考点18平面向量的概念及其线性运算-高考全攻略之备战2019年高考数学理考点一遍过

1、考点18平面向量的概念及其线性运算考列原攵.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义(3)理解向量的几何表示.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义(3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义 .1 J知识整合,、平面向量的相关概念名称定义表小方法注息事项向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量AB或a;模 | AB | 或 |a |平面向量是自由向量零向量长度等于0的向量，方向是任意的记作0零向量方向是任意的单位向量长度

2、等于1个单位的向量常用e表小非零向量a的单位向量是 | a |平行向量方向相同或相反的非零向量a与b共线可记为a =0与任一向量平行或共线共线向量平行向量又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量a = b两向量只后相等或/、等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量a = -b0的相反向量为0、向量的线性运算1.向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律向量运算法则（或几何意义）运算律加法求两个向 后和的运 算二一角形法则a平行四边形法则(1)交换律：a+b=b+a(2)结合律：(a b) + c=。+(b+c)减法数乘求口与力 的相反向量一b的制 的运算叫 做口与b 的差（1）

3、IAfl =I/|:求实数；I（2）当A0时。的 与向量G 方向与。的方向用 的积的运回; 当A0,n0),则 m+2n 的最小值为A. 3B. 48C.一310D.3已知正方形 ABCD的边长为1,设AB =a, BC= b, AC= c,则ab + c =10.设a, b是不共线的两个非零向量，若 OA = ka +12b，OB = 4a +5b，OC =-ka +10b，且点A ,B , C在同一直线上，则 k =直通高考1. （2018年高考新课标I卷理科）在4ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB =31C -AB AC1r 3rB AB AC,44L 31D AB

4、AC2. （2015年高考新课标I卷理科）设D为4ABC所在平面内一点，BC = 3CD，则A.C.AD =AB 4 Ac TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 33 HYPERLINK l bookmark115 o Current Document AD -4Ab 1Ac 33h i r 4r HYPERLINK l bookmark119 o Current Document B. AD 二一AB AC 33h 4r 1r HYPERLINK l bookmark121 o Current Document D.

5、AD 二一AB - AC 33（2015年高考北京卷理科）在 ABC中，点M , N满足力拓=2雨B?V=MC.若MN=x4+y/t ,则x=y=（2015年高考新课标n卷理科）设向量a, b不平行，向量九a+b与a + 2b平行，则实数九=6好案.变式拓展.【答案】B【解析】=同即台的模的大小相等，但方向不一定相同，故两个向量不一定相等，故（E错误君4月C 是不共线的四点，贝商=灰 =。且3 = CD o四边形38为平行四边形，故正确，若O =6 ,则/ 8的模小相等,方向相同，若b = ,贝“瓦C的模的大小相等，方向相同，故/C 的模的大小相等上方向相同，即。=c，故正确:2 =。的充要条

6、件是同=1可且。力同向，故错误.故正确命题的序号是，故选B.【答案】D117Af = -Ae,%=-砥诙=-比，【解析】由题意得，22a 那么BF=_ Li? + zb + ot)=-1 + -AD.3【名师点睛】高考对向量加法、减法运算的考查，重在对加法法则、减法法则的理解，要特别注意首尾顺次相接的若干向量的和为 0的情况.一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形（平.当运用三角形加法法则时，要注行四边形、矩形、菱形、梯形）、正六边形等在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法3.【答案】B【解析】如

7、图， ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，E为线段AD的中点，则CB = AB -AC二 1 一CE 二-CD CA 二1 -* 11VAB AC -ACCD = 2港二康.2葭T T T 1CE =mAB nAC， m =-,n3故选B.解本题时，根据题1 则 AO AM 21 111 AB AC = 1AB11+ AD t )1 rAB 41 AD ,由 B,O, D 4t点共线，得【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用，考查了学生的推理与运算能力意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算的三角形法则和平行四边形法则,求出m, n的值即可.4.【解析】设线段BC的中点为M ,

8、则Ob+Oc =2oM ,因为2AO = OB + OC ,所以iO=OM ,11,1一 + = 1,解得t = 一 .故选B .4 4t3【名师点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法:A, B,C三点共线仁AB =九AC .， TO为平面上任一点，A,B,C三点共线=OA=，uOB + NOC ,且九+ R =1.考点冲关【解析】对于A,若向量AB与向量CD是共线向量，则AB/ CD或点A, B, C, D在同一条直线上，故A错误;对于B,共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反,故B错误；对于C,长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向

9、相同，故 C错误；对于D,相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同, 故D正确.故选D.【名师点睛】本题考查向量的基本定义，关键是理解向量有关概念的定义.解题时，根据题意，结合向 量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案.故选B.【名师点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，在正六边形中，首先利用向量的加法运算法则，结合 TOC o 1-5 h z 向量共线的条件，对选项逐个分析，求得正确结果3.【答案】B! ! 5T 5 T L 5 【解析】 AD =AB + BD =AB 十一BC =AB 十一 AC - AB =AB 十一AC，故选 B4444.【答

10、案】A【解析】因为a+b=a-b,即所围成的平行四边形的对角线长度相等，所以该平行四边形为正方形或长方形，由此可得 a,b的夹角为90。，故选A.【名师点睛】根据向量的加减法则，结合几何图象特征即可.【答案】A一日T T TT【斛析】由向重的加法法则可得BD = BC+CD = 5a +6b + 7a 2b = 2a + 4b = 2AB，T - T 一， A C -八所以AB与BD共线，又两线段过同点 B，所以A,B, D三点一定共线.故选A.【名师点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，向量的加法法则，考查利用向量的共线来证明三点共线，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.解本题时，由向量

11、加法的主角形”法则，可得BD =2AB，从而可得结果.【解析】为押的中点一二石+丽=2历，- 0A + 0B2dC = Q? OC=-ODf OCD【名师点睛】本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题.解决向量小题的常用方法有：数形结合， 向量的三角形法则、平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小 和方向的向量为基底.解决本题时，根据平面向量的几何运算可知O为CD的中点，从而得出答案.【答案】D【解析】如图所示:在平行四边形ABCD中, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark131 o Current Document Ab =a,

12、 AD = b, AC =a+b, /BAC = ,/DAC =, 34TT2在 ABC中，由正弦定理可得,导年亚故选D HYPERLINK l bookmark133 o Current Document 向sin n娈332【名师点睛】本题主要考查平面向量的运算法则、几何意义以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.【答案】At解析】如图，与二益+旃=方就-湎=逅+ =就=上而+ 2衣 3， 33 3m 3n TOC o 1-5 h z 二峪H N三点共线,，-H =1T . m , 3m 3m3n-2n I i (3w2)* + (3m 2) + 贝 I r M _ OF1 f， 3冽

13、 + 2 打=+ 2 打=3n-23n-23收一2155=7 (3m2)+石 -十三之三乂2+W=3：当且仅当(3-2)二,即用=理二1时等号成立.(3*7-2) 3 33(初一可.*1rq故选A.【名师点睛】考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及基本不等式的应用，属中档题.解本题时，用aM，AN表示出Ap根据三点共线得出 m,n的关系，最后利用基本不等式得出 m十2n的最小 值.9.【答案】2【解析】如图，a +b =c,所以a b + c = 2a ,又a =1 , .a b+c = 2,故答案为2 .【名师点睛】本题考查两个向量的加减法的法则，及其几何意义，属于基础题.向量的运算

14、有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）.运算法则是： TOC o 1-5 h z （1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）210.【答案】一3= 4.k a 一 7b星=2=(4 k a - 5b,T T【解析】由题得AB=OB-OA一，-4 -k因为点A, B, C在同一直线上，所以 4 k工k = . -5【名师点睛】（1）本题主要考查向量的运算和共线向量的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.（2） A, B,C三点共线u AB=K呢.直通高考【解析】根据向量的运算法则，可得1 1 1 BE = BA BD11BA AC 4t 1 1 r 3T 1 rBA - BA -AC = BA -AC1rAC ,故选A.4【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的2.三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程