人教版导与练总复习数学一轮教学课件：第三章第二节第一课时　利用导数研究函数的单调性

1、第2节导数在研究函数中的应用课程标准要求1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.2.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值;体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基知识梳理1.函数的单调性与导数的关系一般地,函数f(x)的单调性与导函数f(x)的正负之间具有如下的关系:(1)在某个区间(a,b)上,如果 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上 .

2、(2)在某个区间(a,b)上,如果 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上 .f(x)0单调递增f(x)0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.如f(x)=x3在定义域上是增函数,但是其导数f(x)=3x20.2.函数的极值与导数的关系(1)极值的定义:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)0.类似地,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f

3、(x0)是 值;如果在x0附近的左侧f(x)0,那么f(x0)是 值.极小释疑对于可导函数f(x),f(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.如f(x)=x3在定义域上是增函数,其导数f(0)=0,但是x=0却不是其极值点.3.函数的最值与导数一般地,求函数y=f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的 ;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中 的一个是最大值, 的一个是最小值.极值最大最小释疑(1)若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.

4、(2)极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值.对点自测1.函数f(x)的定义域为R,导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)( )A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点C解析:导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点,第一个与第三个是极大值点,第二个与第四个是极小值点.故选C.AB3.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e上的最大值为( )A.1-eB.-1C.-eD.0解析:由f(x)=(4-x)ex4.故选D.4.函数f(x)=(5-x)ex的单调递减区间是( )A.(-,4)B

5、.(0,4)C.(1,5) D.(4,+)D5.已知函数f(x)=x3+ax2+4x+8在R上单调递增,则实数a的取值范围是.第一课时利用导数研究函数的单调性考点一不含参数的函数的单调性关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼B AB题后悟通求函数的单调区间的方法:(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f(x)0分类讨论.考点三导数与函数单调性关系的应用角度一利用导数研究导函数图象解析:对于A选项,由函数y=f(x)的图象可知,f(0)=0,但函数y=f(x)在x=0处的切线斜率不存在,不满足题意;对于

6、B选项,由函数y=f(x)的图象可知,函数y=f(x)存在增区间,但B选项的图中,函数y=f(x)为减函数,不满足 题意;对于C选项,由函数y=f(x)的图象可知,函数y=f(x)在R上为增函数,满足题意;对于D选项,由函数y=f(x)的图象可知,函数y=f(x)有两个单调区间,但D选项的图中,函数y=f(x)有三个单调区间,不满足题意.故选C.解题策略函数图象与其导函数图象的关系:导函数f(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(递增区间),导函数f(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(递减区间).角度二

7、利用导数构造函数解不等式解题策略1.根据已知条件中导数的符号比较大小,其关键在于利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小.2.根据原函数与导函数的关系构造不等式的方法:(1)若已知f(x)+f(x)的符号,常构造函数g(x)=exf(x);而涉及f(x)+nf(x)的符号,则构造函数g(x)=enxf(x);(3)对于xf(x)+nf(x)0型,构造F(x)=xnf(x),则F(x)=xn-1xf(x)+ nf(x)(注意对xn-1的符号进行讨论),特别地,当n=1时,xf(x)+f(x)0,构造F(x)=xf(x),则F(x)=xf(

8、x)+f(x)0;角度三利用导数比较函数值的大小解题策略根据函数解析式或函数特征研究与函数值大小有关的问题,需要先结合导数的工具性作用确定函数的单调区间后研究函数值的大小.角度四利用函数单调性求取值范围解题策略1.已知函数单调性求参数范围(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增,则在区间D上f(x)0恒成立;(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减,则在区间D上f(x)0恒成立;(3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间,则f(x)0在区间D上有解;(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间,则f(x)0在区间D上有解.2.已知函数在所给区间上不单调,则转化为导函数在区间上存在

9、变号零点,通常利用分离变量法求解参变量的范围.针对训练1.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()解析:设导函数y=f(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1,x2,x3,由导函数y=f(x)的图象易得当x(-,x1)(x2,x3)时,f(x)0(其中x10 x21, f(0)=2 020,则不等式exf(x)ex+2 019的解集为()A.(-,0) B.(-,0)(2 019,+)C.(2 019,+) D.(0,+)解析:设g(x)=exf(x)-ex,则g(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1.因为f(x)+

10、f(x)1,ex0,所以g(x)=exf(x)+f(x)-10,所以g(x)是R上的增函数.又g(0)=f(0)-1=2 019,所以g(x)2 019的解集为(0,+),即不等式exf(x)ex+2 019的解集为(0,+).故选D.备选例题例2 若函数f(x)=ex-ln x-mx在区间(1,+)上单调递增,则实数m的取值范围是()A.(-,e-1)B.(-,e-1C.(-,e+1)D.(-,e+1例3 已知函数f(x)=xex-e(ln x+x),求f(x)的单调区间.当1ae时,令ex=a,得x=ln a(0,1),由f(x)0得ln ax0得0 x1,所以f(x)在(0,ln a),(1,+)上单调递增,在(ln a,1)上单调递减.当a=e时,令ex=a,得x=ln a=1,所以f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增.当ae时,令ex=a,得x=l