分行几何报告

1、分形几何读书报告1、普通几何学及不足普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的 线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。用通俗的话说，这些研究对象是 “规则的”图形：光滑的曲线、曲面，或是光滑曲面围成的立体图形，等等。这些 研究对象在普通几何学中有其度量方式，如一维的线可以求长，二维的面可以求 面积，三维的体可以求体积等。但是，自然界中很多的物体不具有光滑的边界。例如：山川的轮廓、云彩的 边界、雪花的图形等等。它们在传统几何学的意义上都是“不规则的图形”，被 经典的几何学搁置一边。对这一类对象，无法用普通几何学的度量手段去度量他 们，如按图1中的规律作无限细分后得到的

2、Koch曲线。图1 Koch曲线对其求长度会发现随着精度的提高，其长度不断增加，实际其长度为无穷大， 但若对其求面积，又会发现随着精度的增加，其面积不断减小，实际其面积为零。这样，用普通几何学的知识无法研究这些对象，需要有新的理论出现。2、分形几何学的产生在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的 海岸线有多长？这个问题这依赖于测量时所使用的尺度。如果用公里作测量单 位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增 加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分 界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制

3、，取不列 颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。 使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用 更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数 量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸 线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维 才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若 续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质

4、中的流体运动和它产生的渗流模 型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何 学。客观自然界中许多事物，如同前面所提到的海岸线一样，具有自相似的“层 次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。海岸线的长度为无穷大就是应为 它的这种结构。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物 理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。在分形几何学中，空间具 有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学的新突破，引起了数学 家和自然科学者的极大关注。客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长 城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从

5、而产生了特征长度。还有的事 物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这 叫做“无标度性”的问题。如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至 静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏 观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子 尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性” 解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门，如用计算机绘出的如 图2的分形图案。分形这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在 无限嵌套的迷宫和回廊，促

6、使数学家和科学家深入研究。图2美丽的分形图案法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了 重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书， 特别是分形一一形、机遇和维数以及自然界中的分形几何学，开创了新 的数学分支一一分形几何学。3、什么是分形1975年，Mandelbrot在其自然界中的分形几何一书中引入了分形(fractal) 这一概念。从字面意义上讲，fractal是碎块、碎片的意思，然而这并不能概括 Mandelbrot的分形概念，尽管目前还没有一个让各方都满意的分形定义，但在数 学上一般都认为分形有以下凡个特点：(1)具有无限精细

7、的结构；比例自相似性；一般它的分数维大子它的拓扑维数；可以由非常简单的方法定义，并由递归、迭代产生等。(1)(2)两项说明分形在结构上的内在规律性。自相似性是分形的灵魂，它使 得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息。第(3)项说明了分形的复杂性， 第(4)项则说明了分形的生成机制。图1中曲线按图中所示的规律逼近Koch曲线。 Koch曲线处处连续，但处处不可导，其长度为无穷大，以欧氏几何的眼光来看， 这种曲线是被打入另类的，从逼近过程中每一条曲线的形态可以看出分形四条性 质的种种表现。以分形的观念来考察前面提到的“病态”曲线，可以看出它们不 过是各种分形。把传统几何的代表欧氏几何与以分形为

8、研究对象的分形几何作一比较，可以 得到这样的结论：欧氏几何是建立在公理之上的逻辑体系，其研究的是在旋转、 平移、对称变换下各种不变的量，如角度、长度、面积、体积，其适用范日主要 是人造的物体；而分形的历史只有20来年，它由递归、迭代生成，主要适用于 自然界中形态复杂的物体。分形几何不再以分离的眼光看待分形中的点、线、面， 而是把它看成一个整体。4、分形几何的研究内容分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在 形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。 例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一 部分都具有和整体磁

9、铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小 几何尺寸，整个结构不变。维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独 立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维， 而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维 空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易 确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等 理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919 年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大

10、到分数，从而突破 了一般拓扑集维数为整数的界限。维数和测量有着密切的关系，可以由下面的例子说明分维的概念。画一根直线，如果用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无 穷多个点；如果用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么， 用怎样的尺度来量它才会得到有限值呢？只有用与其同维数的小线段来量它才 会得到有限值，而这里直线的维数为1(大于0、小于2)。对于上面提到的“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然， 用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0(此曲线中不包含平 面)，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值， 而这个维数显然

11、大于1、小于2,那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算 寇赫岛”曲线的维数是1.2618。5、分形的维数分形集的“不规则”性使它区别于经典的光滑点集，但是，如何来度量两个分 形集的“不规则”程度呢？分形维数提供了一种比较分形的客观工具。在普通几何学中，维数的概念很直观，如前面所述，点被认为是0维的，线 是1维的，面是2维的，体是3维的，时空可认为是4维的，以此推广，还可以 定义多维空间。以上这些维数都是整数，与这些空间不同的是分形的维数是分数。分形的维数定义主要有豪斯道夫(Hausdorff)维数和盒维数两种定义。豪斯道夫(Hausdorff)维数的定义如下：设A是(Rd, p)的有界子集，

12、则存在唯一的实数S0 e 0,d使得3, S S0式中，HS(A)为A的S豪斯道夫(Hausdorff)测度，定义式为：Hs (A) = lim HS (A)0 6HS (A)定义为：o8HS (A) = inf I U. Is :U. A 的 0覆盖 0i ii = 1豪斯道夫(Hausdorff)测度有个重要的比例性质：Hs (人F) =I 人 Is Hs (F)对于大量的严格自相似的分形图形，如果知道其豪斯道夫测度不为零，则可 以利用豪斯道夫测度的比例性质计算它的维数。例如对前面的Koch曲线，有Q Hs (F) = 4 Hs (3 F) = 4g(3)s gHS (F),/. 4 (3

13、)s = 1,i.e. Dim (F) = s = !ogH 0 log 3Hausdorff维数有严格的数学理论作基础，但其计算复杂，不利于应用。相对而言，盒维数应用起来更方便一些，其定义为：设入是(Rd,p )的有界子集，对每一个0 0，用NO(A)表示覆盖A的半径为6的闭球的最少个数，如果limlogNo(A)存在，则称其为集合A的盒维数，记 0项-log 0为DimB(A)。在实际计算过程中可以等价的用边长为6的正方体替代半径为6的 覆盖闭球。同样以koch曲线为例：? = 1/9?匝顷=12q = 1/27, N(r3)= 48图3 koch曲线的盒维数一般地，N(1/3)n) =

14、3*4n1,故=lim 1顽3*4：-1)n * - iog(3)n=lim log3 +(n -1)log4n 8 n log3=也=1.26186.log36、分形几何的应用分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液 中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量 液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的 轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线 段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导 数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是2,大大高于它的拓扑维数1。在某

15、些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外 增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉 积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗十可以分出不规则的枝杈， 每个枝杈继续分为细杈，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测 量。有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从1公里到1000公里的无 标度区。小于1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率 开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度 区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都 实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测 算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用