自动控制理论：第三章 控制系统的时域分析

1、第三章 控制系统的时域分析第一节 时域分析法概述第二节 一阶系统的时间响应及动态性能第三节 二阶系统的时间响应及动态性能第四节 高阶系统的时间响应及动态性能第五节 线性系统的稳定性分析 第六节 线性系统的稳态误差分析 第七节 用时域法分析系统性能举例第三章 控制系统的时域分析第一节 时域分析法概述时域分析根据控制系统在一定输入 作用下的输入量时域表达式，来分析系统的稳定性，瞬态过程性能和稳态误差。 (1) 直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确；(2) 可以提供系统时间响应的全部信息；(3) 基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。典型输入信号第一节 时域分析法概述第一节 时域分析法概述线性

2、系统时域性能指标：稳：( 基本要求 ) 系统受脉冲扰动后能回到原来 的平衡位置准: ( 稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差要小快: ( 动态要求 ) 过渡过程要平稳，迅速延迟时间 t d 阶跃响应第一次达到终值的50所需的时间上升时间 t r 阶跃响应从终值的10上升到终值的90所需的时间峰值时间 t p 阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间调节时间 t s 阶跃响应到达并保持在终值 5误差带内所需的最短时间超 调 量 峰值超出终值的百分比第一节 时域分析法概述第三章 控制系统的时域分析第二节 一阶系统性能分析 根据系统的输出响应求取系统的性能指标,从而分析系统的性能，是时域分析法分析

3、系统性能的基本方法。一、一阶系统的数学模型二、一阶系统的时域响应及性能分析一、一阶系统的数学模型时间常数 1TS-R(s)E(s)C(s)一阶系统的动态结构图闭环传递函数为1Ts+1(s)=C(s)R(s)= 当控制系统的数学模型为一阶微分方程时,称其为一阶系统.第二节 一阶系统性能分析拉氏反变换：R(s)=1s1sC(s)=(s)1Ts+1=1s=1s+1s+1T1单位阶跃响应 系统在单位阶跃信号作 用下的输出响应.一阶系统单位阶跃响应: 单位阶跃响应:c(t)=1-e-t/T二、一阶系统时域响应及性能分析 单位阶跃响应曲线 c(t)t01T2T3T4T0.980.6320.860.95 一

4、阶系统没有超调，系统的动态性能指标为调节时间:ts = 3T(2%)ts = 4T(5%)第二节 一阶系统性能分析2单位斜坡响应R(s)=1s2c(t)=t-T+Te-t/TC(s)=(s)1s21Ts+1=1s2T=sTs+1/T-1s2+单位斜坡响应为: 单位斜坡响应曲线 h(t)t0c(t)r(t)T系统的误差：t ess= lim e(t) e(t)= r(t) -c(t)=t-(t-T+Te-t/T )=T(1-e-t/T )=T第二节 一阶系统性能分析3单位脉冲响应单位脉冲响应为:R(s)=1c(t)=g(t)=e-t/TT1单位脉冲响应曲线c(t)t0C(s)=(s)1Ts+1=

5、s+1T1TT1第二节 一阶系统性能分析 系统输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响应，就可推知于其它。根据一阶系统三种响应的输入输出信号:可知:c(t)=1-e-t/Tc(t)=t-T+Te-t/Tc(t)=e-t/TT1r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=(t)第二节 一阶系统性能分析例 一阶系统的结构如图，试求系统的调节时间t s (5%),如果要求 t s= 0.1s，求反馈系数。 Kk= 100 KH= 0.1解：闭环传递函数-KH KksC(s)R(s)E(s)(s)=C(s)R(s)=1+s KkKH s Kk 10= 0.1s+1100=

6、s+10得:t s=3T=30.1=0.3 若要求:t s=0.1 s则:(s)=1+s 100KH s 100 =0.01s+1KH 1 KH t s=30.01/KH=0.1 KH =0.3第二节 一阶系统性能分析H(s)bAbs+1H(s)-pH(s)=Hr(s)1+pbAbs+1pbAbs+1例 试分析液位控制系统参数与系统性能之间的关系。解：闭环传递函数pb=Abs+1+pbK=pb1+pbT=Ab1+pb=s+1Ab1+pbpb1+pb=KTs+1系统的单位阶跃响应：h(t)=K(1-e-t/T )=pb1+pb(1-e-Ab1+pbt)系统的稳态误差：=4Ab1+pbt s=4T

7、单位阶跃响应曲线h(t)t04Tbp1+pbess1th()=pb1+pb=1-pb1+pb=11+pb系统的调节时间：ess=hr(t)-h( ) 第二节 一阶系统性能分析第三章 时域分析法第三节 二阶系统性能分析一、二阶系统的数学模型二、二阶系统的单位阶跃响应五、改善二阶系统性能的措施三、二阶系统的性能指标四、带零点二阶系统的单位阶跃响应二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。系统的典型结构:阻尼比无阻尼自然振荡频率n 一、二阶系统的数学模型 求出标准形式的性能指标表达式，便可求得任何二阶系统的动态性能指标。(s)=C(s)R(s)nn s2+2 s+n=22n -R(s)C(s)s(s+22

8、 n)第三节 二阶系统性能分析=s2 +Rs/L+1/LC1/LCLCs2 +RCs+11=G(s)=Uc(s)Ur(s)例如：RLC电路的传递函数为得：n 2=R/L= R C2 L+-uruc+-CLRi 二阶系统的参数与标准式的参数之间有着对应的关系。n2 =1/LCn=1/LCnn s2+2 s+n=22第三节 二阶系统性能分析 值不同，两个根的性质不同，有可能为实数根、复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式也不相同。下面分别讨论。C(s)=(s)R(s)n s2+2 s+n2=0二、二阶系统的单位阶跃响应n2n (s2+2 s+n2)=s1n =- n2 -1 n s1.2 = -2

9、2(2)2-4n n 2第三节 二阶系统性能分析1. 1 过阻尼 两不相等负实数根c(t)=A1+A2es1t+A3es2t 系统输出无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。 A1=ss-s1+A2A3s-s2+单位阶跃响应曲线c(t)t011 s1.2 n =- n2 -1 nn (s2+2 s+n2)s1C(s)=2s(s-s1)(s-s2)n2=第三节 二阶系统性能分析2.=1 临界阻尼两相等负实数根=-n 1=s1-nn (s+)2 n s+-n c(t)=1- en -t(1+t) 输出响应无振荡和超调。=1时系统的响应速度比1 时快。单位阶跃响应曲线1=1 c(t)t0s1.2 n

10、 =- n2 -1 nn (s2+2 s+n2)s1C(s)=2=nn (s+)2 1s2第三节 二阶系统性能分析n (s+ +n2)2=(1-2)3. 01 欠阻尼令： 阻尼振荡频率则：单位阶跃响应：s1.2 n =- n2 -1 2=n1- ds1.2 n j =- dn2n (s+ s+d2)2C(s)=1n s2+2 s+n2C(s)=n2n (s2+2 s+n)s12=n s2+2 s+n 2()n 2-()+n2n (s+ +d2)2=另：得：n (s+ s+d2)2=+1n -(s+ )2n (s+ s+d2)2=-1n s+ n (s+ +d2)2-n dd拉氏反变换：=1-t

11、+sindtent-21- 21- cosdc(t)=1-ecosent-t-dn dnt-sindt第三节 二阶系统性能分析21- nn-1=tg = 21- nnsin= 21- = nncos=-1=tg 21- S1S20 系统参数间的关系: 1-2n-n1-2n-njc(t)=1-t+sindtent-21- 21- cosd 根据: =1-t+sindtent-21- cosdcossin=1-t+)ent-21- dsin(得: 单位阶跃响应曲线c(t)t011 =1 1C(s)=s(s+1)(s+2)2拉氏反变换c(t)=1-2e-t+e-2tA1=ss+1+A2A3s+2+1

12、=ss+1-21s+2+第三节 二阶系统性能分析C(s)s2+s+44R(s)=例 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统 的单位阶跃响应.解：=0.25得：=2n 2 = 4n 2n =1=1-1.03e-0.5tsin(1.9t+75o)将参数代入公式:c(t)=1-t+)ent-21- dsin(=0.5n =75o-1=tg 21- =1.9d = n2 1- 第三节 二阶系统性能分析 主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论和计算。其单位阶跃响应曲线：tc(t)01trtp%tsess性能指标有：性能指标求取如下三、二阶系统的性能指标1.上升时间tr2.峰值时间tp3.超调量% 4.调节时

13、间ts5.稳态误差ess第三节 二阶系统性能分析=11. 上升时间tr即根据定义有则c(tr )=1-tr+)entr-21- dsin(=0tr+)entr-21- dsin(=0tr+)dsin(tc(t)01trd tr+=0,2得:-1=tg 21- tr=d-21- -n =其中:d tr+=第三节 二阶系统性能分析一定时，n越大，tr越小；n一定时，越大，tr越大。2. 峰值时间tp根据定义有dc(tp)dt=0即c(t)=1-t+)ent-21- dsin( -1tp+)entp-21- dsin(dc(tp)dt=- n =0+tp+)entp-dcos(dtc(t)01tp

14、-tp+)entp-21- dsin(= n =0tp+)dcos(- 21- tp+)dsin(=0tp+)dcos(- 21- tp+)dsin(=tp+)dcos(21- 则=tgtp+)dtg(d tp=0,2tp=d21- n =d tp=第三节 二阶系统性能分析峰值时间等于阻尼振荡周期的一半一定时，n越大，tp越小；n一定时，越大，tp越大。最大超调量Mp：仅与阻尼比有关。越大，Mp 越小，系统的平稳性越好 = 0.40.8 Mp = 25.4%1.5%。3. 超调量% 代入公式：tp=d%=c(tp)-100%c( ) c( ) c(tp )=1-tp+)entp-21- dsi

15、n()=1-+21- sin(e-1-2)=-+21- sin(=1+e-1-2100%c(tp)-11%=e-1-2100%tc(t)01tp%另则第三节 二阶系统性能分析4. 调节时间ts可用近似公式：5%误差带2%误差带当大于上述值时，可用近似公式计算：ts =3T0.680.76c(t)=1-t+)ent-21- dsin(tc(t)01ts3n =ts =4T4n =ts=1n 6.45-1.7误差带第三节 二阶系统性能分析调整时间ts包络线实际的nts曲线当由零增大时， nts先减小后增大，= 5%，nts的最小值出现在0.78处；= 2%，nts的最小值出现在0.69处；出现最小

16、值后， nts随几乎线性增加。结论： 当增加到0.69或0.78时，调整时间ts为最小。设计二阶系统，一般选=0.707,为最佳阻尼比,此时不但调整时间ts为最小,而且超调量也不大。当00.7时当一定时，n越大，ts越小，系统响应越快。振荡次数NN 仅与有关:越大，N越小，系统平稳性越好。5. 稳态误差ess根据稳态误差的定义t ess= lim e(t) 欠阻尼二阶系统的稳态误差:tc(t)01c(t)=1-t+)ent-21- dsin(r(t)=I(t)ess= 1-1=0t lim c(t)=1ess=0e(t)= r(t) -c(t)第三节 二阶系统性能分析 以上为欠阻尼二阶系统在单

17、位阶跃输入作用下性能指标的求取。过阻尼二阶系统其性能指标只有调节时间和稳态误差。c(t)=A1+A2es1t+A3es2tt ess= lim r(t) -c(t)稳态误差的计算： 调节时间是根据特征根中绝对值小的来近似计算：设|s1|0.707之后又有 ts。 综合考虑系统的平稳性和快速性，一般取= 0.707为最佳。3）准确性：由和n决定。 的增加和n的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪 斜坡信号的稳态误差增加。第三节 二阶系统性能分析1、二阶系统的动态性能由n和决定。2、增加 降低振荡，减小超调量Mp 和振荡次数N ， 系统快速性降低，tr、tp增加；3、一定，n越大，系统响应快

18、速性越好， tr、tp、ts越小。4、 Mp 、N仅与有关，而tr、tp、ts与、n有关，通常根据允许的最大超调量来确定。一般选择在0.40.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。小结例 已知系统的闭环传递函数 ，当K = 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃响应和 性能指标% ,ts 。(s)=s2+3s+KK解：(1) K = 2=1.061C(s)=2s(s+1)(s+2)(s)=s2+3s+222 = 2n 2n =3c(t)=1-2e-t+e-2t1=ss+1-21s+2+tc(t)01系统性能指标 ts=3T1=3(2) K = 4(s)=s2+3s+44=0.751(t

19、0)欠阻尼：0 1临界阻尼：=1无阻尼：=0二阶系统的单位斜坡响应(s)=C(s)R(s)nn s2+2 s+n=22s+1)n n (s2+2 s+n(s+z)z) =22s+1-R(s)n C(s)s(s+22 n)四、带零点二阶系统单位阶跃响应系统结构为时间常数闭环零点n n (s2+2 s+nsz) +2nn s2+2 s+n=222n n (s2+2 s+n(s+1)1) =22 设R(s)C1(s)nn s2+2 s+n=22则sC(s)=C1(s)+zC1(s)c(t)=c1(t)+dc1(t)dt1z设R(s)=s101 c1(t)=L-1 n n (s2+2 s+ns) 22

20、=1-t+)ent-21- dsin(dc1(t)dt=-dent-21- n t+)dsin(t+)dcos(c(t)=1-de21- n t+)+d)sin(t+)dcos(1z(z-nt-=1-dent-21- n t+)+dsin(t+)dcos(lzz-ll第三节 二阶系统性能分析 系统参数间的关系: S1S20d-nd-nj-zc(t)=1-dent-21- n t+)+dsin(t+)dcos(lzz-llll=|z-s1|)2+2n = d(z-|n =cos |z-ld=sin l根据计算结果:sincos=1-ent-21- t+)+dsin(t+)dcos(lz=1-+e

21、nt-21- t+)dsin(lz第三节 二阶系统性能分析可求得系统的性能指标:e100%=lz(-1-2)(+-)tr=21- n 1)(3+lnlzn ts=(5%)1)(4+lnlzn ts=(2%) 增加零点后,上升时间缩短,系统的初始响应加快,系统的振荡性也增加。c(t)t01二阶系统带零点系统第三节 二阶系统性能分析 系统的平稳性和快速性对系统结构和参数的要求往往是矛盾的,工程中通过在系统中增加一些合适的附加装置来改善二阶系统的性能。 常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达到改善系统性能的目的.五、改善二阶系统性能的措施第三节 二阶系统性能

22、分析1比例微分控制 比例微分控制二 阶系统结构图开环传递函数:闭环传递函数:得(s)=n s2+(2 +n2n)(s+1)s+22ns+=n s2+2 n2n)(s+12-R(s)s+1n C(s)s(s+22 n)n n =2 +2n2 =2 +nG(s)=n)(s(s+2)s+1n2对二阶系统性能的改善 c(t)t01二阶系统加比例微分 比例微分控制使系统阻尼比增大,超调量将减少.若传递函数中增加的零点合适，将使得系统响应加快。第三节 二阶系统性能分析2微分负反馈控制开环传递函数 加微分负反馈系统:(s)=n s2+(2 +n2n)s+22nG(s)=n s2+2 +nss22ns+=n

23、s2+2 n2n2n n =2 +2n2 =2 +n闭环传递函数对二阶系统性能的改善 c(t)t01二阶系统加微分负反馈 加入微分负反馈，系统的阻尼比增大，超调量减少。s-R(s)n C(s)s(s+22 n)-第三节 二阶系统性能分析第四节 高阶系统的时域分析第三章 时域分析法一、一般高阶系统的阶跃响应 高阶系统的传函一般为：第三章 时域分析法解的形式结构 稳态分量常数项与单位阶跃输入有关 暂态分量 可见，高阶系统的暂态响应就由一阶和二阶系统暂态响应分量合成。有关，即与闭环系统所有零、极点有关。（零极点分布有关）第三章 时域分析法二、定性分析高阶系统暂态响应与闭环零极点的关系 1对于闭环极点

24、全部位于左半S平面上的高阶系统， 极点为实数或共轭复数就决定了各函数项的性质 （极点为实数的函数项对应衰减指数项，极点为 共轭复数的函数项对应衰减正弦函数项）。 2各函数项的系数、取决于闭环系统的零极点分布。可能有这样几种情况： (1) 若某极点接近一零点，而又远离其他极点和原点，则其相应项的系数也很小（偶极子零极点重合，系数为0） (2) 若某极点远离零点而又接近原点或其他极点，则相应项系数较大。 系数大而且衰减慢的那些项在暂态响应中将起主要作用。第三章 时域分析法 三、高阶系统的近似分析法 在高阶系统中，如果存在一对离虚轴最近的共轭复数极点，且其周围没有零点，其他闭环极点与虚轴的距离比这对

25、共轭复数极点与虚轴的距离大5倍以上。 这样一对共轭复数极点就称为闭环主导极点。 闭环主导极点对应在中的函数项衰减最慢且系数较大，对高阶系统的暂态响应起主要作用。或者说，高阶系统暂态响应的性能指数主要由它决定。三阶系统的暂态响应高阶系统的单位阶跃响应闭环主导极点一、三阶系统的暂态响应一阶因子引起的非周期指数衰减二阶因子引起的阻尼振荡其中：1）当=，系统即为二阶系统响应曲线；2）附加一个实数极点（01, 即1/T n 呈二阶系统特性；实数极点P3距离虚轴远；共轭复数极点p1、p2距离虚轴近特性主要取决于p1、p2。 1, 即1/T 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。

26、劳思判据判定稳定性劳斯(routh)判据的特殊情况特殊情况1：第一列出现0特殊情况2：某一行元素均为0特殊情况1：第一列出现0特殊情况：第一列出现0。各项系数均为正数解决方法：用任意小正数代之。特殊情况2：某一行元素均为0特殊情况：某一行元素均为0解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。各项系数均为正数求导得:例如：劳斯阵列出现全零行:系统在s平面有对称分布的根大小相等符号相反的实根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根三、赫尔维茨判据赫尔维茨行列式赫尔维茨(Hurwitz)判据例赫尔维茨行列式系统的n阶赫尔维茨行列式取各阶主子行列式作为1阶（n-1）阶赫尔维兹行列

27、式赫尔维茨(Hurwitz)判据控制系统稳定的充分必要条件是：当a00时， 各阶赫尔维茨行列式1、2、n均大于零。一阶系统二阶系统a00时, a10(全部系数数同号)a00时, a10, a20(全部系数数同号)a00时a00时三阶系统a00时, a10, a20, a30(全部系数数同号)a00时 a1a2 a0 a3四阶系统a00时, a10, a20, a30 , a40 (全部系数数同号)a00时一阶系统a10(全部系数数同号)a10, a20(全部系数数同号)a10, a20, a30(全部系数数同号)a1a2 a0 a3a10, a20, a30 , a40(全部系数数同号)归纳：

28、a00时二阶系统三阶系统四阶系统例a10, a20, a30 , a40K值的稳定范围各项系数均为正数a00时,单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下：判断上述系统开环增益K的稳定域，并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。系统1的闭环特征方程为：系统3的闭环特征方程为：系统2的闭环特征方程为：K的稳定域为：K的稳定域为：结论：增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利。由于特征方程缺项，不存在K的稳定域。四、劳斯判据的应用1、判定系统参数的取值范围2、根据给定稳定裕度确定参数取值第十节 小参量对闭环系统性能的影响一、小参量处理问题二、将小参量忽略不计使模型降阶的分析三、处理小参量应注意的问

29、题小参量处理问题：在某种前提条件下，用各种方法，或将其忽略不计，或将其做变通处理，使数学模型降阶或简化成易于应用线性系统理论的近似形式。例如： 处理高阶系统时，根据闭环主导极点的概念，可将高阶系统视为二阶系统。研究小参量处理问题的目的和意义： 简化数学模型、使系统的阶次降低一、小参量处理问题二、将小参量忽略不计使模型降阶的分析1、对于开环系统忽略小参量只需考虑系统的时间常数的数值相对大小这一条件即可。例如：开环系统的传递函数为 分析系统的稳定性并提出改善系统稳定的措施是自动控制理论的基本任务之一。一、系统稳定的充分与必要条件二、劳斯稳定判据三、结构不稳定系统的改进措施第三章 时域分析法第五节

30、控制系统的稳定性分析一、系统稳定的充分与必要条件稳定性：传递函数的一般表达式：(s)=b0sm+b1sm-1+bm-1s+bma0sn +a1sn-1+an-1s+anR(s)C(s)nmC(s)=1sK0(s z1)(s z2)(s zm)(s s1)(s s2)(s sn)系统输出拉 氏变换： 系统受外作用力后,其动态过程的振荡倾向和系统恢复平衡的能力。r(t)t0c(t)稳定不稳定A0=ss-s1+A1Ans-sn+系统单位阶跃响应：c(t)=A0+A1es1t+Anesnt 稳定的系统其瞬态 分量应均为零。 即：lim esit0t 系统稳定的充分与必要条件： 系统所有特征根的实部小于

31、零,即特征方程的根位于S左半平面。第三章 时域分析法二、劳斯稳定判据 根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难。第五节 控制系统的稳定性分析 劳斯稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数,按一定的规则排列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。 根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：设系统的特征方程为a0sn +a1sn-1 + +an-1s+an=0 a0 a2 a4 a1 a3 a5 b42 sn-3 s0 sn sn-1 sn-2 b31 b32 b33 b31= a

32、1a2 -a0a3 a1 b41 b32= a1a4 -a0a5 a1 b41= b31a3 -b32a1 b31 b42= b31a5 -b33a1 b31 b43 bn+1 系统稳定的条件： (1) 特征方程式各项 系数都大于零。 (2) 劳斯表中第一列 元 素均为正值。 第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。 第五节 控制系统的稳定性分析稳定的必要条件系统特征各项系数具有相同的符号，且无零系数。设系统 特征根为p1、p2、pn-1、pn各根之和每次取两根乘积之和每次取三根乘积之和各根之积全部根具有负实部例 已知系统的特征方程，试判断该系统 的稳定性。解： s4+2s3+3s2+4s

33、+5=0劳斯表如下： 1 3 5 s1 s0 s4 s3 s2 b31 b32 b41 b51 2 4 b31= 2*3 -1*4 2 =11 b32= 2*5 -1*0 2 = 55 b41= 1*4 -2*5 1 =-6-6 b51= -6*5 -1*0 -6 = 55有两个正实部根，系统不稳定。第五节 控制系统的稳定性分析例 系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数K的取值范围。Ks(0.1s+1)(0.25s+1)-R(s)C(s)闭环传递函数(s)=s(0.1s+1)(0.25s+1)+KK特征方程:s3+14s2+40s+40K=0解： 劳斯表: 1 40 s3 s2 14 40K s

34、1 b31 b31= 14*40 -1*40K 14 s0 b41 40K 系统稳定的条件:0560-40K040K014K0第五节 控制系统的稳定性分析 如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。下面举例说明: 该行中其余各元素不等于零或没有其他元素，将使得劳斯表无法排列。 此时，可用一个接近于零的很小的正数来代替零，完成劳斯表的排列。第五节 控制系统的稳定性分析例 已知系统的特征方程，试判断系 统的稳定性。劳斯表为:系统有一对纯虚根 s3+2s2+s+2=0解： 1 1 s3 s2 2 2 s1 b31 =0 s0 b41 2 通过因式分解验证:s3+2s2+s+2

35、=0(s+2)(s2+1)=0s1=-2s2.3=j b31= 2*1 -2*1 2 ( ) =2 b41= -2*0 2* 不稳定第五节 控制系统的稳定性分析 例 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定 方程的根在s平面上的分布。解：s3-3s+2=0方程中的系数有负值，系统不稳定。劳斯表为: 1 -3 s3 s2 0 2 s1 b31 b31= s0 b41 2 通过因式分解验证:s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0s1.2=1s3=-2-2-30 b31 - = - 第一列元素的符号变化了 两次,有一对不稳定根。 第五节 控制系统的稳定性分析 如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统

36、中含有不稳定的实根或复数根。系统不稳定。下面举例说明: 此时，应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式对s求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根。第五节 控制系统的稳定性分析例 已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。由为零上一行的元素 组成辅助多项式：s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0解：劳斯表为: 1 8 20 16 s6 s5 2 12 16 s4 2 s3 0 1612P(s)=2s4+12s2+16dP(s)ds=8s3+24s代入0824s2 1668/3s1 s0 16劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性

37、的判断。系统有虚根,不稳定。第五节 控制系统的稳定性分析三、结构性不稳定系统的改进措施 调整系统的参数无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。Ks2(Ts+1)-R(s)C(s)如：(s)=Ts3+s2+KK闭环传递函数：Ts3+s2+K=0特征方程是式： 由于特征方程中少了s项，无论K取何值系统总是不稳定。解决的方法有以下两种：第五节 控制系统的稳定性分析1改变环节的积分性质积分环节外加单位负反馈,系统结构图为:Ks(Ts+1)-R(s)1s-C(s)G(s)=s(Ts+1)(s+1)K1s+1=11+s1sC(s)R(s)=s(Ts+1)(s+1)+KK系统的闭环传递函数为特征方程式:

38、Ts3+(1+T)s2+s+K=0劳斯表: T 1 s3 1+T K s2 s1 K s0 1+T-TK 1+T 系统稳定的条件1+T-TK0K0K0 1+T T 第五节 控制系统的稳定性分析2加入比例微分环节 系统中加入比例微分环节结构图系统的闭环传递函数:Ks2(Ts+1)R(s)s+1-C(s)G(s)=)(Ks+1s2(Ts+1)(s)=Ts3+s2+Ks+1)K(s+K劳斯表:s3 T K 1 K s2 s1 K( -T) K s0 系统稳定的条件:K0-T0即TK0第五节 控制系统的稳定性分析第六节 控制系统的稳态误差分析 一、给定信号作用下的稳态误差二、扰动信号作用下的稳态误差三

39、、改善系统稳态精度的方法第三章 时域分析法第六节 控制系统的稳态误差分析系统误差：一、给定信号作用下的稳态误差及误差系数 控制系统的 典型结构 e(t)=r(t)-b(t)稳态误差：ess=lim e(t)t_H(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)+D(s)E(s)B(s)设D(s)=0R(s)作用时Er(s)=R(s)1+G1(s)G2(s)H(s)=R(s)1+G(s)H(s)根据终值定理得:essr=lim er(t)ts0=lim sEr(s)R(s)1+G(s)H(s)s0=lim s输入信号表示为:输入信号阶次开环传递函数表示为:mG(s)H(s)=sj=1(Tjs+1)n-

40、K(i=1is+1)nm积分环节个数开环增益时间常数稳态误差可表示为：R(s)=AsN系统的稳态误差与N、A、K、有关。 对应于为0、1、2的系统，分别称为0型、I型和II型系统。 下面分别讨论不同输入信号作用下系统的稳态误差。essr=lim sAsKs1+s0N1静态位置误差系数Kp设r(t)=R0 1(t)1+limG(s)H(s)s0R0=R(s)=R0sessr=lim s 1+G(s)H(s)s0R0s设静态位置误差系数:Kp=lim G(s)H(s) s0Ks=lim s0=R01+Kp=0 Kp=K Kp= essr=01 essr=R01+KG(s)H(s)=sj=1(Tjs

41、+1)n-mK(i=1is+1)第六节 控制系统的稳态误差分析 阶跃输入时不同型别系统响应曲线 (a)= 0(b) 1r(t)t0c(t)r(t)c(t)r(t)t0c(t)r(t)c(t)essr=R01+K essr=0essess=0第六节 控制系统的稳态误差分析2静态速度误差系数K设设静态速度误差系数:r(t)=0 tR(s)=s20 essr=lim s 1+G(s)H(s)s02s0lim sG(s)H(s)s0=0K =lim sG(s)H(s) s0=K0-1Ks=lim s0可得：=0 essr=K =0 =1 essr=K0 2 essr=0G(s)H(s)=sj=1(Tj

42、s+1)n-mK(i=1is+1)K =K K = 第六节 控制系统的稳态误差分析r(t)t0c(t)r(t)c(t)r(t)t0c(t) 斜坡输入时不同型别系统响应曲线 (a)= 0(b)= 1r(t)c(t) essr=essessr=K0ess(c) 2r(t)t0c(t)r(t)c(t) essr=0ess第六节 控制系统的稳态误差分析3静态加速度误差系数Ka设设静态加速度误差系数r(t)= 12a0t2 R(s)=s3a0a0essr=lim s 1+G(s)H(s)s03sa0lim s2G(s)H(s)s0=a0Ka=G(s)H(s)=sj=1(Tjs+1)n-mK(i=1is+

43、1)Ka=lim s2G(s)H(s) s0-2Ks=lim s01 可得：Ka=0 essr=2 Ka=K essr=Ka0 3 Ka= essr=0第六节 控制系统的稳态误差分析r(t)t0c(t)r(t)c(t)r(t)t0c(t)r(t)c(t) 抛物输入时不同型别系统响应曲线 (a)1 essr=ess(b)= 2essessr=Ka0第六节 控制系统的稳态误差分析R0sR(s) I型0型II型s3a0s20 R01+K000K0Ka0 根据前面的分析可得出典型结构的系统，稳态误差与系统输入和型号的关系为： 输入的阶次越高，稳态误差越大。系统的型号越高，稳态误差越小。第六节 控制系统

44、的稳态误差分析 积分环节消除误差的原理： 1s-R(s)E(s)C(s)r(t)t0I型系统：c(t)t00r(t)t0c(t)t0e(t)t0r(t)t0c(t)t0e(t)t0II型系统：-R(s)E(s) 1s 1sC(s)r(t)t0r(t)t0c(t)t000c(t)t0e(t)t00r(t)t0c(t)t0e(t)t0e(t)t0第六节 控制系统的稳态误差分析例 已知系统的结构如图所示。求系统 的稳态误差。0.5100s(s+10)-R(s)C(s)解： G(s)H(s)= 1000.5s(s+10)开环传递函数为+R(s)=s1s21s(0.1s+1)5 =R(s)=s1s21R

45、(s)=Kp=lim G(s)H(s) s0=lim s0s(0.1s+1)5= ess1=0K =lim sG(s)H(s) s0=lim s0s(0.1s+1)5sess2=0.2=5 essr=ess1+ess2=0.2第六节 控制系统的稳态误差分析 例 位置随动系统的稳态误差分析。解： (1) 典型随动系统开环传递函数为Ks(Tms+1)G(s)=当输入信号当输入信号r(s)=s1s2r(s)=1Ks(Tms+1)-r(s)c(s) essr=0Kp= essr=K1K =K 第六节 控制系统的稳态误差分析(2) 随动系统前加入比例微分环节系统为非典型结构,闭环传递函数Ks(Tms+1

46、)-r(s)c(s)s+1(s)=Tms2 +s+KK(s+1) E(s)=r(s)-c(s)=r(s)1-Tms2 +s+KK(s+1)s2r(s)=1当输入信号ess=limsE(s)s0Tms2 +s+KTms2+s-Ks1=limss0s2=K1-K=K1 essr=0=Tms2 +s+KTms2 +s+K-K-Ksr(s)第六节 控制系统的稳态误差分析(3) 前向通道中加入比例微分环节开环传递函数为s)K(1+s(Tms+1)G(s)=当输入信号当输入信号开环零点对稳态误差没有影响Ks(Tms+1)-r(s)c(s)s+1r(s)=s1 essr=0s2r(s)=1Kp= essr=

47、K1K =K 第六节 控制系统的稳态误差分析二、扰动信号作用下的稳态误差D(s)作用下的系统结构图R(s)=0essd= lim s -G2(s)H(s)D(s)1+G1(s)G2(s)H(s)s0Ed(s)= -G2(s)H(s)1+G1(s)G2(s)H(s)D(s)+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)第六节 控制系统的稳态误差分析例 已知系统的传递函数， 求系统的稳态 误差。 s(3s+1)5G2(s)=H(s)=2/sG1(s)=s+510G1(s)G2(s)H(s)=502s(s+5)(3s+1)r(t)=2td(t)=0.51(t)解： 系统的开环传递函数为s(0.2s

48、+1)(3s+1)20=0.12K = 220=R(s)=s222essr= K D(s)=0.5sessd= lim s -G2(s)H(s)D(s)1+G1(s)G2(s)H(s)s0s(0.2s+1)(3s+1)s(3s+1)1+2052s0.5s0=lim s - =-0.25 ess=essr+essd=0.1-0.25=-0.15第六节 控制系统的稳态误差分析 增加积分环节可提高系统精度等级，增加放大系数可减小有限误差。采用补偿的方法，则可在保证系统稳定的前提下减小稳态误差。三、改善系统稳态精度的方法第六节 控制系统的稳态误差分析1引入输入补偿 输入补偿复 合控制系统 系统的稳态误

49、差:E(s)=R(s)-C(s)R(s)-+C(s)E(s)G2(s)G1(s)Gc(s)=R(s)-R(s) 1+G1(s)G2(s)G1(s)G2(s)= 1+G1(s)G2(s)1-Gc(s)G2(s)R(s)1-Gc(s)G2(s)=0G2(s)Gc(s)=1E(s)=0R(s)Gc(s) -R(s)Gc(s)1+G1(s)G2(s)G2(s)=R(s)1- 1+G1(s)G2(s)G1(s)G2(s)+G2(s)Gc(s)第六节 控制系统的稳态误差分析R(s)2引入扰动补偿扰动补偿复合控制系统 R(s)=0E(s)=-C(s)1+G1(s)G2(s)G2(s)1+Gc(s)G1(s)

50、D(s)=-C(s)+E(s)+G1(s)G2(s)Gc(s)D(s)D(s)Gc(s)1+G1(s)G2(s)=-G2(s)D(s)Gc(s)D(s)1+G1(s)G2(s)G1(s)G2(s)+1+Gc(s)G1(s)=0G1(s)Gc(s)=-1即E(s)=0第六节 控制系统的稳态误差分析第三章总 结 时域法分析系统的性能主要是通过求系统的单位阶跃响应和系统的性能指标。时域分析法是一种直观的、高精度的分析方法。系统性能的分析过程：系统数学 模型代数判据判断系统 稳定性根据n 、求系统的单位阶跃响应求系统的性能指标动态指标trtp% tsess稳态指标稳快准第六节 控制系统的稳态误差分析主

51、要内容 一、系统的单位阶跃响应c(t)=1-e-t/T1.一阶系统2.二阶系统c(t)=A1+A2es1t+A3es2t1 n c(t)=1- en -t(1+t)=1 c(t)=1-t+)ent-21- dsin(1 n c(t)=1-cost=0 第六节 控制系统的稳态误差分析2.二阶系统|s1|s2|T1=s1-1(5%)ts=4T1(2%) tr=d-4TaG(s)H(s)=(TaTms2+Tms+1)(Tss+1)KpKsKsf / Ce第七节 用时域法分析系统性能举例闭环传递函数:Un(s)N(s)(s)=(TaTms2+Tms+1)(Tss+1)+KpKsKsf /CeKpKsK

52、sf /Ce=TaTmTss3+(TaTm+TaTs)s2+(Tm+Ts)s+1+KpKsKsf /CeKpKs / Ce第七节 用时域法分析系统性能举例1动态性能分析设系统的参数为：闭环传递函数：Ra=0.5Ks=40Td=0.03sTm=0.2sTs=0.00167sCe=0.132V/(r/m)Ksf =0.07(s)=303.03Kp0.00001S3+0.00633S2+0.20167S+21.21Kp+1系统稳定的条件：0.006330.201670.00001(21.21Kp+1)Kp 5.97Ts很小可忽略：G(s)H(s)TaTmS2+TmS+1KpKsKsf /Ce闭环传递

53、函数：(s)(TaTmS2+TmS+1)+KpKsKsf /CeKpKs /Ce第七节 用时域法分析系统性能举例参数代入:对照标准式(s)0.006s2+0.2s+21.21Kp+1303.03Kp=s2+33.33s+3535Kp+166.6750505Kpn2=3535Kp+166.672n=33.33设计成最佳二阶系统=0.707n= 20.70733.33=23.57Kp=0.11（5%）ts= n3 =0.18s第七节 用时域法分析系统性能举例系统的动态结构图可简化为：2稳态性能分析KsfKpKS /Ra (Tss+1)(Tas+1)Ra(Tas+1)/ Ce(TmTas2+Tms+

54、1)Un(s)IL(s)N(s)_G1(s)G2(s)H(s)第七节 用时域法分析系统性能举例给定信号作用时将各参数值代入，得取IL(s)=0Un(s)=s1essr= 1+K1essr=1+400.070.11/0.1321Kp=0.11=0.3KpKS /Ra (Tss+1)(Tas+1)G1(s)=Ra(Tas+1)/ Ce(TmTas2+TmS+1)G2(s)=H(s)=Ksf1+KpKsKst /Ce1 =在扰动信号作用时IL(s)=1/sUn(s)=0essd=lim sEd(s)s0G2(s)H(s)IL(s)1+G1(s)G2(s)H(s)s0=lim sCe+KpKsKsfRaKsf=取Kp=0.110.50.070.132+0.11