核心素养之直观想象

1、核心素养之直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图 形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形状变化 与运动规律：利用图形描述，分析数学问题：建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型， 探索解决问题的思路。“直观想象”这一数学核心素养视是“几何直观”、“空间想象”观念的发展和融合， 它不单是空间想象能力，也不单是数形结合思想，它是一些数学思想、数学能力的融合。直观想象是认识事物的基本方式，也是数学抽象的基础，体现了数学的一般性。【高中直观想象素养的渗透】1、函数与导数模块包括集合、函数及其性质，基本初等函数。数形结合：

2、利用函数的图像研究函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、极值、 最值等），会作图（画出函数的草图）、识图（函数反应出的单调性、奇偶性、零点、极值 等）、用图（数形结合，利用函数图像解决零点问题，构造函数解决不等式问题）。2、三角函数模块包括三角函数，三角恒等变换，解三角形。数形结合：利用三角函数的图像研究研究三角函数的性质：几何直观：解三角形中，利用三角形直观性，便于分析和求解。3、平面向量模块几何直观：结合图形分析数量之间关系，向量数量积的有关计算。4、数列与不等式模块数形结合：结合图形理解数列的单调性、最值等；求解线性规划问题。5、立体几何空间想象：借助空间图形理解点、线、面的位置关

3、系，并进行有关的推理、证明和有关 量的计算。6、平面解析几何几何直观：在几何直观的基础上，对直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等图形的性质、 位置关系等进行深层次探讨。7,排歹人组合与二项式几何直观：借助几何直观，便于对排列、组合进行分析理解。【高考中直观想象素养的考查】（1）数形结合，化抽象为形象，化繁为简1、数形结合求交点个数（2017江苏，14题）设/（x）是定义在R且周期为1的函数，在区间。1）上，/（x） = r，XeD其中集合O = x|x = wN*,则方程x, x 任 ）,I J/（x）-lgx = O的解的个数是【解析】由于/(x)wO,l),则需考虑lWx0,因此Igx不可能与

4、每个周期内xeD对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期x史。的部分的交点，画出函数图像，图中交点除外(L0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x任。的部分,且x=l处(lgx)，=，二=70,判断是否存在b0,使函X数/(X)与g(x)在区间(0,+8)内存在“S点”，并说明理由.【解析】(1)/(x) = l, g(x) = 2x + 2,联立J，：；/：；* 2,此方程组无解，所以/(x)与g(x)不存“s点”.f(x) = 2ax, g(x)=！，x0，由/(不)=8(不)得加 =又/(序)=可，g(Jf) = *n2a，联立可得。=繁/(x) = i2x, g(无)= .(：

5、D,x0,由/(/)=8(%)得力 e =40 Xx0 -1所以0飞 0X-1-x设“xX-d+sY+ax-a, x(0,l), a 0t(0) = -a0=r(0)-r(l)0 又t(x)的图象在上连续不断 t(x)在(0,1)上有零点、所以hx在(0,1)上有零点【分析】零点、极值点存在性问题，往往通过构造函数的方法、利用函数的单调性、极值、 端点值或零点定理求解.(2)几何直观，数形转化(2016江苏，13题)如图，在4鸵中，是比的中点，E,尸是上的两个三等分点，BC CA = 4, BF CF = - ,则 BECE的值是 【解析】因为BA CA = (-BC-AD)C-BC-AD)=

6、钠一阮=兆一叫=4,1111 4FD - BCBF CF = （-BC-一AD） （一一BC-AD） =- = -l232342 S 213因此 82114ED - BCBECE = JBC ED）（BC-ED） = -2242216FD -BC 14=8【分析】借助几何图形，把要求的向量转化为统一的基底，把几何问题转化为代数问题求解。 (3)空间想象，直观形象(2017江苏，18题)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器II的 高均为32cm,容器I的底面对角线AC的长为10近cm,容器H的两底面对角线EG , E 的长分别为14cm和62cm.分别在容器1和容器H中注入水

7、，水深均为12cm.现有一根 玻璃棒/,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将/放在容器I中，/的一端置于点A处，另一端置于侧棱CG上，求/没入水中部 分的长度；(2)将/放在容器II中，/的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG|上，求/没入水中部分 的长度.【解析】(1)山正棱柱的定义，CG _L平面A8CD ,所以平面A ACC, T-Illi ABCD,Cg LAC.记坡璃棒的另一端落在CG上点M处.因为 AC = 10十 一口/ = 40,所以 3ZC =小0： -（10丫 =30,从而 sinZJHC =:,记二U与水面的焦点为当过月作P1Q.1AC, 0为垂足，

8、则P】Q_L平面ABCD,故巧0：=12,从而招尸-H7 = 16sinNMTC答：玻璃棒/没入水中部分的长度为16cm.（如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm）E o G (第 18(2)题)（2）如图，。，。1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OOiL平面EFGH,所以平面EiEGGiJ_平面EFGH, OjOXEG.同理，平面 EiEGGi_L平面 EiFiGHi，OQJ_EiGi.记玻璃棒的另一端落在GGi上点N处.过G作GKJ_JG, K为垂足， 则GK =0。产32.因为 EG =14, FiGi= 62, TOC o 1-5 h z 62 14/，/

9、所以 KGf - = 24,从而 GG, = JKG： + GK2 = ,24? + 322 = 40.,冗4设 /EGG、= a,/ENG =4，则 sin a = sin（ + NKGG1）= cos NKGQ =.7T3因为二a（兀，所以cosa =-, TOC o 1-5 h z 40147在AENG中,由正弦定理可得二一 =解得sin = . sin a sin p25jr24因为。/5,所以COS/? = 5.于是4 24373sin ZNEG = sin(7t - a 一 夕)=sin(a + /?) = sin a cosP + cos a sin /? = x + ()x =

10、 5 25525 5记EN与水面的交点为P2过P2作P2Q2-LEG.。2为垂足，则P2Q2,平面EFGH,故P2Q2=12,从而 EP2=-验一= 20. sin/NEG答：玻璃棒/没入水中部分的长度为20cm.【分析】借助立体几何直观形象的特点，从立体中抽出所求线段所在的一个平面，利用 正、余弦定理求解，解题的关键在于转化。【基于直观想象的数学建议】.学函数，用图像函数是中学数学的核心概念，是中学数学的基础，是学好数学的关键。以函数为主线可 以将很多数学内容“串”起来：函数、不等式、方程、数列、微积分等，占高中数学课程的 “半壁江山”。但函数的概念抽象，内涵丰富，思想精微。”学函数，用图像

11、”，从概念层 面看，丰富表征，完善结构，便于概念抽象；从思想方法层面看，以形助数、数形沟通，实现 数形结合；从学习心理角度看.用图思考，形象直观，有助于建立信心。具体表现为：(1)用图像：从“形”的角度刻画和理解函数及其相关概念；(2)用图像：为函数性质的发现、描述、理解和记忆提供方法；(3)用图像：从变换的视角将复杂函数化简单；(4)用图像：架起方程、不等式通往函数的桥梁；(5)用图像：构建直观模型使抽象函数问题不抽象.研究空间位置关系，用好长方体这一直观模型立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想象能力，课标实验要求内容设计遵 循从整体到局部、具体到抽象的原则：以长方体为模型和载体.

12、直观认识和理解空间点线面 的位置关系熟悉长方体空间基本元素的关系和性质把空间关系的一些重要结论放到长方体 来观察和思考，既易于发现又便于记忆.一-些复杂的几何体可以借助割补法化归为长方体 有时更特殊力正方体模型处理打开思路使问题得以简化。.理解好向量几何意义发挥向量几何直观优势在高中数学课程结构中，向量是沟通代数几何与三角函数的一种工具，向量及其运算工 具性贯穿于高中数学教材体系不同内容和不同问题之中但对向量概念及其运算，中学可能强 调代数坐标运算过了头，特别是空间向量处理立体几何问题.其实向量有丰富的几何背景和 几何意义.要加大从形”的角度理解好向量，养成主动想图、作图和用图思考的习惯，看” 出思路，看出简洁。.解析几何，仍要重视图的作用解析几何是数形结合的经典内容，虽然它的主体思想是代数方法研究几何问题，但仍需 强调图形的重要性，包括：从图形的观察