概率论和数理统计试题和答案

1、概率论和数理统计试题及答案一、填空题： TOC o 1-5 h z 1、设A与B相互独立，P(A)=-,P(B)=1,则P(B-A)=32“111解：P(BA)P(B)1P(A)(1-)-2332、设XU1,3(均匀分布)，则E(X2),D(2X)E(5X2)解：E(X)2;D(X)1/32E(X2)D(X)E(X)213/3D(2X)4D(X)4/3E(5X2)5E(X)210283、设随机变量X服从指数分布，即XE(2),定义随机变量2,X3Y1,X3则Y的分布列为1,X3解：Fy(Y)P(Yy)P(Y1)P(X3)c2xI2x2edxe00Fy(Y)P(Yy)P( 1 Y3 o 2x .

2、2e dx0Fy(Y)P(Y1) P(X 3)2x3.e 01 ey)P(1 Y 2)3 o 2x .2e dx0P(X2x e3)1 e6其中是与y无关的量4、设XB(200,0.1)YP(3),ZN(3,22)，且X,Y,Z相互独立，则E(2X3YZ5)_D(2X3YZ5)解E(2X3YZ5)2E(X)3E(Y)E(Z)522000.1333533D(2X3YZ5)4D(X)9D(Y)D(Z)722741035、设总体XN(,2),Xi,X2,X3为来自X的样本，？0.5Xi0.1x2ax3是未知参数的无偏估计，则a。解：因为是无偏估计所以E(?)E(0.5x10.1x2ax3)0.5E(

3、x1)0.1E(x2)aE(x3)(0.50.1a)E(X)(0.50.1a)(0.50.1a)1a0.4 TOC o 1-5 h z 22.6、设XN(1,1),YN(2,2),X与Y相互独立，且X与Y分别为X,Y的样本均值，样本容量分别为,，鱼。若12,2已知，则检验假设：H0:12；H1:12的检验统计量为。解：(XY)227、设随机变量X服从正态分布N(,1),关于的二者必居其一的假设为H0：0;HpP2X20是22(5),且X与Y相互独立,则下列分布错误的是Ho真,H0表示假设Ho假,P(AHo)X2F(1,5)Yxt(5):Y/5拒绝域为A,则犯第二类错误的概C、P(AHo)D、P

4、(AHo)X-112P0.30.50.2X的分布列为:X Y2、设（X,Y）的联合分布列为oQ1的边缘分布列;解：a 1(3)1415判别X与Y是否独立115X/Y123Fy(X)01/152/152/15Fy(0) 1/312/154/154/15Fy(1) 2/3Fx(Y)Fx(1) 1/5Fx (2) 2/5Fx(3) 2/5由表得 F(X,Y) Fy(X)Fx(Y)111即：F(0,1)Fy(0)Fx(1)F(0,2)Fy(0)Fx(2)F(0,2)Fy(0)Fx(3)3131525215_2152F(1,1)Fy(1)Fx(1)F(1,2)Fy(1)Fx(2)3152152154F(

5、1,3) Fy(1)Fx(3) 35415152X求：（1）Y=X2的分布列；（2）Zcos分布列；（3）E（X）,D（X）。2a2/152/15.(1)求常数a；(2)求(X,Y)2/154/154/15所以相互独立3、设电源电压XN（220,252）,且某种电子元件在下列三种情况下损坏的概率分别是0.1,0.001和0.2:(a)X不超过200伏；(b)X在200240伏之间；(c)X超过240伏。求：（1）电子元件损坏的概率（设：（0.8）0.8）;（2）某仪器装配有50个这种电子元件，它们的工作状态相互独立，如果电压X超不计算）过240时，求这50个电子元件中至少10个损坏的概率（要求

6、：只列式,解：1p(元件损坏)0.1p(x200)0.001p(2000.1x220小p(0)250.0010 x220p(025x240)0.2240220、八八)0.225p(xP(x240)240220250.10.1(0)0.520.0010.0010.8(0.8)0.5(0)0.2(0.8)0.20.80.2103P1p（原件损坏x240)0.2p(x240)0.16p(xk)k050 k9Pikkra1GoPi1k04、已知随机变量X的分布密度f(x)k(2x0,x2),x(0,2)求,其他(1)系数k;(2)P1X3E(X)解:F(f(x)dx20k(2xx2)dxk(x23)4

7、k35、P(1E(3)31f(x)dx2314(2xx2)dx(x23)X)x)f(x)dx20(2x2.x)dx设二维随机变量(XY)的联合概率密度f (x, y)0,Axy2, 0y x,0fx(y)其他求：(1)A的值；X和Y的边缘概率密度，并判别X和Y是否相互独立?P(X,Y)D,其中D(x,y)xy1解：1xc由于F(,)00Axydydx1一所以一Ax401即：A332_2x24fy(X)3xydy。3xydyx21_232213223xydxy3xydx2yxy2y(1y)f(x,y)fx(y)fy(X)不独立P(X,Y)D;D(x,y)xy112:0y3220yy123xydx

8、dy(2y1)dy2(322421/232r2yx02yy1dy2(96142y13Sy)646、有一大批糖果.现从中随机抽取214,210,213设袋装糖果的重量分布为正态的.6袋，称得重量(以克计)如下:216,212,213(1)若已知21,求总体均值的置信度为0.95的置信区间;(2)解:213；sJ；(X213)221(xz0.025/6,xz0,025(2131.961/.6,213(212.2,213.8)/、,6)1.961八6)2(Xt0.025S/,6,Xt0.025(5)S/6)(2130.982/.6,2130.982/.6)(212,198,213.816)7、设总体

9、XN(,2)的样本的一组观察值为：10,8,12,10。(1)求方差2的置信度为0.95的置信区间;能否据此样本认为该总体的数学期望为11 (0.05) ?因为未知，取统计量_2(n 1)S 2(n 1)相应地,2的置信区间为由已知n=41 0.95(n 1)2(n 1)S2(-2；(n 1)220.05,查表：0.975(3) 0.216,(n 1)S2 )12 (n 1)22(n21)0.025(3) 9.348,以及4(1012 10) 10S2(XiX)所求2(n 1)S2j(n 1)29.3480.86,(n1)S212.(n21)80.21637.042 .的置信区间为(0.86,

10、 37.04)(2)检验假设：H0:011H1:检验统计量(2未知，采用t检验)：txt(n1)s/n显著性水平为0.05的拒绝域为：Pxt(n1)t0025(3)s/n2查表：1025(3)3.1824,于是1.22473.1824故接受H0,即认为11。x (公斤/厘米2),8.某地地震台根据对地应力(电感)测量资料计算出最大压应力值发现其与地震震级y(M有关系。试由下列观察数据：x:1.22344.8y:2.833.23.74.3求y对x的经验回归方程。解：xy0.966可以假设线性回归方程为y0.4009;2.19由最小一乘法可得Y0.4009X2.199.将两信息分别编码为A和B传递

11、出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2:.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少？【解】设人=原发信息是A,则=原发信息是BC=收到信息是丹，则=收到信息是B由贝叶斯公式，得P(AC)P(A)P(CA)P(A)P(C|A)P(A)P(CA)2/30.982/30.981/30.010.9949210.(1)设随机变量X的分布律为RX=k=a,k!其中k=0,1,2,，入0为常数，试确定常数a.(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N,k=1,2,，N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知k1P(Xk

12、)aa般k0k0k!(2)由分布律的性质知NN1P(Xk)ak1k1N11.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算np20000.0012e225P(X5)0.00185!12.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、2

13、0000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元.设1年中死亡人数为X,则Xb(2500,0.002),则所求概率为P(2000X30000)P(X15)1P(X14)由于n很大，p很小，入=np=5,故用泊松近似，有14e55kP(X15)10.000069k0k!P(保险公司获利不少于10000)P(300002000X10000)P(X10)10e55k0.986305k0k!即保险公司获利不少于10000元的概率在98犯上P(保险公司获利不少于20000)P(300002000X20000)P(X5)5e55k0.615961k0k!即保险公司获利不少于20000元的概率约为