炮自动跟踪、导弹、卫星、宇宙飞船自动控制目前渗透到更多领域：大系统、交通管理、图书管理等生物学系统：生物控制论、波斯顿假肢、人造器官经济系统：模拟经济管理过程、经济控制论 四个阶段: 第一章 自动控制概述1.胚胎萌芽期（1945年以前）十八世纪以后，蒸汽机的使用提出了调速稳定等问题 1765年俄国人波尔祖诺夫发明了锅炉水位调节器 1784年英国人瓦特发明了调速器，蒸汽机离心式调速器 1877年产生了古氏判据和劳斯稳定判据十

2、九世纪前半叶，动力使用了发电机、电动机 促进了水利、水电站的遥控和程控的发展以及电压、电流的自动调节技术的发展十九世纪末，二十世纪初，使用内燃机 促进了飞机、汽车、船舶、机器制造业和石油工业的发展，产生了伺服控制和过程控制二十世纪初第二次世界大战，军事工业发展很快 飞机、雷达、火炮上的伺服机构，总结了自动调节技术及反馈放大器技术，搭起了经典控制理论的架子，但还没有形成学科。 2.经典控制理论时期（1940-1960） 1945年美国人Bode “网络分析与放大器的设计”，奠定了控制理论的基础。 50年代趋于成熟主要内容 对单输入单输出系统进行分析，采用频率法、根轨迹法、相平面法、描述函数法；讨

3、论系统稳定性的代数和几何判据以及校正网络等3.现代控制理论时期（50年代末-60年代初） 空间技术的发展提出了许多复杂控制问题，用于导弹、人造卫星和宇宙飞船上天 Kalman “控制系统的一般理论”奠定了现代控制理论的基础 解决多输入、多输出、时变参数、高精度复杂系统的控制问题4.大系统和智能控制时期 （70年代） 各学科相互渗透，要分析的系统越来越大，越来越复杂。例人工智能、模拟人的人脑功能、机器人等。二.自动控制要解决的基本问题 自动控制是使一个或一些被控制的物理量按照另一个物理量即控制量的变化而变化或保持恒定，一般地说如何使控制量按照给定量的变化规律变化，就是一个控制系统要解决的基本问题

4、。 三.自动控制技术的作用1. 自动控制技术的应用不仅使生产过程实现了自动化，极大地提高了劳动生产率，而且减轻了人的劳动强度。2. 自动控制使工作具有高度的准确性，大大地提高了武器的命中率和战斗力，例如火炮自动跟踪系统必须采用计算机控制才能打下高速高空飞行的飞机。3. 某些人们不能直接参与工作的场合就更离不开自动控制技术了，例如原子能的生产、火炮或导弹的制导等等。1.1 开环控制和闭环控制一.开环控制 控制装置与被控对象之间只有顺向作用而没有反向联系的控制。 1.按给定值操纵 由给定值直接控制被控量，信号的流动是单向的。其框图如下：给定值计算执行受挫对象被控量干扰2按干扰补偿测量的是破坏系统正

5、常运行的干扰，利用干扰信号产生控制作用，以补偿干扰对被控量的影响，故称按干扰补偿 。计算执行受挫对象被控量干扰测量EK电源开关进料出料液位控制闭环控制开环控制炉温控制阀二.闭环控制由测量的被控量即输出量与给定值即输入量共同对系统进行控制，利用产生偏差对系统进行控制。 给定值比较执行受挫对象被控量干扰测量反馈：输出量送回至输入端并与输入信号比较的过程负反馈：反馈的信号是与输入信号相减而使偏差越来越小三.开环控制与反馈控制的比较开环优点 :结构简单，成本低廉，工作稳定，当输入信号和扰动能预先知道时，控制效果较好。缺点：不能自动修正被控制量的偏离，系统的元件参数变化以及外来的未知扰动对控制精度影响较

6、大。闭环 优点：具有自动修正被控制量出现偏离的能力，可以修正元件参数变化以及外界扰动引起的误差，控制精度高。 缺点：被控量可能出现振荡，甚至发散。3 控制系统的类型一.随动系统与恒动系统二.线性系统与非线性系统三.连续系统与离散系统四.单输入输出系统与多输入输出系统五.确定性系统与不确定性系统六.集中参数系统与分布参数系统4 控制系统的组成与对控制系统的基本要求一.组成与术语 组成: 1.测量元件 2.比较元件 3.控制元件 4.执行元件 5.被控对象术语: 参考输入 主反馈 偏差 控制量 扰动 输出控制器对象测量变送执行器二.控制系统的基本要求C()C(t)2t0Y(t)t01(t)超调量调

7、整时间振荡次数上升时间峰值时间第2章 控制系统的数学模型本章的主要内容控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式2.1系统数学模型概述数学模型：用数学的方法和形式来表示和描述系统中各变量间的关系。 三种形式：输入输出描述 状态空间描述 方块图或信号流图描述2.2列写微分方程的一般方法一、列写微分方程步骤（1）根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定系统的输入量和输出量，并根据需要引入一些中间变量。（2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，分别列写微分方程，建立初始微分方程组。（3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量关

8、系的微分方程，即系统的数学模型。二、例题例2-1 图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列写以为输入量，以为输出量的网络微分方程。解 设回路电流为，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为： 消去中间变量，可得描述该无源网络输入输出关系的微分方程： LRCi(t)例2-2 图2-2所示是一个由弹簧、质量物体和阻尼器所组成的机械系统。其中，为弹性系数，为物体的质量，为阻尼系数。解 设外作用力为输入量，质量物体的位移为输出量。根据牛顿第二定律可知： 其中： 为阻尼器的粘性阻力，它与物体运动的速度成正比，即为弹簧的弹性力，它与物体的位移成正比，即 a为物体的加速度，即 消除中间变量，将式子标

9、准化可得 2.3用拉普拉斯变换求解线性微分方程 2.3.1拉普拉斯变换定义2.3.2常用函数的拉普拉斯变换2.3.3拉普拉斯变换的几个基本法则2.3.4拉普拉斯反变换变换2.3.5用拉普拉斯变换求解微分方程 2.3.1拉普拉斯变换定义若将实变量t的函数f(t)乘上指数 （其中 是一个复数），并且在 上对t积分，就可以得到一个新的函数F(s)，称F(s)为f(t)的拉氏变换，并用符号 表示。即F(s) 象函数，f(t) 原函数。2.3.2常用函数的拉普拉斯变换 单位阶跃函数： 单位脉冲函数： 单位斜坡函数： 单位抛物线函数： 正弦函数： 其他函数可以查阅相关表格获得。2.3.3拉普拉斯变换的几个

10、基本法则1.线性定理两个函数和的拉氏变换，等于每个函数拉氏变换的和，即 函数放大K倍的拉氏变换，等于函数拉氏变 换的K倍，即 2.微分定理 函数求导的拉氏变换，等于函数拉氏变换乘 以s的求导次幂（这时，初始条件需为零）。 同理，若初始条件 则有 3.积分定理 一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s，即 4.位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则有5.终值定理函数的稳态值（的数值），等于函数的拉氏变换乘以s后的的极限值。即 2.3.4拉氏反变换由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏反变换，表示为L-1 。其数学定义为： 如果的f(t)拉氏反变换F(s)已分解

11、成下列分量： 那么对于控制理论中的问题，F(s)常常是如下的形式：将 写成了下面的因式分解的形式： 2.3.5用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解线性常系数微分方程的一般步骤是：（1)考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分方程变换为s域的代数方程；（2)求解代数方程得到微分方程在s域的解；（3)求s域解的拉氏反变换，即得到微分方程的解。例2-3 设系统的微分方程为，已知：求系统的输出响应。 解 将方程两边求拉氏变换，得 将 代入上式，整理后可得输出量的拉氏变换 对上式取拉氏变换得 2.4传递函数利用拉氏变换的方法可以得到控制系统在复数域的数学模型传递函数。 2.4.1 传递函数的定

12、义 2.4.2典型环节的传递函数 2.4.1 传递函数的定义 线性定常系统，当初始条件为零时，输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比，定义为传递函数。 例2-7 求图2-1所示RLC串联电路的传递函数。设输入量为 ，输出量 。解 先求出该电路的微分方程，然后再求其传递函数。根据基尔霍夫定律，得（2-15）将式（2-16）代入式（2-15），得RLC电路的微分电路（2-16）对上式进行拉氏变换得传递函数为 关于传递函数，还应注意以下性质： （1）传递函数只适用与线性定常系统，不适用于非线性或时变系统。 (2）传递函数只取决于系统的结构和参数，而与外施信号的大小和形式无关。因此，它表示了系统的固有特性

13、，是一种用象函数来描述系统的数学模型。可以用方块图表示 .(3）传递函数表示了系统特定的输出量与输入量之间的关系，故同一个系统中，不同的输出量对同一个输入量之间的传递函数是不同的。 （4）传递函数一般为复变两s的有理分式，它的分母多项式s的最高次n总是大于或等于其分子多项式s的最高次m即nm。 (5)传递函数具有正、负号。当输入量与输出量的变化方向相同时，对应的传递函数具有“正”号；当输入量与输出量的变化方向相反时，对应的传递函数具有“负”号。（6）传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映非零初始条件下系统的运动过程。 （7）可将上述传递函数表达式中的分子与分母多项式，分别用因式连乘的形

14、式来表示，即 2.4.2典型环节的传递函数1.比例环节 比例环节的微分方程为 式中K为放大倍数即增益。对上式取拉氏变换，得 因此比例环节的传递函数为 特点：比例环节的输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化，即信号的传递没有惯性。实例：电子放大器、齿轮、电阻、感应式变送器等。 2.惯性环节 惯性环节又称非周期环节，该环节的微分方程为 式中T为时间常数，K为比例系数。对微分方程取拉氏变换得 因此惯性环节的传递函数为 特点：惯性环节含一个储能元件，对突变的输入，其输出不能立即复现，输出无振荡。 实例：直流伺服电动机的励磁回路。 3.积分环节积分环节的微分方程为 式中T为积分时间常数。对微分方

15、程取拉氏变换得 因此积分环节的传递函数为特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。 实例：电动机角速度与旋转角之间的传递函数、模拟计算机中的积分器等。 4.微分环节理想微分环节的微分方程为式中T为微分时间常数。对上式取拉氏变换，得 微分环节的传递函数为 特点：微分环节的输出量与输入量对时间的微分成正比，即输出反映了输入信号的变化率，而不反映输入量本身的大小。实例：实际中没有纯粹的微分环节，它总是与其他环节并存。 5.振荡环节振荡环节的微分方程为振荡环节的传递函数为也可写成 式中T为时间常数；为阻尼比，n为系统的自然振荡角频率（无阻尼自振角频率）并且有特点：振荡环节中有两

16、个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数，以及机械阻尼系统的传递函数。6.延迟环节延迟环节也称时滞环节，其方程为 传递函数为 特点：延迟环节的输出波形与输入波形相同，但延迟了时间。延迟环节的存在对系统的稳定性不利。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。2.5动态结构图2.5.1 动态结构图的概念2.5.2动态结构图的建立 2.5.3动态结构图的等效变换 2.5.1 动态结构图的概念1.定义:把组成系统的各个环节用方块图表示，在方块图内标出各环节的传递函数，并将各环节的输入量、输出量改用拉氏变换来表示。这种图形称为

17、动态结构图，简称结构图。 2.结构图由四种基本图形符号所组成，称为结构图的四要素。各图形符号代表的意义如下：（1）信号线：信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数，见图（a）； （2）引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同，见图（b）；（3）综合点（比较点或相加点）：对两个或两个以上性质相同的信号进行取代数和的运算。参与相加运算的信号应标明“+”号，相减运算的信号应标出“”号。有时“+”号可省略，但“”号必须标明，如图（c）；（4）函数方块：表示元件或环节输入、输出变量之间的函数关系。方块内要填写元件或环节的传递函数

18、，如图（d）。(a) (b) (c) (d)2.5.2动态结构图的建立绘制动态结构图的一般步骤为：（1）明确系统的输入量和输出量；确定各元件或环节的传递函数。 （2）绘出各环节的方块图，在其中标出传递函数，并将信号的拉氏变换标在信号线附近。（3）按照系统中信号的传递顺序，依次将各环节的方块图连接起来，便构成系统的结构图。 例2-5 已知RC阻容网络如图2-5所示，其中 为输入量， 为输出量，试画出该网络的动态结构图。解 该网络系统的输入量为ur，输出量为uc。其遵循的电路原理为：对以上的标准微分方程组进行拉氏变换，得如下的标准变换方程组：从输入端开始，依次画出各个子变换方程输入量、输出量关系的

19、传递函数方块图。并连结系统中的各同名信号线。如图2-6所示。 2-5 2-62.5.3动态结构图的等效变换1、串联环节的等效变换 几个环节的结构图首尾连接，前一个结构图的输出是后一个结构图的输入，称这种结构为串联环节。如图2-7（a）是两个环节串联的结构，有： 由上两式得因而可等效成图2-7（b）所示的结构。由此可得出，串联环节的等效传递函数等于各相串联环节传递函数的乘积，即有 2-7(a) 2-7(b)2.并联环节的等效变换两个及两个以上环节具有同一个输入信号，而以各自环节输出信号的代数和作为总的输出信号的结构称为并联环节。如图为两个环节的并联结构图。由图得： 由上三式得其等效结构图如图所示

20、。由此可见，并联环节的等效传递函数等于各并联环节的传递函数的代数和，即有3.反馈连接的等效变换若传递函数分别为G（s）和H（s）的两个方块图如图2-9（a）形式连接，则称为反馈连接。“+”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加；“-”号为负反馈，表示输入信号与反馈信号相减。由（a）图有 由上三式得称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数，式中负号对应正反馈连接，正号对应负反馈连接。反馈连接的等效变换如图所示。 4.综合点和引出点的移动在结构图的变换中经常要求改变综合点和引出点的位置。一般包括综合点前移、综合点后移、引出点前移、引出点后移、相邻综合点和相邻引出点之间的移动。 1）综合点前移图2

21、-10（a）和图2-10（b）分别表示综合点前移变换前后的系统结构图。 可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系：2）综合点后移图2-11（a）和图2-11（b）分别表示综合点后移变换前后的系统结构图可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系： 3）引出点前移图2-12（a）和图2-12（b）分别表示引出点前移变换前后的系统结构图。 可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系： 4）引出点后移图2-13（a）和图2-13（b）分别表示引出点后移变换前后的系统结构图。 可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系： 5）相邻综合点之间的移动和合并图2-14（a）和图2-14（b）表示相邻综合点之间可以互

22、换位置或进行合并，不会改变该结构输入和输出信号之间的关系。6）相邻引出点之间的移动从一个信号流线上无论引出多少条信号线，它们都代表同一个信号，所以在一条信号线上的各引出点之间的位置可以随意改变，效果都是等效的。如图2-15（a）和图2-15（b）所示。C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)例2-8 化简图2-16所示的系统结构图，并求传递函数。 解 （1）将综合点a后移，得等效图如图 （2）再与b点交换，得到图 （3）因 与 并联， 与 是负反馈环，可得图 （4）再将上图的两个串联环节进行合并，得最后化简的结果如图 2.6 信号流图2.6.1信号流图的术语及绘制2.6

23、.2梅逊公式2.6.1信号流图的术语及绘制1.信号流图中的术语 源节点（输入节点） 只有输出支路而无输入支路的节点。如图中的x1。阱节点（输出节点） 只有输入支路而无输出支路的节点。如图中的x6。混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点。如图中的x2，x3，x4，x5。通路 沿着支路箭头的方向顺序穿过各相连支路的路径。前向通路 从源节点开始并且终止于阱节点，与任一节点相交不多于一次的通路。如图中的x1x2x3x4x5，x1x2x4x5，x1x2x5前向通道增益 前向通道上各支路增益的乘积。回路 通路的起点和终点是同一节点，并且与其它任何节点相交不多于一次的闭合路径称为回路。回路增益 回路中各支

24、路增益的乘积，称为回路的增益。不接触回路 回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。在信号流图中，可以有两个或两个以上的不接触回路。如图中的：x2x3x2和x4x4；x2x5x3x2和x4x4。 2.信号流图的绘制 信号流图可以根据微分方程绘制，也可以从系统的结构图按照对应关系得到。 1）由系统微分方程绘制信号流图一般应先通过拉氏变换将微分方程变换为s的代数方程式后再化信号流图。绘制信号流图时，首先对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左向右顺序排列；然后，用标明支路增益的支路，根据代数方程式将各节点变量正确连接，便可得系统的信号流图。 （2）由系统结构图绘制信号流

25、图结构图中，由于传递的信号标记在信号线上，方框则是对变量进行变换或运算的算子。因此，从系统结构图绘制信号流图时，只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递信号，便得到节点；用标有传递函数的线段代替结构图的方框，便得到支路，结构图也就变换为相应的信号流图了。2.6.2梅逊公式计算任意输入节点和输出节点之间传递函数的梅逊增益公式为 式中，特征式，其计算公式为n从输入节点到输出节点间前向通道的条数；Pk从输入节点到输出节点间第K条前向通道的总增益；La所有不同回路增益之和；LbLc所有两两互不接触回路的回路增益的乘积之和；LdLeLf所有不接触回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和；K第K条前向通路

26、的余子式，即把与该通路相接触的回路的回路增益置为0后，特征式所余下的部分。 例2-10 用梅逊公式求如图2-19所示系统的传递函数。 解： 单独回路4个，即两个互不接触的回路有4组，即 三个互不接触的回路有1组，即 于是，得特征式为 从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为: 因此，传递函数为 第3章 时域分析法本章的主要内容 3.1 典型控制过程及性能指标 3.2 一阶系统分析 3.3二阶系统分析 3.4 稳定性与代数判据 3.5稳态误差分析及误差系数 3.1 典型控制过程及性能指标 3.1.1 典型输入信号及输出波形 3.1.2 控制系统的性能指标什么是时域

27、分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。3.1.1 典型输入信号及输出波形1）阶跃函数（信号）单位阶跃函数及拉氏变换单位阶跃函数波形图（2）斜坡函数（信号）单位斜坡函数及拉氏变换单位阶跃函数波形图3）抛物线信号（加速度信号）单位抛物线信号及拉氏变换单位阶跃函数波形图4）脉冲函数（信号）单位脉冲函数及拉氏变换单位脉冲函数波形图和5）正弦函数（信号）单位正弦函数及拉氏变换单位正弦函数波形图Awtr(t) 单位脉冲函数响应： 单位阶跃函数响应： 单位斜坡函数响应： 单位抛物线函数响应：典型响应：提示：上述几种典型响应有如下关系：单位脉冲函数响应单位

28、阶跃函数响应单位斜坡函数响应单位抛物线函数响应积分积分积分微分微分微分3.1.2控制系统的性能指标在典型信号作用下，控制系统的时间响应是由动态过程和稳态过程两部分组成。所以控制系统的性能指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。 1.动态过程和动态性能 动态过程（过渡过程、暂态过程）：在典型输入信号作用下，系统从初态到终态的响应过程。动态响应过程有三种情况：衰减型、发散型、等幅振荡型动态性能：当系统的时间响应c(t)中的瞬态分量较大而不能忽略时，称系统处于动态或过渡过程中，这时系统的特性。阶跃响应的性能指标：在测定或计算系统的动态性能指标时，由于阶跃函数可以表征系统受到的最严峻的工作状态，动态

29、性能指标，一般由阶跃响应的性能指标来描述。（1） 延迟时间 ：输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。（4） 最大超调量（简称超调量） ：式中： -输出响应的最大值； -稳态值；（2） 上升时间 ：输出响应第一次达到稳态值y()所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。（3） 峰值时间 ：（5）调节时间或过渡过程时间 ：当 和 之间的误差达到规定的范围之内比如 或 ，且以后不再超出此范围的最小时间。在上述几种性能指标中， 表示瞬态过程进行的快慢，是快速性指标；而 反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指标。其中 和 是两

30、种最常用的性能指标。2.稳态过程和稳态性能 稳态过程是指当时间t趋近于无穷大时，系统输出状态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能来描述。通常讨论在阶跃、斜坡、加速度函数作用下的系统稳态误差；稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动性能。ess=c期望- c（ ）3.2 一阶系统分析 3.2.1 一阶系统的数学模型 3.2.2 一阶系统的单位阶跃系统 3.2.3 一阶系统的单位斜坡系统 3.2.4 一阶系统的单位脉冲系统 3.2.5 三种响应之间的关系3.2 .1一阶系统的数学模型以一阶微分方程作为数学模型的控制系统，称为一阶系统。如图所示的一阶

31、系统，其传递函数为-其闭环传递函数为：式中， ,称为时间常数。3.2 2 一阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃响应函数：其单位阶跃响应曲线如图3-4所示。输出响应从零开始按指数规律上升，最后趋于1。 计算调节时间 ：解之得：可见，调整时间只与时间常数T有关。T越小，系统响应速度越快。3.2.3一阶系统的单位斜坡响应设系统的输入信号为单位斜坡函数，即 。则可求得输出的拉氏变换为 c(t)T0Tt一阶系统单位斜坡响应曲线如图 输出量和输入量之间的位置误差随时间而增大，最后趋于常值T，惯性越小，跟踪的准确度越高。3.2 4 一阶系统的单位脉冲响应当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于R(s)=1所以系统输

32、入量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即这时系统的输出称为脉冲响应，其表达式为 可见，单位脉冲响应中只包含瞬态分量。 3.2 5 三种响应之间的关系从输入信号看，单位斜坡信号的导数为单位阶跃信号，而单位阶跃信号的导数为单位脉冲信号。 从输出信号来看，单位斜坡响应的导数为单位阶跃响应，而单位阶跃响应的导数为单位脉冲响应。 线性定常系统的一个重要性质：某输入信号导数的输出响应，就等于该输入信号输出响应的导数；同理，某输入信号积分的输出响应，就等于该输入信号输出响应的积分，积分常数由零输出初始条件确定。 3.3 二阶系统分析 3.3.1 二阶系统的数学模型 3.3.2二阶系统的单位阶跃响应 3.3.3

33、高阶系统的时域分析 3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统.这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。系统典型 结构和传递函数为： 称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数， 称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。-特征根为： ，注意：当 不同时，（极点）有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。极点分布如图所示：特征方程为： 当时 ，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。 当时 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。 当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系

34、统，系统的阶跃响应为非振荡过程。 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应当输入为单位阶跃函数时， ，有： 分析： ，极点为：1.欠阻尼情况极点的负实部 决定了指数衰减的快慢，虚部 是振荡频率。称 为阻尼振荡圆频率。其周期为:2.无阻尼情况极点为： 此时输出将以频率 做等幅振荡，所以， 称为无阻尼振荡圆频率。3.临界阻尼情况极点为：阶跃响应函数为：4.过阻尼情况极点为：其中，A1、A2、A3为待定系数。据此，可求得输出响应的拉氏反变换 此时，系统输出时间t单调上升，无振荡和超调。由于输出响应含负指数项，因而随着时间的推移，

35、对应的分量逐渐趋于零，输出响应最终趋于稳态值1。 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面） 等幅周期振荡一对共轭虚根 典型两阶系统的瞬态响应典型两阶系统的瞬态响应可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。5.欠阻尼二阶系统的性能指标(1) 上升时间 ：根据定义，当 时， 。(2) 峰值时间 ：

36、当 时，(3) 超调量: 上式表明超调量%的大小只决定于阻尼比值，而与 的大小无关。工程中，有时把阻尼比和 %之间的关系，按计算结果，直接整理成曲线如图所示，应用时由直接查该图即可得%。(4) 调节时间 ：例3-1有一位置随动系统，其结构图如图所示，其中求该系统（）自然振荡角频率；（）系统阻尼比（）超调量和调节时间（）如要求 怎样改变系统 值。解 该系统传递函数为 对照下式可得 （1）自然振荡角频率：（2）阻尼比：由 得（3）超调量： （4）调节时间： （5）要求 即 例3-2 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示。试确定系统的传递函数。解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，

37、故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为：然后由响应的 、 及相应公式，即可换算出 、 。 （s）由公式得换算求解得： 3.2 3高阶系统的时域分析高阶系统的传递函数为：写成零极点形式：单位阶跃响应为：对上式进行部分分式展开对上式拉氏变换得：高阶系统有如下结论： （1）高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数 和 决定。如果某极点远离虚轴，那么其相应的瞬态分量比较小，且持续时间较短。（2）高阶系统各瞬态分量的系数 和 不仅与复平面中极点的位置有关，而与零点的位置有关。 （3）在系统中，如果距虚轴最近的极点，其实部的绝对值为其他极点实部绝对值的1/5甚至更小，并且在其附近没有零点存在，则系

38、统的瞬态响应将主要由此极点左右。 3.4 稳定性与代数判据3.4.1稳定的概念3.4.2稳定的数学条件及定义 3.4.3古尔维次稳定判据 3.4.4劳斯稳定判据 3.2 3高阶系统的时域分析高阶系统的传递函数为：写成零极点形式：单位阶跃响应为：2.5.1 动态结构图的概念1.定义:把组成系统的各个环节用方块图表示，在方块图内标出各环节的传递函数，并将各环节的输入量、输出量改用拉氏变换来表示。这种图形称为动态结构图，简称结构图。 2.结构图由四种基本图形符号所组成，称为结构图的四要素。各图形符号代表的意义如下：（1）信号线：信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或

39、象函数，见图（a）； （2）引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同，见图（b）；（3）综合点（比较点或相加点）：对两个或两个以上性质相同的信号进行取代数和的运算。参与相加运算的信号应标明“+”号，相减运算的信号应标出“”号。有时“+”号可省略，但“”号必须标明，如图（c）；（4）函数方块：表示元件或环节输入、输出变量之间的函数关系。方块内要填写元件或环节的传递函数，如图（d）。(a) (b) (c) (d)2.5.2动态结构图的建立绘制动态结构图的一般步骤为：（1）明确系统的输入量和输出量；确定各元件或环节的传递函数。 （2）绘出各环节的方块图，在其中标

40、出传递函数，并将信号的拉氏变换标在信号线附近。（3）按照系统中信号的传递顺序，依次将各环节的方块图连接起来，便构成系统的结构图。 例2-5 已知RC阻容网络如图2-5所示，其中 为输入量， 为输出量，试画出该网络的动态结构图。解 该网络系统的输入量为ur，输出量为uc。其遵循的电路原理为：对以上的标准微分方程组进行拉氏变换，得如下的标准变换方程组：从输入端开始，依次画出各个子变换方程输入量、输出量关系的传递函数方块图。并连结系统中的各同名信号线。如图2-6所示。 2-5 2-62.5.3动态结构图的等效变换1、串联环节的等效变换 几个环节的结构图首尾连接，前一个结构图的输出是后一个结构图的输入

41、，称这种结构为串联环节。如图2-7（a）是两个环节串联的结构，有： 由上两式得因而可等效成图2-7（b）所示的结构。由此可得出，串联环节的等效传递函数等于各相串联环节传递函数的乘积，即有 2-7(a) 2-7(b)2.并联环节的等效变换两个及两个以上环节具有同一个输入信号，而以各自环节输出信号的代数和作为总的输出信号的结构称为并联环节。如图为两个环节的并联结构图。由图得： 由上三式得其等效结构图如图所示。由此可见，并联环节的等效传递函数等于各并联环节的传递函数的代数和，即有3.反馈连接的等效变换若传递函数分别为G（s）和H（s）的两个方块图如图2-9（a）形式连接，则称为反馈连接。“+”号为正

42、反馈，表示输入信号与反馈信号相加；“-”号为负反馈，表示输入信号与反馈信号相减。由（a）图有 由上三式得称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数，式中负号对应正反馈连接，正号对应负反馈连接。反馈连接的等效变换如图所示。 4.综合点和引出点的移动在结构图的变换中经常要求改变综合点和引出点的位置。一般包括综合点前移、综合点后移、引出点前移、引出点后移、相邻综合点和相邻引出点之间的移动。 1）综合点前移图2-10（a）和图2-10（b）分别表示综合点前移变换前后的系统结构图。 可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系：2）综合点后移图2-11（a）和图2-11（b）分别表示综合点后移变换前后的系统

43、结构图可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系： 3）引出点前移图2-12（a）和图2-12（b）分别表示引出点前移变换前后的系统结构图。 可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系： 4）引出点后移图2-13（a）和图2-13（b）分别表示引出点后移变换前后的系统结构图。 可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系： 5）相邻综合点之间的移动和合并图2-14（a）和图2-14（b）表示相邻综合点之间可以互换位置或进行合并，不会改变该结构输入和输出信号之间的关系。6）相邻引出点之间的移动从一个信号流线上无论引出多少条信号线，它们都代表同一个信号，所以在一条信号线上的各引出点之间的位置可以随意改变，

44、效果都是等效的。如图2-15（a）和图2-15（b）所示。C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)例2-8 化简图2-16所示的系统结构图，并求传递函数。 解 （1）将综合点a后移，得等效图如图 （2）再与b点交换，得到图 （3）因 与 并联， 与 是负反馈环，可得图 （4）再将上图的两个串联环节进行合并，得最后化简的结果如图 2.6 信号流图2.6.1信号流图的术语及绘制2.6.2梅逊公式2.6.1信号流图的术语及绘制1.信号流图中的术语 源节点（输入节点） 只有输出支路而无输入支路的节点。如图中的x1。阱节点（输出节点） 只有输入支路而无输出支路的节点。如图中的x6

45、。混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点。如图中的x2，x3，x4，x5。通路 沿着支路箭头的方向顺序穿过各相连支路的路径。前向通路 从源节点开始并且终止于阱节点，与任一节点相交不多于一次的通路。如图中的x1x2x3x4x5，x1x2x4x5，x1x2x5前向通道增益 前向通道上各支路增益的乘积。回路 通路的起点和终点是同一节点，并且与其它任何节点相交不多于一次的闭合路径称为回路。回路增益 回路中各支路增益的乘积，称为回路的增益。不接触回路 回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。在信号流图中，可以有两个或两个以上的不接触回路。如图中的：x2x3x2和x4x4；x2x5x3x2和x4

46、x4。 2.信号流图的绘制 信号流图可以根据微分方程绘制，也可以从系统的结构图按照对应关系得到。 1）由系统微分方程绘制信号流图一般应先通过拉氏变换将微分方程变换为s的代数方程式后再化信号流图。绘制信号流图时，首先对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左向右顺序排列；然后，用标明支路增益的支路，根据代数方程式将各节点变量正确连接，便可得系统的信号流图。 （2）由系统结构图绘制信号流图结构图中，由于传递的信号标记在信号线上，方框则是对变量进行变换或运算的算子。因此，从系统结构图绘制信号流图时，只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递信号，便得到节点；用标有传递函数的线段代替

47、结构图的方框，便得到支路，结构图也就变换为相应的信号流图了。2.6.2梅逊公式计算任意输入节点和输出节点之间传递函数的梅逊增益公式为 式中，特征式，其计算公式为n从输入节点到输出节点间前向通道的条数；Pk从输入节点到输出节点间第K条前向通道的总增益；La所有不同回路增益之和；LbLc所有两两互不接触回路的回路增益的乘积之和；LdLeLf所有不接触回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和；K第K条前向通路的余子式，即把与该通路相接触的回路的回路增益置为0后，特征式所余下的部分。 例2-10 用梅逊公式求如图2-19所示系统的传递函数。 解： 单独回路4个，即两个互不接触的回路有4组，即 三个互不

48、接触的回路有1组，即 于是，得特征式为 从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为: 因此，传递函数为 第4章 根轨迹法本章的主要内容 4.1根轨迹与根轨迹方程 4.2 绘制根轨迹的基本规则 4.3系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系 4.4 开环零极点对根轨迹的影响 4.1根轨迹与根轨迹方程 4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。4.1.1 根轨迹根轨迹定义：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。例：如图所

49、示二阶系统，-特征方程为：闭环传递函数：系统开环传递函数为：特征根为：讨论：不论开环增K为何值，根轨迹均在S平面左半部，所以系统是稳的。 当K0.5时，闭环特征根具有负实部的共轭复根，阶跃响应为衰减振荡过程，相当于欠阻尼状态。因为开环传递函数有一个位坐标圆点的极点，系统为I型系统，在阶跃信号作用下稳态误差为零，在斜坡信号作用下稳态误差为常数。由上述分析过程可知，用直接求闭环特根的方绘制根轨迹，对二阶系统是基本可行的，然而对高阶系统将是很困难和不现实的。根轨迹的根本思路是根据反馈系统开环，闭环传递函数确定关系，通过开环传递函数寻求闭环根轨迹的分析方法。4.1.2根轨迹方程系统的结构图如下：-闭环

50、传递函数为：闭环特征方程为：写成以下标准型，得：分母时间常数。系统的开环放大倍数；式中：iTK-分子时间常数。也可写成：称为根轨迹增益 上式称为根轨迹开环传递函数的标准形式。所以，绘制根轨迹图时，首先要把开环传递函数改写成这种标准形式。 可写出幅值方程与相角方程，即 及相角方程 还可写成幅值方程式中K=0，1，2， 4.2 绘制根轨迹的基本规则 规则1：根轨迹的分支数根轨迹在S平面的分支数等于闭环特征方程的阶数n，即分支数与闭环极点的数目相同。 规则2：根轨迹的分支数根轨迹对称于实轴如果闭环极点为实数时，必然在实轴上，若为复数，一定为共轭成对出现，所以根轨迹必然对称于实轴。规则3：根轨迹起始于

51、开环极点，终止于开环零点，如果开环零点m小于开环极点n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。根轨迹方程为根轨迹的起点，即当开环增益K=0时的闭环极点，当K=0，上式右边无穷大，对应上式的左边，只有当SPi时为无穷大，所以K=0时，根轨迹分别从开环极点开始，即起始于开环极点。根轨迹的终点，即当开环增益K=时，上式右边为零，对应上式的左边，只有当SZi时为零，所以根轨迹的终点对应于开环零点，或者说根轨迹终止于开环零点。当nm时只有m条根轨迹终止于开环零点，由nm，当S上式可写成规则4：实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹区段右侧，开环零极点数目之和为奇数。所以，当K时，有 条根轨迹终止于无穷远。 jz2z

52、1p3 p1 p2 sd p4 p5若某系统开环零，极点分布如图.现要判断一下P2和Z2之间是否存在根轨迹。 可取此线段上的任一点Sd为实验点，在Sd右边实轴上的每个开环零极点引向Sd点的矢量为180，在Sd点左边实轴上的每个开环零极点引向Sd点的矢量相角为0，而不在实轴上的一对共轭的开环零极点引向Sd的矢量相角大小相等，方向相反，其和为零，因此，满足根轨迹方程相角条件因此，实轴上根轨迹与复数开环零极点无关（因此它们在相角条件中互相抵消），与实验点左边的开环零极点无关（因为它们提供的相角均为0），要满相角条件 ，只有实验点右边的开环零极点数目之和为奇数。例4-1已知单位反馈系统的开环传递函数式

53、中T，试大致画出其根轨迹。 jz1 p1=0 p2解：首先将G(s)化成标准式 由标准式可知：开环传函数有两个极点有一个零点 即n=2，m=1。故有两条根轨迹。当K=0时，两条根轨迹从开环极点开始，当K时，其中一条根轨迹终止于开环零点Z1，另一条趋向于无穷远处。实轴上，（P1，Z1），（P2，-）为根轨迹区段，根轨迹如图所示规则5：根轨迹的渐近线当系统的开环增益K时，趋向无穷远的根轨迹有 条，这 条根轨迹的方位可由渐近线决定。与实轴正方向夹角与实轴交点式中，K=0，1，2一直到获得 个倾角为止。 例4-2单位负反馈系统的开环传递函数为求根轨迹的渐近线。解：有三个开环极点， ，开环没有零点，n=

54、3，m=0，故有三条根轨迹趋向于无穷远，其渐近线与实轴交点为当K=0，当K=1，渐近线如图 规则6：根轨迹出射角和入射角根轨迹的出射角，是指起于开环极点根轨迹的方向角，即根轨迹出发点切线与水平线的夹角。根轨迹的入射角，是指终止于开环零点根轨迹的方向角，即根轨迹终止点切线与水平线的夹角。例4-3 设单位反馈系统的开环传递函数试绘制系统根轨迹。解：开环极点：开环零点:（1）实轴（01.5）和（ ）有根轨迹。（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根轨迹可知 。（3）根轨迹出射角与入射角。出射角各向量如图4-9（a）所示。取K=0， 同理可求根轨迹入射角 取K=0，因为 与 共轭

55、，所以各向量图如图4-9（b）所示。例43的根轨迹如图4-10所示。 规则7：分离点（会合点）两条根轨迹在复平面会合又分开的点称为根轨迹的分离点或会合点。将系统根轨迹方程写成则特征方程根轨迹在S平面相遇，说明闭环特征方程有重根出现，根据代数中有重根条件：另一种方法，可利用公式从上式中解出S，即可求分离点坐标d。例4-4已知系统开环传递函数，系统结构图如图所示。 -试求闭环根轨迹分离坐标，并画出根轨迹图解：由系统开环传递函数可知解法1 S2无意义舍去。分离点坐标为：d= -3.7解法2 用公式有 解此方程d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。因为n=2,m=1 在实轴（2，）区

56、段有根轨迹。出射角 系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远系统根轨迹如图4-11(b) 所示。 规则8：根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点可用 求解，或者用劳斯判据确定。显然，当根轨迹与虚轴相交，说明此特此根实部为零，设 ，代入特征方程，即可求出与虚轴的交点坐标（ ）及其参数。例4-5 已知系统开环传递函数求系统根轨迹与虚轴交点解法1：闭环特征方程即根轨迹与虚轴交点为j2，这时系统的开环增益K=20解法2：闭环特征方程 D（S）=S（S+1）（S+4）=S+5S+4S+K=0劳斯阵列表S 1 4S 5 KS1 0S K系统临界稳定时 K=20将K代入D（S）得 S+5S+4S+20=0故 其中S1不在虚轴上，不是根轨迹与虚轴交点；S2,3在虚轴上，为根轨迹与虚轴交点。 例4-6设单位负反馈开环传递函数为试绘制其根轨迹图。解1开环极点 m=0无开环零点2有4条根轨迹。4条根轨迹趋无穷远。3在实轴（-3，0）有根轨迹4渐近线与实轴交点： 与实轴夹角： 5分离点d6 为复数开环极点。出射角7与虚轴交点令S=j代入特程方程分别令实部与虚部为0。 根轨迹图如图4-12所示，由根轨迹图可知，当0K8.22系统稳定。例4-7单位负反馈系统的开环传递函数为求 绘制其根轨迹。解1开环极点 n=4,m=02有四条根轨迹3实轴