垂直平分线的性质(刘莹)(共8页)

1、西陵区“初中数学例题教学的变式研究”课堂教学观摩活动PAGE PAGE 13“线段(xindun)的垂直平分线的性质”课堂实录与评析 课题(kt)：人教版数学(shxu)八年级上册13.1.2线段的垂直平分线的性质 执教者：宜昌市第二十五中学 刘莹 教学过程： 一、情境引入 师：在前不久老师遇到这样一个问题，不知道如何解决。问题是这样的：“在东山大道L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，准备在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的路程相等，问怎样选择院址？”请同学们思考，如何将这个实际问题抽象成为一个数学几何问题？ AB东山大道 L 生：在L上找到一点，使得这个点到A、B两个

2、工厂的距离相等！ 师：那么，这个点应该选在哪里呢？通过本节课的学习，相信同学们都能帮老师解决这个问题! （引出课题线段的垂直平分线的性质） 二、探索新知 探究1 师：请同学们在草稿纸上画一条线段AB，然后利用刻度尺、三角板画出线段AB的垂直平分线MN （师巡视，并指导学生进行操作） 师：刻度尺、三角板在作图时有什么作用？生：刻度尺可以度量长度，三角板可以画出直角师：不错！那它们在画线段的垂直平分线的过程中起到了什么作用？生：利用刻度尺，我们可以画出中点，利用三角板，我们可以画出垂线（学生完成作图） 师：请同学们在直线MN上任取一点P，连结线段PA、PB，观察比较这两条线段，你能发现什么？生：P

3、A、PB的长度相等师：大家(dji)都发现了吗? 生：是的师：这个结论是偶然(u rn)的吗？我们再在直线MN上取另外一点Q试试？你们有什么发现？生：再取一点，连结得到(d do)的线段QA、QB也是相等的结论：PA=PB, QA=QB探究2师：大家通过观察发现了这个结论，你们能说说你是怎样的到这个结论的吗？（教师打开几何画板，演示图形） 生1：可以通过“边角边”证明AOCBOC ，得到PA=PB. 生2：可以测量PA、PB的长度，得到PA=PB（教师用几何画板演示：在直线l上拖动点C时，PA、PB仍然相等,在拖动的过程中点C可以代表直线l上的任意一点.）生3：因为线段是轴对称图形，所以通过对

4、折也可以得到PA=PB(教师用几何画板动态演示折叠过程） 师：想一想，你对线段的垂直平分线上的点有了怎样的认识？生4：它和线段的两个端点连结的线段是相等的生5：这个点是线段垂直平分线上的任意一点师：这就是线段垂直平分线的一个重要性质（教师板书）线段垂直平分线的性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个(lin )端点的距离相等 师：我们(w men)一起来说一说它的符号语言 （生齐答，师板书(bnsh)） 点P在线段AB的垂直平分线上； PA=PB 师：学习了这个定理后，我们证明线段相等又多了一种方法 三、应用新知 例1如图所示，在ABC中，AC=32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=2

5、1，求BCN的周长 （教师引导学生先读题） 师：由MN是AB的垂直平分线能得到什么结论?生6：AM=BM 生7：AN=BN, 师：那如何求BCN的周长呢？请同学们独立思考，找到解题方法。 （一名学生讲解解题过程，教师板书） 师：还有没有其他方法证明AN=BN吗？生8：有！利用AMNBMN也可以得到此结论师：这两种方法你会选择哪种呢？ 生：选择利用线段垂直平分线的性质定理来证明，因为它书写起来更简洁 师：（小结）本题也可选择利用全等来解决，但比较起来书写要简便得多通过对例1的分析，进一步说明了掌握好性质定理的应用，可以帮我们在证明一些几何问题中省不少的力四、思维延伸 探究3 师：再回到垂直平分线

6、的性质定理中，如果我们将它的条件和结论互换，就可以得到它的逆命题：（投影）如果PA=PB,那么点P是否在AB的垂直平分线上呢？ （先请同学们独立思考，然后小组讨论。） 小组1：过点P作AB的垂线(chu xin)，垂足为点D，在RtAPD和RtBPD中，AP=BP，DP=DP，由HL可以(ky)证明RtAPDRtBPD，得出(d ch)AD=BD，所以PD为AB的垂直平分线 小组2：取AB的中点D，连接PD，由“边边边”可以证明APDBPD，得证 小组3：过点P作APB的角平分线，交AB于点D，由“角角边”可以证明APDBPD，得证 师：在证明过程中我们用的方法是“作垂直，证平分”或者“作平分

7、，证垂直”，有没有哪位同学能将我们证明出的结论用文字语言来描述一下？生9：如果一个点到一条线段的两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上师：这就是我们今天要学习的第二个定理：（教师板书）线段垂直平分线的性质定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上师：我们一起再来说说它的符号语言： （生齐答，师板书） PA=PB；点P在线段AB的垂直平分线上师：这个定理经常用于证明点在线上或者直线经过某一点，是个非常重要的定理！ 师：综合这两个定理，我们可以知道，在线段AB的垂直平分线MN上的点与A、B距离都相等，反过来，与A、B两点距离相等的点都在MN上 （教师用几何画板演

8、示：到A,B两点距离相等的所有点形成了线段AB的垂直平分线即直线MN可以看成与A,B的距离相等的所有点的集合） 五、巩固(gngg)应用练习(linx)1、判断：如右图PA=PB，点P在直线(zhxin)MN上，则MN是线段AB的垂直平分线（ ） NM 师：动动脑，看谁的反应最快. 生10：这个结论是对的，根据线段的垂直平分线的判定定理可以得到 生11：我认为这个结论是不对的，条件没告诉MN是AB的垂直平分线 生12：我也认为这个结论不正确，根据垂直平分线的判定定理，由条件PA=PB，只能得到点P在AB的垂直平分线上，而过点P的直线有无数条 师：答得非常好！一点不能确定一条直线，过点P的直线由

9、无数条（屏幕显示过点P的直线有无数条），而MN只是其中一条，所以不能说明MN是AB的垂直平分线练习2、如图，在ABC中，AB=AC，O是ABC内一点且OB=OC 求证：直线AO垂直平分线段BC （学生独立思考） 师：想好的同学请举手； 生13：可以根据证明ABOACO,得到BAO=CAO,从而可以证明ABDACD,可以得到AO为BC的角平分线 师：不错！他是通过两次证明三角形全等得出结论，有没有同学有更简单的方法？ 生14：AB=AC 点A在线段BC的垂直平分线上； 又OB=OC 点A在线段(xindun)BC的垂直平分线上； 直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定(qudng)一条直线）.

10、 师：答得非常好！这两种方法你们认为(rnwi)哪种更为简单呢？生15：第二种更为简便，理由是证明全等的过程太过于复杂了 师：好的，通过这个问题，相信同学们都能很灵活的应用垂直平分线的性质定理和判定定理 练习3、 已知：如图，ABC中，AB的垂直平分线DE与BC的垂直平分线FG交于P求证：（）PA=PB=PC；（）点P在边AC的垂直平分线上 （教师请一名同学上台板演，其他同学独立完成，在完成的过程中老师边巡视边指导） 师：有没有哪位同学想当一次小老师，点评黑板上的完成情况？生16：他完成的非常好，只是不够简略，重复的理由我们可以用同理二字，没必要重复写生17：他的字迹不够工整，并且也没有写证明

11、两字师：点评得非常到位，他们说的也是老师想说的，做错的同学请好好对照黑板上的过程进行改正，寻找错误的原因六、实际运用师：我们再回到新课开始提出的实际问题之中，看看这个问题应该怎么解决？ 生（齐答）：连接AB，作AB的垂直平分线与L的交点就是医院的院址 师：理由是什么？ 生：理由是线段垂直平分线的判定定理 师：经过这节课的学习，同学们都能帮老师完成这个问题，非常不错！ 七、归纳总结 师：接下来，我们一起来回忆一下，本节课你学到了什么，又有什么收获？ 生18：我学习了垂直平分线的两个定理：性质定理和判定定理 师：这两个定理分别能帮助我们解决什么问题呢？ 生19：性质定理证明线段相等；判定定理证明点

12、在线上或线经过某一点 生20：我还学会了可以利用垂直平分线的性质解决(jiju)实际生活中的一些问题，比如说距离相等问题，某点在某一条直线上 师：同学们回答得都非常好！在应用这两个定理的时候我们要注意数与形的结合，这样才能将更加灵活的掌握它们本节课我们就上到这里，接下来有一道(ydo)思考题留给大家课后完成下课！八、课后拓展(tu zhn)如图：一个小牧童，从A地出发，赶着牛群到河岸边l处饮水，然后再到B地，请问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？ BlA教后反思：本节课教学的最大特点在于将数学实践活动与数学教学自然地结合在一起，帮助学生加深了对线段垂直平分线的两个定理的感性认识和直

13、观印象，很好地建立起数形结合的意识本节课的设计理念主要体现在：1、通过一个实际问题引入新课，先让学生感受到学习本节内容的重要性以及必要性，再让学生动手画一画线段的垂直平分线，通过直观观察猜想得出线段垂直平分线的性质在此基础上，教师借助几何画板中的测量功能，验证结论的正确性，并引导学生进行几何推理证明2、让学生直接写出性质定理的逆命题，通过小组合作交流，探究出线段垂直平分线的判定定理在这一环节，我设计了一道判断题，由PAPB，能说明过点P的直线MN一定在线段AB的垂直平分线上吗？通过这个问题引导学生对判定定理的条件进行深入分析，加深学生对定理的正确理解3、在练习1之后，设计了一个变式练习（练习2

14、），此题既要运用到线段垂直平分线的判定定理，也要运用“两点确定一条直线”，让学生对定理进一步巩固运用4、在教学中，我注重结合图形来引导学生辨析性质定理和判定定理的区别和联系，强调书写证明过程时要规范几何语言书写格式，让学生能养成良好的数学学习习惯当然，本节课也存在不足之处，如：教师的课堂驾驭能力不够，对于课堂各环节的时间把握不准；在部分教学环节中的语言过于啰嗦、重复，因而导致时间浪费，出现前松后紧的现象此外，在教学时，我没有充分调动学生的学习积极性，没有很好地体现“学为第一，教助学成”这一教学理念设计评析：（宜昌市西陵区教科院 周静） 1、重视知识的数学化数学教育的目标在于使学生学会“数学化”

15、因此，教师在教学中应将数学知识与它有关的现实背景密切联系在一起，通过“数学化”的途径来进行数学教育本节课的一个亮点就在于用了一个实际问题来引入新课，让学生在将实际问题转化为数学模型的过程中展开对新知的学习这一设计很好地激发了学生的学习兴趣，同时也有助于学生模型思想的建立，让学生感受到数学的应用价值，并进一步获取将实际问题转化为数学问题的经验 2、关注数学实践(shjin)活动 著名(zhmng)心理学家皮亚杰指出：“思维从动作开始，切断思维与动作的联系，思维就不能得到发展，人手和脑之间有着(yu zhe)千丝万缕的联系”操作是思维的起点，也是认知的来源在本节课的新知探究环节，教师为学生提供了一

16、个动手操作的时间与空间，首先让学生在画图的过程中明确线段的垂直平分线必须具备两个要素中点和垂线，再让学生连接中垂线上的任意一点与线段的两个端点，观察并猜想得出这两条线段相等，由此为后面探究线段的垂直平分线的性质定理起到很好的铺垫作用整个定理的探究过程由丰富的学生实践活动组成，有学生的作图活动，观察猜想活动，教师用课件进行的动态演示活动，还有学生的推理论证活动等等，这些活动让学生经历了完整的“操作观察分析思考归纳”的数学思维过程，它们不仅可以帮助学生发现、猜想出数学命题，也为学生今后的几何学习提供了有效的方法 3、注重数学变式教学变式教学法是培养学生创新思维的一种重要方法，本节课的另一个亮点就是教师能灵活运用教材资源，又不依赖于教材资源，有效地运用变式教学法为学生的思维发展提供一个个阶梯，帮助学生建构完整的新知识如：在对线段的垂直平分线的性质定理进行验证时，教师没有只满足于一种验证方法，而是充分调动学生的思维积极性，共得到三种方法（几何证明法、测量法、折叠法），这三种方法都是我们研究几何图形性质的常用方法，既从直观实验层面，又从逻辑推理层面让学生对线段的垂直平分线的认识更趋完善又如：在巩固应用环节，教师设计了两个练习用于帮助学生更好地理解和运用线段垂直平分线的判定定理，其中练习2是练