抽象函数问题的“原型”解法(共13页)

1、抽象函数(hnsh)问题性质(xngzh)及其“模型(mxng)”解法所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。一：抽象函数的性质问题定义域：解决抽象函数的定义域问题明确定义、等价转换。 一：若函数的定义域为，求函数的定义域。值域：解决抽象函数的值域问题定义域、对应法则决定。二：若函数的值域为，求函数的值域对称性：解决抽象函数的对称问题定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。三：设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（ ）直线对称 B直线对称 C直线对称 D直线对称周期性：解决抽象函数的周期性问题充分理解与运用相关的抽象式是关键。

2、四：设是定义在R上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数。奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题紧扣定义、合理赋值。五：已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：。判断的奇偶性，并证明你的结论。单调性：解决抽象函数的单调性问题紧密结合定义、适当加以配凑。六：设是定义在-1，1上的奇函数，且对于任意的，当时，都有：。若，试比较与的大小。二、中学阶段常用抽象(chuxing)函数的“模型(mxng)”（函数(hnsh)）1、2、3、4、5、或6、三、“模型”解法例析设函数满足，且()=0，、R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。已知函数满足，若，试求(2005)。已知函数对于任意

3、实数、都有，且当0时，0，(-1)=-2，求函数在区间-2，1上的值域。已知函数对于一切实数、满足(0)0，且当0时，1（1）当0时，求的取值范围（2）判断在R上的单调性并证明已知函数定义域为(0,+)且单调递增，满足(4)=1，（1）证明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+ (-3)1，求的范围；（4）试证()=（nN）已知函数对于一切正实数、都有且1时，1，(2)=(1)求证：0；（2）求证：（3）求证：在（0，+）上为单调减函数（4）若=9，试求的值。数学(shxu)快速提升成绩题型训练抽象(chuxing)函数1. 已知函数(hnsh)y = f (x)(xR，x0)对任意的非零

4、实数，恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。2 已知定义在-2，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若f (1-m)0.(1)求;(2)求和(qi h);(3)判断函数的单调性,并证明.14.函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数;(3)若且,求证:.15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明: 在R上单调递减;(3)设A=,B=,若=,试确定的取值范围.16.已知函数(hnsh)是定义(dngy)在R上的增函数,设F.(1)用函数单调(dndio)性的定义证明:

5、是R上的增函数;(2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形.17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.(1)求的值;(2)证明: 函数是周期函数;(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.18函数对于x0有意义，且满足条件减函数。（1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。19设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）2，求f（x）在区间2，1

6、上的值域。21. 已知函数(hnsh)f（x）对任意(rny)，满足条件f（x）f（y）2 + f（xy），且当x0时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。22. 设函数(hnsh)f（x）的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。23. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：f（x）0，x N；f（2）4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。24. 设函数yf（x）的反函数是yg（x）。如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由。25. 己知函数f

7、（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；f（a）1（a0，a是定义域中的一个(y )数）；当0 x2a时，f（x）0。答案(d n)：1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) 为了(wi le)求f (-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。2. 分析：根据函数的定义域，-m，m-2,2，但是1- m和m分别在-2，0和0，2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂

8、，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。解：f (x)是偶函数， f (1-m)f(m) 可得，f(x)在0，2上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1m0, 令得,(2)任取任取,则令,故 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.(3) 由（1）（2）知，而15. (1)证明:令,则当时,故,当时,当时,则(2)证明(zhngmng): 任取,则,0,故0是R上的增函数;(2)设为函数=的图象上任一点,则点关于点(的对称点为N(),则,故把代入F得, =-函数=的图象关于点(成中心对

9、称图形.17.(1)解:为R上的奇函数, 对任意都有,令则=0(2)证明: 为R上的奇函数, 对任意都有,的图象关于直线对称, 对任意都有, 用代得,即是周期函数,4是其周期.(3)当时，当时，当时，图象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18.(1)证明(zhngmng)：令，则，故（2），令，则， 成立(chngl)的x的取值范围是。19解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数(hnsh)的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在

10、0,2005上有402个解,在-2005.0上有400个解,所以函数在-2005,2005上有802个解.20. 解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域为4，2。21. 解：设，当，则， 即，f（x）为单调增函数。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解为1 a 3。22. 解：（1）令y0代入，则，。若f（x）0，则对任意，有，这与题设矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，则，又由（1）知f（x）0，f（

11、2x）0，即f（x）0，故对任意(rny)x，f（x）0恒成立(chngl)。23. 分析：由题设可猜想(cixing)存在，又由f（2）4可得a2故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：（1）x1时，又x N时，f（x）0，结论正确。（2）假设时有，则xk1时，xk1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时。24. 解：设f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函数，g（m）a，g（n）b，从而，g（m）g（n）g（mn），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）g（b）。25. 解：（1）f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，在定义域中。，f（x）是奇函数。（2）设0 x1x22a，则0 x2x12a，在（0，2a）上f（x）0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1） f（x2），在（0，2a）上f（x）是增函数。又，f（a）1，f（2a）0，设2ax4a，则0 x2a2a，于是f（x）0，即在（2a，4a）上f（x）0。设2ax1x24a，则0 x2x12a，从而知f（x1），f（