工具变量法：2SLS

1、=0工具变量法（一）：2SLS实证研究的常见问题之一为内生性（），即解释变量与扰动项相关。研究者通常要花很大精力来解决内生性问题，而工具变量法则是解决内生性的常用利器。内生性及其后果考虑最简单的一元线性回归模型:列二住+肚+6(i=1Il)其中，J为被解释变量，匸为解释变量，与；为待估计的未知参数，下标-表示个体（比如，第个企业），-为随机扰动项（包含除.-外影响的所有其他因素），而为样本容内生性意味着解释变量与扰动项相关，即如果存在内生性，则称解释变量为内生变量（）；反之，则称b为外生变量（）。内生性的严重后果是使得L估计量不一致（Si即无论样本容量多大，LS估计量也不会收敛至真实的参数值。

2、工具变量的思想工具变量的思想其实很简单。虽然内生变量是坏的变量（与扰动项相关），但仍可能有好的部分（与扰动项不相关的部分），正如坏人通常也有好的一面。如果能将内生变量.分解为内生部分与外生部分之和，则可能使用其外生部分得到一致估计。而要实现这种分离，通常需要借助另一变量，比如，称为工具变量（，简记IV因为它起着工具性的作用。显然，并非任何变量都可以作为工具变量。首先，变量要能够帮助内生变量；分离出一个外生部分，则变量自身必须是干净的，即满足外生性（与扰动项不相关）：其次，变量J还须与工有一定关系，即满足相关性（卫与工相关）C”DV（逐、T/0寻找内生变量的外生部分假设找到内生变量工的有效工具变

3、量则可将工对进行回归，从而分离出工的外生部分：S=;+曲+g此回归称为第一阶段回归（）。由工具变量的相关性（了与工相关）可知，去（）；否则，无法实现此分离。记此回归的拟合值（）为；=+S益其相应的残差（）为显然，第一阶段回归将内生变量/分解为两部分：%=佥+Ui其中，第一阶段回归的拟合值为工具变量的线性函数，故为外生部分（因为.外生）；而其余的残差为内生部分。二阶段最小二乘法既然第一阶段回归的拟合值心外生，故只要将必替代原模型中的内生变量;即可用得到一致估计：加=生+耸+（己,+万鱼）称此回归为.第二阶段回归（）r不难证明，在此回归中，必与扰动项-不相关。首先，由于为工具变量的线性函数，故与不

4、相关。其次，根据的正交性（陈强，1）,回归的拟合值与残差正交（），故a（第一阶段回归的拟合值）与必（第一阶段回归的残差）不相关。因此，为一致估计。由于此工具变量法通过两个回归来实现，故称为二阶段最小二乘法（，简记）S多个工具变量如果有多个工具变量，比如I与二，也不难处理，只要将这两个工具变量同时放入第一阶段回归即可：s=7+$为+昭讥+爲而第二阶段回归依然不变。加入控制变量在多元回归中，一般还有其他的外生变量或控制变量，比如y-i=口+艮工订十圧工卫+纺其中，r为内生变量，而-为外生变量。此时，应将外生变量-也放入第一阶段回归中。原因有二。首先，二可作为自身的工具变量，因为满足相关性（二与自身

5、完全相关）与外生性（二为外生变量）。其次，如果不将外生变量二放入第一阶段回归，则无法保证第一阶段回归的残差:；与-正交，使得第二阶段回归的扰动项可能与-相关（二在第二阶段回归方程中），导致第二阶段回归不一致。多个内生变量如果只有个内生变量，则仅需个工具变量即可进行估计。类似地，如果有个内生变量，则至少需要个工具变量才能进行估计。理由如下。假设有个内生变量-i与-但只有个工具变量.。此时，存在两个第一阶段回归方程:Si=71+一坯1=卫+隔-坯2所得的拟合值分别为Jl爲1=71-齢A.兔=72-昭显然，由于-1与-V均为工具变量.的线性函数，故二者之间存在严格的线性关系。因此,将与同时放入第二阶

6、段回归方程，将导致严格多重共线性（tictticoihea使得无法进行L估计。识别条件（Identification由上可知，如果工具变量个数少于内生变量个数，则无法进行2SL估计，称为不可识别（nidentifidd,因为无法得到对模型参数的一致估计。如果工具变量个数正好等于内生变量个数，则称为恰好识别（tidentifiedactidentified。如果工具变量个数大于内生变量个数，则称为过度识别（oeidentified在恰好识别或过度识别的情况下，均可进行2SL估计；而在不可识别的情况下，则无法进行。2SLS的大样本性质可以证明（陈强，2，第章），2SLS估计量为一致估计（conitertc,且随着样本容量增大，其渐近分布为正态分布（atoticno）ait而且，如果扰动项为球形扰动项（满足同方差、无自相关），则2SL为最有效率的工具变量法。如果担心扰动项存在异方差，则依然可使用稳健标准误（ottanda）进行!统计o推断。当然，2SLS的这些优秀性质都依赖于工具变量的有