2.3.3 等比数列的前n项和3

1、于过程中锤炼学生思维 于联系中传承数学思想 等比数列的前n项和教学设计江苏省如东高级中学 陈唐明 设计思路普通高中数学课程标准(实验)中要求“探索并掌握等比数列的前项和的公式”。仔细研读教材不难发现，等比数列的前项和，是在建立等比数列概念、学习等比数列的通项公式后，对等比数列进一步的学习研究，其对完善自身知识结构，乃至于完善数列的知识体系，是不可或缺的内容。教材编者意在让学生经历等比数列前项和公式推导的探索历程，掌握错位相减法和前项和公式，并能进行简单的运用。江苏高考（数学科）考试说明在命题指导思想中明确提出：对数学基础知识的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点。注重知识内在联系的考查，

2、注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查。等比数列的前项和公式不但在知识点的考查要求中被列为级要求（灵活运用层次），而且其中所蕴涵的特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想（方法）也是非常重要的，必须加以重视。教育的根本目标是育人，“从数学学科教学的角度，作为人的发展，就体现为发展人的认知力。”因此，数学教学应当是锤炼学生思维品质以提高学生认知力的过程。在教学中，让学生经历等比数列前项和公式推导与运用的思维过程，渗透特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想（方法）理应是本节课的“主心骨”。基于以上三点，教者将本节课的教学目标确定为：通过

3、让学生探索并掌握错位相减法推导等比数列前项和公式，理解等比数列前项和公式并能进行简单的运用。让学生经历等比数列前项和公式推导与简单运用的思维过程，学会从不同角度去考虑问题，体验并理解特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想（方法）在数学解题中的应用。揭示知识间的内在联系，让学生学会研究数学问题的一般方法；激发学生勇于探索的科学精神，养成“理性思维”的习惯，形成良好的个性品质。围绕上述教学目标，为激发学生的学习兴趣和探究欲望，教者以有名的“棋盘丢麦粒”为例引入课题，通过问题串搭建“脚手架”试图引导学生发现（或部分发现）等比数列前项和公式推导的推导思路，凸显教学重点等比

4、数列前项和公式推导和简单运用。鉴于课堂时空的制约，教者在引导学生探索过程中将适时加以点拨提示，试图破解教学难点“错位相减法”生成的瓶颈。课堂教学不追求浅层次的表层靓丽的“精彩互动”和“一气呵成”，但求在教师的引导下，学习在静悄悄中真正发生，学生在潜移默化中获取深层的知识，掌握科学的方法。教学过程预设导语：问题是数学的心脏。（哈尔莫斯）我们要善于发现问题，提出问题，思考问题并解决问题。问题情境：投影国际象棋的传说。提炼成数学问题就是：。请同学们思考：如何求？法一：逐项累加（项数较多时，不太现实）法二：特殊化，求出，找规律，猜想出结果。【设计意图】通过国际象棋的传说激发学生的兴趣和探究欲望；通过结

5、论的探求让学生学会研究陌生问题可采用特殊到一般的方法入手。这个结果只能算是一种猜想，而不是理论上的证明。数学讲究严谨的逻辑推理。你能不能给出一种严谨的求法？公式推导：为了使问题更具有一般性，我们将问题一般化：已知是首项为，公比为的等比数列，求。即求（基本量表示）。回顾等差数列前项和公式的推导方法：倒序求和，能用来求等比数列前项和吗？表面上是倒序求和，本质上实为从项与项的关系中找出规律，消去数列中项与项的差异，把省略号（）的“无形”化为“有形”。对等比数列而言，难点也是如何把省略号（）的“无形”化为“有形”。引导：从项的关系出发！等比数列从第二项起，每一项是前一项的倍。即：将等比数列的每一项乘以

6、公比后就等于它后面的一项。那么，将这个和式的两边同乘以，所得和式与之有许多相同的项。从而通过两个和式相减，将省略号（）的“无形”化为“无影”，岂不是更好！ -，得：。从而有。 【设计意图】 通过等差数列前项和公式推导方法的回顾，让学生从更高的层面认识数列求和方法的生成，并从方法上类比迁移到等比数列前项和公式的推导并提炼出推导方法错位相减法。其间引导学生寻找项之间的关系，回扣等比数列的概念！（李邦河院士语：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！）公式解读：（1）各个字母的含义：首项，公比，项数，末项（2）公式可以看成一个分段函数（自变量，函数值）公式运用：1回扣引例，让学生利用公式求解

7、。【设计意图】让学生熟悉公式的简单套用（公式运用的第一层次）并验证猜想的正确性，感受数学文明。2例1 在等比数列中， （1）已知，求。 （2）已知，求。【设计意图】比较（1）（2），让学生体会公式的选择性使用（公式使用的第二层次）。3例2 在等比数列中，求。【设计意图】让学生知晓五个量中，知三求二，体会基本量方法和方程思想。注意等比数列前项和公式的条件：在未知的情况下，要对是否等于1进行分类讨论。（公式使用的第二层次）。4例3 求数列的前项和。变：求数列的前项和。【设计意图】将不熟悉的数列求和问题转化为熟悉的等差等比数列数列求和问题，体现转化和化归思想（公式使用的第三层次）。至于公式使用的第四层次（利用等比数列前项和公式的推导方法错位相减法解题），留待下一节课完成。 5巩固训练：教材P5