第2章有导体时的静电场汇总

1、第二章 有导体时的静电场（一）要求1、掌握导体静电平衡的条件，了解导体表面的电荷分布，掌握平行板导体组场强及电势的计算2、掌握空腔内有电荷以及没有电荷时的电场特点，静电屏蔽效应。3、了解孤立导体的电容，掌握电容器的电容及电容器的串、并联。4、了解带电体系的静电能及电容器的静电能5、演示实验：（ 1 ）静电平衡的实验（ 2 ）静电屏蔽的实验（二）要点1、静电平衡（ 1 ）静电平衡（ 2 ）导体静电平衡问题的讨论方法（ 3 ）平行板导体组的场强和电势问题2、封闭金属壳内外的静电场（ 1 ）壳内空间的场（ 2 ）壳外空间的场3、电容器及其电容（ 1 ）孤立导体的电容（ 2 ）电容器及其电容（ 3 ）

2、电容器及其联接4、带电体系的静电能（ 1 ）带电体系的静电能（ 2 ）电容器的静电能（三）难点1、静电平衡条件和电学性质2、静电屏蔽3、电容计算和电容储能。第二章导体周围的静电场2-1导体的静电平衡条件一、静电平衡1、静电感应金属导体有大量自由电子作无规则的热运动。导体内的电荷因外电场的作用而重新分布的现象叫静 电感应。由于静电感应而出现的电荷叫感应电荷。带电导体 A导体B上有感应电荷2、静由平衡导体上的感应电荷和整个空间的电场都达到稳定 分布的状态叫静电平衡。静电平衡的必要条件是：其内部场强处处为零 如果有非静电力，则必要条件改为导体内部可以移动 的电荷所受的一切力的合力为零。但本章不讨论有

3、非静电力的情况静电平衡时有如下性质1:导体是等势体，导体的表面是等势面。设在导体内取任意两点A和B,则它们之间的电位差B为Uab Va Vb aE dlA因为在静电平衡条件下，其内部场强处处为零，所以A和B两点电势相等：Uab 0o2:在静电平衡时，导体内部无净电荷，电荷只分 布在导体的表面上。证明：反证法，设导体内有一未被抵消的净电荷q。，sE dS q0 0S 0于是S面上的E不能处处为零，与静电平衡条件矛盾3:导体表面的场强分布静电平衡时，导体周围场强分布的特点是：导体 表面附近的场强方向处处于表面垂直，大小于该处导 体表面的电荷面密度成正比，关系式为 E 小0P处的场强为E , 过P作

4、一圆柱面设导体表面外附近空间有一点 该点附近表面上的电荷面密度为 为高斯面，通过高斯面的电通量为SE dS = %Ec0sds,=Ecos dS+ Ecos dS TOC o 1-5 h z 一侧+上导体+ Ecos dS = E sE E n00 o:、带电导体所受的静电力我们来计算与体表面一个小面元所受的力。设s是与体表面含P点的小面元， 是P点的电荷面密度, 则S (作为一个电荷为 s的点带电体)所受到静电场力为F E (P) S其中E(P)是除S外所有电荷在P点贡献的场强。设P1 点是从P点出发沿导体表面法向稍作外移所到之点，则由前一节式：E(Pi) -(P)en ,可知Pl点的场强为

5、0E(Pi)en E s(Pi) E (Pi)它又分解为两部分：S在Pi点的场 强Es(Pi),和除s外的电荷在Pi点的 场强E (Pi):因为Pl点可任意靠近P,对它而言可被视为均匀带电无限大平面，所以Es(Pi) en,代入前一式便得2 0E(Pi)en2 0P点是带电面上的点，场强在 P点有突变，但这是指 总场强。由于激发分场强e的电荷已不含有S的电荷，E在P点是连续的，既然连续，相距极近的点 P和Pl的E就相同，所以E(P) E(Pi) en2 o代入式 F E (P) S中,可得到 这就是导体表面任一面元的受力公式。把上式沿导体 表面作积分便可求得整个导体所受的静电力。三：孤立导体形

6、状对电荷分布的影响电荷在导体表面上的分布与导体表面形状和周围 的带电体有关。对于孤立的带电体来说，其表面的电 荷面密度a的大小于表面的曲率有关，表面曲率大的 地方6大。即导体表面凸出且尖锐的地方较大，表面 平坦的地方行较小，表面凹进去的地方更小。如果带电体具有尖端，因为尖端的曲率特别大， 电荷特别多，其附近的场强也特别大。在强电场的作 用下，尖端附近的空气容易被电离成正负离子，与尖端上的电荷同号的离子受到排斥而离开尖端，异号的离子受到吸引而趋向尖端，与尖端上的电荷中和，这等效于电荷从尖端放出，这就是尖端放电。在高压电力线路中，尖端放电白白消耗了电能，要尽量避免。高压设备的电极做成光滑的球形，就

7、是为了防止尖端放电。尖端放电也有可用的一面，静电加速器、感应起电机的喷电针尖和集电针尖都是应用的例子，避雷针也是利用尖端放电原理来防止雷击对建筑物的破坏。 避雷针实际上是 “引雷针” ， 它是将天空中雷电流引向自己，而保护周围的人和物不受雷电打击。四：导体静电平衡问题的讨论方法对于静电问题，正确的讨论必须遵从静电学的两个基本规律 （高斯定理和环路定理） ， 而应用它们往往涉及过多的数学知识，人们创造了许多非常巧妙的解题技巧，如电像法，复变函数法，以及工程中的图解法， 但适用范围不广泛， 并同样要有较好的数学知识，这些方法不是本书介绍的范围， 而是电动力学的内容。本小节利用高斯定理和环路定理和电

8、场线这一形象工具定性讨论几个静电平衡问题。例 1 ：在图中的静电感应现象中， A 是带正电 q的点电荷， B 是中性导体，试证B 左端的感生负电荷绝对值q小于或等于施感电荷q。Vb,而B右端的正电荷发出的解：由电场线性质1知，导体B左端的负电荷处 一定有电场线终止，来源有三种： A上的正电荷，B 右端的正电荷，无限远。但可以用反证法排除后面两 种可能性。如B左端 的电场线来自于B右 端，则由于沿电场线 电势降落，这与导体 在静电平衡时是等势 体有矛盾。如果止于 B左端的电场线来自 无限远，就会得出V 电场线也是止于无限远，又会得出Vb V ,与V Vb有 矛盾。因此可以肯定止于B左端的电场线全

9、部发自A 正电荷。再根据电场线性质1的定量表述，止于B左 端的电场线条数正比于q ,发自A的电场线条数正比 于q,而终止的条数只能小于或等于发出的条数，因 此q q。通常施感电荷发出的电场线有一些不终止 于B的左端，故往往有q q 。例2中性封闭金属壳内有正点电荷，求壳内外感生电荷的数量解：由于壳内电荷发出的电场线只能止于内壁，由性质i的定量表述今、 可知，内壁总电荷为q ,又壳为中性，2P 所以外壁总电荷为q。也可以用高斯定理求解，作如图中高斯面（虚线），由于内部场强为J | -A令，E dS 0 TOC o 1-5 h z s因此氏qi 0,故有内壁电荷为 q。内例3:把例1的导体B接地，

10、试证B上不再有0的点。相万由注岫匕下阳、一日生,仙匚砂口斛：要汪后、地与无限M是等势的，y A 与体B。设B上某点竟有 0 ,则它所、一发出的电场线只能伸至无限远。故有Vb V ,另一方面，B接地。导致Vb V V地，与Vb V矛盾，命题得证。五：平行板与体组例题例1:金属平板A和B的长宽对应相等 在真空中对齐平行放置，板间距比长宽小得多，分别让每板带qA及qB的电荷，求每板表面的电荷密度。解：可以把板看成是无限大，两板四壁的电荷均匀分布，在A、B板内分别取点M和N,2)S qA (1)4)S qB (3)导体板A导体板BEn(4)qA/SqB/S(q(qqB)/(2S)qB)/(2S)讨论：

11、如果qBqA,贝1402qA / S+ 十 十 qA：4-qA 2-2 封闭金属壳内外的静电场一：壳内空间的场（ 1）壳内无带电体当导体空腔内没有其它带电体，在静电平衡时，它具有如下静电性质（电荷、电场） ：导体空腔内表面处处无电荷， 电荷只分布在外表面上；腔外电荷 （包括外表面的电荷和腔外带电体的电荷）在腔内产生的合场强为零，不影响腔内的电场分布。导体空腔内无电场，腔内是等势区。不论导体空腔是否带电，也不论导体空腔外是否有带电体，以上结论都是成立的。也就是说，在静电平衡状态下，腔内无带电体的导体空腔与实心体一样，内部没有电场。这样，导体空腔可以 保护 它所包围的区域，使之不受外表面的电荷和腔

12、外电场的影响。（ 2）腔内有带电体当导体空腔内有其它带电体，在静电平衡时，它具有如下静电性质：1、导体空腔内表面带电，它所带的电荷与腔内带电体所带的电荷等量异号，代数和为零。壳外电荷对壳内电场仍无影响， 壳内电场只由壳内带电体及壳的内壁形状决定。二：壳外空间的场壳外无带电体的情况壳外空间在壳外无带电体时仍然可能有电场。壳内的带电体和它在内壁感生出的等量异号电荷在壳外空间激发的合场强为零，但壳外壁的感生电荷在壳外空间是激发有电场的。但如果把金属壳接地，可以消除壳外电场。壳外有带电体的情况此时即使球壳接地，壳外壁的电荷密度也并不一定处处为零。接地封闭导体壳外部静电场不受壳内电荷影响。封闭导体空腔（

13、不论接地与否）内部电场不受腔外电荷的影响，接地导体空腔外部电场不受腔内电荷的影响，这种现象称为 静电屏蔽 。静电屏蔽现象在实际中都有重要的应用。一个重要结论 ：设壳内空间的电荷为 q1 ，壳内壁电荷为 q2 （ q2q1 ） ，壳外壁电荷为 q3 （对中性壳有 q3 q2 q1 ） ， 壳外空间的电荷为 q4 （不算外壁） ，则不论壳是否接地， q1 ,q2 在壳内壁之外任一点的合场强为零，q3,q4在壳外壁之内任意一点合场强为零。不论球壳内部点电荷位置如何，壳外电场都一样，壳外壁的电荷都均匀分布、静电加速器近代物理实验常常需要高速的 粒子，用以加速粒子的装置叫做加速 器。静电加速器（又名范德

14、格喇夫起 电机）是加速器的一种。它是利用静 电高压加速带电粒子的装置。可用以 加速电子或质子。1931年范德格拉 夫首先研制成功。它是通过输电带将 喷电针电晕放电的电荷输送到一个绝缘的空心金属电 极内，使之充电至高电压用以加速带电粒子。加速器 加速粒子的能量受到所使用绝缘材料击穿电压的限 制。为了提高静电加速器的工作电压和束流强度，近 代静电加速器安置在钢筒内，钢筒内充有绝缘性能良 好的高压气体，以提高静电高压发生器的耐压强度， 加速粒子能量可达14兆电子伏特（MeV）。静电加速 器属于低能加速器，主要作各种技术应用。 2-3电容及其电容器入孤立导体的电容如果在一个导体周围没有其它带电体和导体

15、， 我 们就把这个导体称为孤立导体。孤立导体球，其电势按以前例题所求为这表明，孤立导体球的电势和电量之间成正比关系， 对任何形状的孤立导体都有q CV比例系数C叫做孤立导体的电容，其物理意义是导体 每升高单位电势所需的电荷量。它是反映导体储电能 力的物理量。在国际单位制中，单位：法拉F。常用还有二个 较小的单位：微法 F、微微法pF o它们和法拉的关 系是：1 F 10 6F , 1pF 10 12 F 二、电容器的电容在一个带电导体附近置入其它导体，其电势与电 量的正比关系不再成立。这是因为非孤立导体周围的 场强不仅决定于该导体，还与周围的情况有关。因此, 我们不能用原来的方法来引入电容的概

16、念。利用静电 屏蔽，可用导体空腔B把导体A屏蔽起来。这样，腔 内电场仅由导体A和所带电量q及和内表面形状决 定，与外界情况无关。如果带电体A的带电量增加一倍，则B的内表面 带电量也增加一倍，同时腔内任一点的场强也增加一 倍，因而A、B之间的电位差也增加一倍，即 Ua-Ub 与q成正比。因此可以定义c比例系数|c仅决Ua Ub定于46的大小、形状和相对位置，与它们是否带电 以及带电多少无关。我们把导体组A、B称作电容器, A、B为电容器的两个极板，称 C为电容器的电容。 三、电容器的计算 1、球形电容器球形电容器由一个导体球 A和一个同心薄与体球壳B组成，半径分别为R,R2。它有如下特点：(1)

17、电荷在内球外壁及外球内壁均匀分布， 两壁 电荷等值异号。其内球电荷 斗的绝对值称为球形电容 器的电荷，记作Q(2) A、B间的电位差与电量成正比, TOC o 1-5 h z r2qqR2RiAB-23-er ? d r -21Ri 4 or240R1R2由电容器的定义式，得q 40R1R2UR2R1即电容只与球和球壳的半径有关2、平行板电容器。由两块平行放置的挨得较近的金属板组成。设极 板面积为S,极板间的距离为d.QU Ed 士 d dS,0S00S c qd平行板电容器在实际得到广泛应用，两板之间用 电介质隔住，再从两块极板上分别接出引线而成。加 电介质的目的是为了增大电容量。3:圆柱形

18、电容器圆柱形电容器由两个同轴圆柱体 A、B组成，半径分别为兄），两柱距离比其长度小得多,忽略边缘效应，把它看作无限长。设 A、B带电量分 别为+Q、-Q,则两柱体内、外表面间的场强为E2 orLA、B间的电位差为U ab U a U b /Edr -q ln RA2 oL Ra由电容器的定义式，得C20LUa UB in（RB R）RA四：电容器的联接1、串联每个电容器所带的电量相等,C Q QL_u u1 u2Ui 幺Q 6因此11。CC1C2串联各电容器上的电压分配与其电容成反比，即1U1：U2：:Un -C11C21Cn2、并联QQiQ2 QQiQ2c UUUCiC2并联时各电容器上的电量分配与其电容成正比，即 qq：: qn g。：: Cn如果要求承受较高的电压时，可以把几个电容器 串联起来使用；如果需要大电容时，可以把几个电容 器并联起来使用。不管串联还是并联，除了考虑获得 合适的电容量外，还需要注意使每个电容器上的电压 都不超过它的耐压能力。 2-5 带电体系的静电能一、带电体系的静电能回忆引力势能