2022新高考总复习《数学》(人教)第二章　函数课时规范练9　函数的奇偶性与周期性

1、 课时规范练9函数的奇偶性与周期性 基础巩固组1.函数f(x)=1x-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.原点中心对称D.直线y=x对称2.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x0,2时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)0在-1,3上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)(1,3)D.(-1,0)(0,1)3.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+)上单调递减,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()A.f(6)f(7)B.f(6)f(9)C.f(7)f(9)D.f(7)f(10)4.设偶函数f(x)满足当x0时,f(x)=x3-8,则x|f(x-2)0=(

2、)A.x|x4B.x|x4C.x|x6D.x|x25.(多选)对于定义在R上的函数f(x),下列判断错误的有()A.若f(-2)f(2),则函数f(x)在R上是增函数B.若f(-2)f(2),则函数f(x)不是偶函数C.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数D.函数f(x)在区间(-,0上单调递增,在区间(0,+)上也单调递增,则f(x)是R上的增函数6.(多选)(2020山东济南一模,10)已知符号函数sgn(x)=1,x0,0,x=0,-1,x1,sgn(ln x)=1C.函数y=exsgn(-x)的值域为(-,1)D.对任意的xR,|x|=xsgn(x)7.(多选)(2020山东淄博一模

3、,12)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,对于任意xR,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x0,2)时,f(x)=2x-1.给出下列结论,其中正确的是()A.f(2)=0B.点(4,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心C.函数y=f(x)在-6,-2上单调递增D.函数y=f(x)在-6,6上有3个零点8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)f(a),则实数a的取值范围是()A.(-,-1)(2,+)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)9.(2020山东潍坊临朐模拟一,14)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f

4、(x+4)=f(x),且当x(0,2)时,f(x)=x2+1,则f(7)的值为.10.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当x-3,-1)时,f(x)=-(x+2)2,当x-1,3)时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 021)=.11.已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2 017)=.综合提升组12.函数f(x)=2-sinx3+|x|的最大值是M,最小值是m,则f(M+m)的值等于()A.0B.2C.D.213.(2020全国2,理9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,

5、则f(x)()A.是偶函数,且在12,+上单调递增B.是奇函数,且在-12,12上单调递减C.是偶函数,且在-,-12上单调递增D.是奇函数,且在-,-12上单调递减14.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为()A.2B.1C.-1D.-215.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x0,1时,f(x)=3x,若12a0得x(-1,0);当x0,1)时,由xf(x)0得x;当x1,3时,由xf(x)0得x(1,3).故x(-1,0)(1,3).故选C.3.D由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图象关于

6、直线x=8对称.又因为f(x)在(8,+)上单调递减,所以f(x)在(-,8)上单调递增.可画出f(x)的草图(图略),知f(7)f(10),故选D.4.Bf(x-2)0等价于f(|x-2|)0=f(2).又f(x)=x3-8在0,+)上单调递增,|x-2|2,解得x4,故选B.5.ACD对于A,若f(-2)f(2),则f(x)在R上必定不是增函数,故A错误;对于B,若函数f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2),所以若f(-2)f(2),则函数f(x)不是偶函数,故B正确;对于C,f(x)=x2,满足f(0)=0,但不是奇函数,故C错误;对于D,该函数为分段函数,在x=0处,有可能会出现右侧

7、比左侧低的情况,故D错误.故选ACD.6.ABD对于A,易知y=sgn(x)的图象关于原点中心对称,所以y=sgn(x)是奇函数,故A正确;对于B,对任意的x1,ln x0,可得sgn(ln x)=1,故B正确;对于C,y=exsgn(-x)=-ex,x0,0,x=0,ex,x0,x=0,x0时,等式两边都成立,故D正确.故选ABD.7.AB在f(x+4)=f(x)+f(2)中,令x=-2,得f(-2)=0,又因为函数y=f(x)是R上的奇函数,所以f(2)=-f(-2)=0,f(x+4)=f(x),故y=f(x)是一个周期为4的奇函数,因为(0,0)是f(x)的图象的一个对称中心,所以点(4

8、,0)也是函数y=f(x)的图象的一个对称中心,故A,B正确;作出函数f(x)的部分图象如图所示,易知函数y=f(x)在-6,-2上不具单调性,故C不正确;函数y=f(x)在-6,6上有7个零点,故D不正确.故选AB.8.Cf(x)是奇函数,当xf(a),得2-a2a,解得-2a0,f(x)在区间-12,12上单调递增.同理,f(x)在区间-,-12,12,+上单调递减.故选D.14.Af(x+1)为偶函数,f(x)为奇函数,f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)

9、=-f(x+2)=f(x),则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,f(4)+f(5)=0+2=2,故选A.15.5f(x+2)=f(x),函数f(x)是周期为2的函数,若x-1,0,则-x0,1,f(-x)=-3x,由题意f(-x)=f(x)=-3x.由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x),设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间-3,2上的图象如图.12a34,当a=12和34时,对应的直线为两条虚线,则由图象知两个函数有5个不同的交点,故方程有5个不相等的实数根.16.解(1)命题p为真命题;充分性:若y=f(x+a)-b为奇函数,则f(a-

10、x)-b=-f(a+x)+b,即f(a-x)+f(a+x)=2b.设M(x,y)为f(x)图象上任一点,则M关于(a,b)的对称点为N(2a-x,2b-y),f(2a-x)=f(a+(a-x)=2b-f(a-(a-x),N在y=f(x)图象上,即y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形.必要性:若y=f(x)的图象关于(a,b)成中心对称图形.设M(x,y)为f(x)图象上任一点,则由上知f(2a-x)=2b-f(x),令x取x+a,则f(a-x)+f(a+x)=2b,即f(-x+a)-b=-f(a+x)+b,y=f(x+a)-b为奇函数.综上,命题p为真.(2)设函数f(x)=g(x+a)-b为奇函数,则f(x)=(x+a)3-3(x+a)2-b=x3+(3a-3)x2+(3a2-6a)x+a3-3a2-b.f(x)=g(x+a)-b为奇函数,3a-3=0,a3-3a2-b=0,即a=1,b=-2.由(1)知命题p为真命题,则函数g(x)=x3-3x2的图象对称中心的坐标为(1,-2).(3)若存在实数a和b,使得函数y=f(x+a)-b是偶函数,则可以通过上下