高数下册同济六版知识网络

1、第八章 总结向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 模向量 SKIPIF 1 0 的模记作 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 和差 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 单位向量 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 方向余弦设 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴的夹角

2、分别为 SKIPIF 1 0 ，则方向余弦分别为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 点乘（数量积） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为向量a与b的夹角 SKIPIF 1 0 叉乘（向量积） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 为向量a与b的夹角向量 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 都垂直 SKIPIF 1 0 定理与公式垂直 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 平行 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 交角余弦两向量夹角余弦 SKIPIF

3、 1 0 SKIPIF 1 0 投影向量 SKIPIF 1 0 在非零向量 SKIPIF 1 0 上的投影 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 平面直线法向量 SKIPIF 1 0 点 SKIPIF 1 0 方向向量 SKIPIF 1 0 点 SKIPIF 1 0 方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式 SKIPIF 1 0 一般式 SKIPIF 1 0 点法式 SKIPIF 1 0 点向式 SKIPIF 1 0 三点式 SKIPIF 1 0 参数式 SKIPIF 1 0 截距式 SKIPIF 1 0 两点式 SKIPIF 1 0 面面垂直 SKIPIF 1 0 线线垂直

4、SKIPIF 1 0 面面平行 SKIPIF 1 0 线线平行 SKIPIF 1 0 线面垂直 SKIPIF 1 0 线面平行 SKIPIF 1 0 点面距离 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 面面距离 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 面面夹角线线夹角线面夹角 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 空间曲线 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1

5、 0 切向量 SKIPIF 1 0 切“线”方程： SKIPIF 1 0 法平“面”方程： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 切向量 SKIPIF 1 0 切“线”方程： SKIPIF 1 0 法平“面”方程： SKIPIF 1 0 空间曲面 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 法向量 SKIPIF 1 0 切平“面”方程： SKIPIF 1 0 法“线“方程： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 切平“面”方程： SKIPIF 1 0 法“线“方程： SKIPIF 1 0 第十章 总结重积分积分类型计算方法典型例题

6、二重积分 SKIPIF 1 0 平面薄片的质量质量=面密度 SKIPIF 1 0 面积利用直角坐标系X型 SKIPIF 1 0 Y型 SKIPIF 1 0 P141例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 为实数 ) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 P147例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论） SKIPIF 1 0 P1

7、41例2应用该性质更方便计算步骤及注意事项画出积分区域选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分 SKIPIF 1 0 空间立体物的质量质量=密度 SKIPIF 1 0 面积利用直角坐标 SKIPIF 1 0 投影 SKIPIF 1 0 P159例1 P160例2利用柱面坐标 SKIPIF 1 0 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围: eq oac(,1)积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体

8、 eq oac(,2)被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 P161例3（3）利用球面坐标 SKIPIF 1 0 适用范围: eq oac(,1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. eq oac(,2)被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 P16510-(1)（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章 总结曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分 SKIPIF 1 0 曲形构件的质量质量=线密度 SKIPIF 1 0 弧长参数法（转化为定积分）（1） SK

9、IPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （3） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 P189-例1P1903平面第二类曲线积分 SKIPIF 1 0 变力沿曲线所做的功参数法（转化为定积分） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 P196-例1、例2、例3、例4（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D） P，Q具有一阶连续偏导数结论： SKIPIF 1 0 应用： SKIPIF 1 0 P205例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等

10、价条件： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 与路径无关，与起点、终点有关 SKIPIF 1 0 具有原函数 SKIPIF 1 0 （特殊路径法，偏积分法，凑微分法） P211-例5、例6、例7（4）两类曲线积分的联系 SKIPIF 1 0 空间第二类曲线积分 SKIPIF 1 0 变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分） SKIPIF 1 0 （2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）条件：L封闭，分段光滑，有向 P，Q，R具有一阶连续偏导数结论： SKIPIF 1 0 应用： SKIPIF 1 0 P240-例1第一类曲面积分 SKIPIF 1 0 曲

11、面薄片的质量质量=面密度 SKIPIF 1 0 面积投影法 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 投影到 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 类似的还有投影到 SKIPIF 1 0 面和 SKIPIF 1 0 面的公式P217-例1、例2第二类曲面积分 SKIPIF 1 0 流体流向曲面一侧的流量（1）投影法 eq oac(,1) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的法向量与 SKIPIF 1 0 轴的夹角前侧取“+”， SKIPIF 1 0 ；后侧取“ SKIPIF 1 0 ”， S

12、KIPIF 1 0 eq oac(,2) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的法向量与 SKIPIF 1 0 轴的夹角右侧取“+”， SKIPIF 1 0 ；左侧取“ SKIPIF 1 0 ”， SKIPIF 1 0 eq oac(,3) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的法向量与 SKIPIF 1 0 轴的夹角上侧取“+”， SKIPIF 1 0 ；下侧取“ SKIPIF 1 0 ”， SKIPIF 1 0 P226

13、-例2（2）高斯公式 右手法则取定 SKIPIF 1 0 的侧条件： SKIPIF 1 0 封闭，分片光滑，是所围空间闭区域 SKIPIF 1 0 的外侧 P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论： SKIPIF 1 0 应用： SKIPIF 1 0 P231-例1、例2（3）两类曲面积分之间的联系 SKIPIF 1 0 转换投影法： SKIPIF 1 0 P228-例3所有类型的积分： eq oac(,1)定义：四步法分割、代替、求和、取极限； eq oac(,2)性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； eq oac(,3)对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。第十二章 总结无穷级数常

14、数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义， SKIPIF 1 0 存在常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质 eq oac(,1) 若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. eq oac(,2)两个收敛级数的和差仍收敛.注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. eq oac(,3)去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性. eq oac(,4)若级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛. eq oac(,5)（必要条件） 如果级数收敛, 则 SKIPIF 1 0

15、 莱布尼茨判别法若 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 收敛则级数收敛. SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 都是正项级数，且 SKIPIF 1 0 .若 SKIPIF 1 0 收敛，则 SKIPIF 1 0 也收敛；若 SKIPIF 1 0 发散，则 SKIPIF 1 0 也发散.比较判别法比较判别法的极限形式 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 都是正项级数，且 SKIPIF 1 0 ，则 eq oac(,1)若 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 同敛或同散; eq oac(,2)若 S

16、KIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 收敛, SKIPIF 1 0 也收敛； eq oac(,3)如果 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 发散， SKIPIF 1 0 也发散。比值判别法根值判别法 SKIPIF 1 0 是正项级数， SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,则 SKIPIF 1 0 时收敛； SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 )时发散； SKIPIF 1 0 时可能收敛也可能发散.收敛性和函数展成幂级数 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 缺项级数用比值审敛法求收敛半径 SKIPIF 1 0 的性质 eq oac(,1)在收敛域 SKIPIF 1 0 上连续; eq oac(,2)在收敛域 SKIPIF 1 0 内可导，且可逐项求导; eq oac(,3)和函数 SKIPIF 1 0 在收敛域 SKIPIF 1 0 上可积分，且可逐