化工数学：第三章 n维向量

1、线 性 代 数 第三章 n维向量 第一节 n 维向量与线性相关性第二节 向量组的秩数 第三节 齐次线性方程组解的结构第四节 非齐次线性方程组解的结构线性代数 第三章 n维向量 第1节 n维向量与线性相关性3.1.1 向量的概念及其运算 1、如何判别方程组（4）中是否有多余方程？2、如何找保留方程组（5）？3、在（5）中是否一定能找到不为0的系数行列式？线性代数 第三章 n维向量 第1节 n维向量与线性相关性3.1.1 向量的概念及其运算 例如线性方程组（4）中的任一个方程的系数，就是 n 个有序数，因而是一个 n 维向量。第 i 个方程的系数构成向量 可见线性方程与向量之间有着一一对应的关系。

2、因此，我们可以用向量来研究线性方程的问题。这样方程之间的关系，就转变成与之对应的向量之间的关系。 n 维行向量 abba+=+(1) (2) gbagba+=+)()(3) aa=+0(4) 0)(=-+aa(5) aaaa-=-=)1(,1(6) aa)()(k l lk =(7) babakkk+=+)(8) aaalklk+=+)( 线性代数 第三章 n维向量 第1节 n维向量与线性相关性向量的加法和数乘满足下列八条运算规律定理1 对任意 n 维向量，和数 k 及 l ，有： 引进了 n 维向量的概念以后，一个线性方程组中方程之间的关系，就变成由它们的未知量的系数和常数项所决定的一组 n

3、 维向量 之间的关系。因此进一步研究向量组的性质，对后面讨论解线性方程组是非常必要的。线性代数 第三章 n维向量 第1节 n维向量与线性相关性3.1.2 向量组及其线性组合定义6 向量 若能够表示成向量组 的线性组合，即存在一组数 使 称 可由向量组 线性表示，或称 为向量组 的线性组合。 按此定义，方程组（4）中有没有多余方程的问题，就相当于对应的 s 个向量 中有没有某一个向量能由其余 s-1 个向量线性表示的问题。 线性代数 第三章 n维向量 第1节 n维向量与线性相关性3.1.2 向量组及其线性组合定理2 向量 可由向量组 线性表示的充分必要条件为以向量 为系数列向量， 为常数项的线性

4、方程组有解，并且每一个解向量的分量就是它的一个线性组合系数。 向量组 中有没有某个向量能由其余向量线性表示，这是向量组的一种重要性质，称为向量组的线性相关性。 线性代数 第三章 n维向量 第1节 n维向量与线性相关性3.1.2 向量组及其线性组合定义7 一个向量组 ，如果存在一组不全为零的常数 ，使得 就称向量组 线性相关。否则就称 线性无关。 若向量组是由一个向量组成的，由定义：一个向量 线性相关的充分必要条件是 。 线性代数 第三章 n维向量 第1节 n维向量与线性相关性3.1.3 向量组的线性相关性0定义8如果向量组 中每一个向量都可由另一组向量 线性表示，就称向量组 可由向量组 线性表

5、示。 若向量组 可由 线性表示，而向量组 又可由 线性表示，就称这两向量组等价。 由线性表示的传递性，可知等价是有传递性的。线性代数 第三章 n维向量 第2节 向量组的秩3.2.1 线性相关性与线性表示的关系 定义9向量组 的一个部分组 如果满足 线性无关， 向量组 线性相关。 则称 为 的一个极大线性无关组。 由定义可知，若 为向量组 的一个极大线性无关组，那么 中任一向量都可表为 的线性组合，且表达式唯一。因此，一个向量组与它自己的极大线性无关组总是等价的。线性代数 第三章 n维向量 第2节 向量组的秩3.2.1 线性相关性与线性表示的关系定义10 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数

6、称为这个向量组的秩。 向量组秩的结论： 1）向量组线性无关 它所含向量的个数即为向量组的秩。 2）一个向量组的秩必大于或等于它任一部分组的秩。 3）若向量组 与向量组 等价，则 4）若向量组 可由向量组 线性表示，则 线性代数 第三章 n维向量 第2节 向量组的秩3.2.2 向量组的秩2.5.4 秩与线性方程组线性代数 第二章 矩阵 第5节 矩阵的秩，初等矩阵秩与线性方程组关系的实质是给出了求解线性方程组的方法和步骤：（1）对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵B化成行阶梯形矩阵，从B的行阶梯形矩阵可同时看出r(A)和r(B)，若r(A) r(B)，则方程组无解。 （2）若r(A)=r(B)，则

7、进一步把B化成规范的行阶梯形矩阵（行最简形），而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成规范的行阶梯形矩阵。2.5.4 秩与线性方程组线性代数 第二章 矩阵 第5节 矩阵的秩，初等矩阵（3）若r(A)=r(B) rn ，把规范的行阶梯形矩阵中r个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由未知数，其余nr个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于 ， 由B（或A）的规范的行阶梯形矩阵，即可写出含nr 个参数的通解。线性代数 第三章 n维向量 第3节 齐次线性方程组解的结构3.3.1 齐次线性方程组解的性质有关于解一般的线性方程组，归纳起来有下面 3 个问题：（1）线性方程组有解的充要条件是什么？

8、（2）如果有解，则它有多少个解？又如何去求解？（3）如果方程组只有一个解，则把它解出来就完了；如果不止有一个解，则这些解之间有什么关系？(1)线性代数 第三章 n维向量 第3节 齐次线性方程组解的结构3.3.1 齐次线性方程组解的性质设有齐次线性方程组则（1）式可写成向量方程 （2） 一.齐次线性方程组0=AX解的存在性 对于 n元齐次线性方程组0=AX有: ()0=AX只有零解时nAr=)(; () 0=AX有非零解时nAr)(. 二.齐次线性方程组0=AX解的性质 命题 设21,xx为齐次线性方程组0=AX的两个解向量,k为任意数,则 () 21xx+为0=AX的解向量; ()1xk为0=

9、AX的解向量. ()设是AX=0的解, 则也是AX=0的解，其中是任意常数线性代数 第三章 n维向量 第3节 齐次线性方程组解的结构3.3.1 齐次线性方程组解的性质三基础解系的存在性与求法 定义1 设 pxxx,21L是齐次线性方程组0=AX的一组解向量,如果 (1) pxxx,21L线性无关, (2) 齐次线性方程组0=AX的任意解向量组可由pxxx,21L线性表示 则称pxxx,21L为齐次线性方程组0=AX的一个基础解系. 线性代数 第三章 n维向量 第3节 齐次线性方程组解的结构3.3.1 齐次线性方程组解的性质定理1 设A是m n阶矩阵，若nrA r=) (则齐次线性方程组0=AX

10、存在一个由rn-个线性无关的解向量rn-xxx,21L构成的基础解系，且它们的线性组合 rnrnkkkX-+=xxxL2211 (3) (其中 为任意常数）rnkkk-L21, 为0=AX的所有解。称（3）式为 的通解。0=AX 线性代数 第三章 n维向量 第3节 齐次线性方程组解的结构3.3.1 齐次线性方程组解的性质方程组 的求解方法：0=AX (1)将系数矩阵 A 用初等行变换化为规范的阶梯形矩阵，即 (2)以 为系数阵得同解方程组 ，将方程组 移项，添项得 的全部解，并写成解向量的形式即得通解 0A rnrnkkkX-+=xxxL2211 rn-xxx,21L 线性代数 第三章 n维向

11、量 第3节 齐次线性方程组解的结构3.3.2 齐次线性方程组的求解 （其中 为任意常数）由通解得 的基础解系线性代数 第三章 n维向量 第3节 齐次线性方程组解的结构3.3.2 齐次线性方程组的求解例 求齐次线性方程组 的基础解系及通解解：（1）将系数矩阵A用初等行变换化为规范的阶梯形矩阵，即线性代数 第三章 n维向量 第3节 齐次线性方程组解的结构3.3.2 齐次线性方程组的求解线性代数 第三章 n维向量 第3节 齐次线性方程组解的结构3.3.2 齐次线性方程组的求解（2）得同解方程组A0X=0为（3）移项得再添项得齐次线性方程组的所有解： （其中x3、x4为任意常数）线性代数 第三章 n维

12、向量 第3节 齐次线性方程组解的结构3.3.2 齐次线性方程组的求解所有解写成解向量的形式即得通解（其中x3、x4为任意常数）线性代数 第三章 n维向量 第3节 齐次线性方程组解的结构3.3.2 齐次线性方程组的求解即通解为（其中x3、x4为任意常数）得基础解系线性代数 第三章 n维向量 第3节 齐次线性方程组解的结构3.3.2 齐次线性方程组的求解线性代数 第三章 n维向量 第4节 非齐次线性方程组解的结构3.4.1 非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组可表示为矩阵形式或表示为向量形式 线性代数 第三章 n维向量 第4节 非齐次线性方程组解的结构3.4.1 非齐次线性方程组解的性质线性方

13、程组b=AX有解的条件： 定理 非齐次线性方程组b=AX有解 向量b可由A的列向量naaa,21L线性表示 向量组naaa,21L与baaa,21nL等价 =),(21nraaaL),(21baaanrL ),()()(bArArAr= 方程组b=AX解的性质: 命题 若21,hh是b=AX的两个解向量,x是0=AX的解向量则 (1)21hh-是0=AX的解向量; (2)1hx+是b=AX的一个解向量; (3)b=AX的任意一个解向量h都可表示成 00hxh+= 其中0h为b=AX的解,0 x 为0=AX的一个解. 线性代数 第三章 n维向量 第4节 非齐次线性方程组解的结构3.4.1 非齐次

14、线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的结构: 定理若b=AX满足nArAr 0 的 n 次实系数多项式在复数域中恰有 n 个零点, k 重零点算作 k 个零点。但是实 矩阵可能有复特征值，例如矩阵 的特征方程的根为复根 对应于同一个特征值的特征向量有无穷多个。 只要求出齐次线性方程组 的基 础解系，即可求出所有的特征向量。 线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.1 特征值与特征向量的概念 注1：显然，A 的特征值就是特征方程 的解（根）。 注2：特征值 对应的特征向量就是方 程组 的非零解向 量。 线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.2 特征值与特征向量的基本求法 （1）计算

15、矩阵 A 的特征多项式 AEn-l)()(21llllll-=nL （2）由特征方程 得所有根 即为矩阵 A 的特征值；（3）对 A 的不同特征值 ，解方程组 得基础解系 。线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.2 特征值与特征向量的基本求法 基础解系中向量的线性组合：rrkkkaaaa+=L2211 rkkk,(21L不同时为零） 即为il的全部特征向量。 线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.2 特征值与特征向量的基本求法 例1 求 的特征值和特征向量解（1）A 的特征多项式为所以 A 的特征值为 2)2)(1(111111111+-=+-+-+=-llllllAE2,13

16、21-=lll线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.2 特征值与特征向量的基本求法 （2）对，解方程组，由得通解，基础解系为，线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.2 特征值与特征向量的基本求法 所以A的对应于特征值的全部特征向量为线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.2 特征值与特征向量的基本求法 对，解方程组，由得通解线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.2 特征值与特征向量的基本求法 基础解系为所以A的对应于特征值的全部特征向量为：不同时为零）线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.2 特征值与特征向量的基本求法 本例说明：（1）矩阵可能有重特征值；

17、（2）若矩阵各行元素之和为常数 a ,则 A 有一个特征值 a , 对应的一组特征向量为线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.2 特征值与特征向量的基本求法 （3）一个特征向量唯一对应一个特征值； （4）一个特征值对应的特征向量有无穷多个； （5） 线性无关的特征向量可以不止一个。线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.2 特征值与特征向量的基本求法 例2 求 的特征值与特征向量。解： （1）A的特征多项式为所以，A的特征值为线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.2 特征值与特征向量的基本求法 （2）对21=l，解方程组0)2(3=-XAE 对应于特征值2=il的全部特征

18、向量为 线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.2 特征值与特征向量的基本求法 对 ，解方程组132=ll0)(3=-XAE 对应于特征值的全部特征向量为线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.3 特征值与特征向量的基本性质 定理4.1 设nlll,21L为n阶矩阵A=(aij)nn的n个特征值，则 (1) =niiinjja11l； (2) Anjj=1l 线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.3 特征值与特征向量的基本性质 （3）对任意正整数k，有是的特征值。 （4) 若，则为的特征值。线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量 4.3 特征值与特征向量的基本性质 定理4.2 如果slll,21L为n阶矩阵A的s个不同的特征值，saaa,21L分别为