2022新高考总复习《数学》(人教)第八章　平面解析几何8.3　圆的方程

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI8.3圆的方程第八章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊定义平面上到的距离等于的点的集合(轨迹)叫做圆标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)圆心C:半径:一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)圆心:半径: 【知识梳理】 1.圆的定义及方程 注意:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点 ;当D2+E2-4F0),点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2点M在圆上;(2)(x0-a)2+(y

2、0-b)2r2点M在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2点M在圆内.=0. ()【考点自诊】 2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准方程为()A.x2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-3)2=1答案 A解析 因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,所以圆心C(0,0).又圆C的半径为1,所以圆C的标准方程为x2+y2=1.3.以A(-2,1),B(1,5)为半径两端点的圆的方程为()A.(x+2)2+(y-1)2=25B.(x-1)2+(y-5)2=25C.(x+2)2+(y-1)2=25或(x-

3、1)2+(y-5)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=5或(x-1)2+(y-5)2=5答案 C解析 由题意得半径 ,若以A(-2,1)为圆心,则所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=25,若以B(1,5)为圆心,则所求圆的方程为(x-1)2+(y-5)2=25.故选C.4.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则圆C的标准方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1答案 A解析 因为圆心在第一象限,且与x轴相切,所以设圆心的坐标为(a,1)(a0).又

4、圆C与直线4x-3y=0相切,所以 =1,解得a=2.所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.5. 已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则AOB外接圆的方程为.答案 (x-1)2+(y-2)2=5 关键能力 学案突破考点1求圆的方程【例1】 (1)(2020全国2,理5,文8)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()(2)(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6 D.7答案 (1)B(2)A解析 (1)由题意可知,圆心在第一象限.设圆心为(a,a)(a0),则(2-a

5、)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5.当a=1时,圆心为(1,1),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为解题心得求圆的方程的方法 方法解读适合题型几何法通过研究圆的性质、直线和圆及圆和圆的位置关系,进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程.常用的几何性质如下:(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的垂直平分线上;(3)当两圆内切或外切时,切点与两圆心三点共线题设条件中有明显的几何特征待定系数法(1)根据条件设出圆的方程,一般地,若题目中有与圆心和半径有关的信息,则选择标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),若已知圆上三点的坐标(或三点坐标易求),则选择一般

6、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0);(2)由题目给出的条件,列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程题设条件中有明显的代数特征对点训练1(1)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.(2)(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的有()A.圆M的圆心坐标为(4,-3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为6答案 (1)x2+y2-2x=0(2)ABD解析 (1)设点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,

7、0),则AO=AB,所以点A在线段OB的垂直平分线上.又因为OB为该圆的一条弦,所以圆心在线段OB的垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y),所以(y-1)2=1+y2,解得y=0,所以该圆的半径为1,其方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.(2)由x2+y2-8x+6y=0,得(x-4)2+(y+3)2=25,故圆M的圆心坐标为(4,-3),半径为5,显然选项A正确,选项C不正确.令y=0,解得x1=0,x2=8,故圆M被x轴截得的弦长为8,同理,圆M被y轴截得的弦长为6,故选项B,D均正确.故选ABD.考点2与圆有关的轨迹问题【例2】 已知直角三角形ABC的斜边为AB,且点A

8、(-1,0),B(3,0).(1)求直角顶点C的轨迹方程;(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程.(2)设点M(x,y),C(x0,y0),因为点B(3,0),M是线段BC的中点,由(1)知,点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y0),即(x-1)2+y2=4(y0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y0),即(x-2)2+y2=1(y0).故点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y0).解题心得求与圆有关的轨迹方程的方法对点训练2(1)从圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,

9、则点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,则点M的轨迹方程为.答案 (1)D(2)(x-1)2+(y-3)2=2解析 (1)由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图.因为|PQ|=|PO|,且PQCQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0.故选D.(2)依题意,圆C的方程可

10、化为x2+(y-4)2=16,所以圆心C(0,4).考点3与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助目标函数的几何意义求最值【例3】 已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.对点训练3已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z= 的最大值与最小值分别为和.考向2借助圆的几何性质求最值【例4】 已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是.解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则ABP的