[PPT]结构力学之结构的位移法及习题课讲义

1、第十一章习题课一、本章主要内容回顾二、习题解答一、位移法的基本概念(1) 位移法的基本思路将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。第一步：杆件分析 找出杆件的杆端力与杆端位移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。第二步：结构分析 找出结构的结点力与结点位移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础。所以，位移法又称为刚度法。(2) 位移法基本未知量基本未知量结构的结点位移(角位移和线位移)。2基本未知量的确定：基本未知量数n=结点角位移数+独立的结点线位移数 结点角位移数：结构的刚结点数(容易确定)独立的结点线位移数：将所有的刚结点变成铰

2、后，若有线位移，则体系几何可变，通过增加链杆的方法将体系变成无多余约束的几何不变体系(静定结构)，则需要增加的链杆数即为独立的线位移数。(3) 解题途径 确定基本未知量； 杆件分析获得杆件的刚度方程(拆结构成杆件)； 整体分析获得位移法基本方程(将杆件搭接成结构)注意：基本方程是用结点位移表示的平衡方程。3 解平衡方程求出基本未知量(结点位移) 计算各杆的杆端弯矩并作M图、Q图及N图记住：整体结构拆成的杆件为三种“单跨超静定梁”：两端固定梁；一端固定、一端简支梁；一端固定、一端滑动梁。二、等截面杆件的刚度方程基础：单跨超静定梁具有支座移动和外荷载作用时的杆端力的计算。需求的数据：形常数和载常数

3、。 已知杆端位移求杆端弯矩形常数； 已知荷载作用时求固端弯矩载常数。(1) 由杆端位移求杆端弯矩(获得刚度方程)4杆端位移与杆端弯矩的符号规定：杆端转角、弦转角和杆端弯矩一律以顺时针为正。liiiMliiiMBABABAABD-+=D-+=642624qqqq注意：弯矩符号规定，只是针对杆端弯矩而言，而不是针对杆间的任一截面的弯矩。当取杆件为隔离体时，把杆端弯矩作为外力，一律以顺时针为正；当取结点为隔离体时，把杆端弯矩作为外力，一律以反时针为正。刚度方程(转角位移方程)： 两端固支，杆端有转角A、B且杆件两端有竖向相对位移时 两端固支，A端有转角A且两端有竖向相对位移时5 A端固支，B端铰支，

4、A端有转角A且杆件两端有竖向相对位移时liiMliiMABAAABD-=D-=6264qqliiMAABD-=33q A端固支，B端为滑动支座，A端有转角A时iMiMABAAAB=-qq(2) 由荷载求固端弯矩此时，仅考虑外荷载作用，可以用力法求出各种单跨超静定梁在不同荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力称为“固端弯矩”和“固端剪力”。6表11-1 等截面杆件的固端弯矩和固端剪力321两端固支固 端 剪 力固端弯矩(以顺时针转向为正)简 图编号203022qlmqlmBAAB+=-=2222lbPamlPabmBAAB+=-=)21(22lblPaQBA+-=)21(22lalPbQAB+=2qlQ

5、BA-=2qlQAB+=122qlmBA+=122qlmAB-=207qlQBA-=203qlQAB+=qABlqABlPABba固端弯矩和固端剪力因只与荷载形式有关，称为载常数。用“mAB、 mBA、QAB、QBA表示固端弯矩和固端剪力。有关结果见表11-1。76一端固定另一端铰支5两端固支74固 端 剪 力固端弯矩(以顺时针转向为正)简 图编号qlmAB82-=qlmAB152-=qlQBA101-=qlQAB52+=qlQBA83-=qlQAB85+=D-=BAhtEImaD=ABhtEIma0=BAQ0=ABQ2PQBA-=2PQAB+=8PlmBA+=8PlmAB-=续表11-1PA

6、Bl/2l/2t1ABt2t = t1-t2qABlqABl8101198一端固定另一端铰支固 端 剪 力固端弯矩(以顺时针转向为正)简 图编号322)3(lalPaQBA-=3222)3(lblPbQAB-+=2222)(lblPbmAB-=PlmAB163-=hltEIQQBAAB23D-=ahtEImAB23D-=aqlmAB12072-=PQBA165-=PQAB1611+=qlQBA4011-=qlQAB409+=续表11-1qABlPABbaPABl/2l/2t1ABt2t = t1-t2915141312一端固定另一端滑动支承固 端 剪 力固端弯矩(以顺时针转向为正)简 图编号0

7、=右BQ+=左BPQ+=ABPQ2-=BAABPlmm0=BAQ0=ABQD-=BAhtEImaD=ABhtEIma22-=BAlPam)2(2-=ABallPam0=BAQ+=ABPQ62-=BAqlm32-=ABqlm0=BAQ+=ABqlQ续表11-1qABlPABbaABlP+t1AB+t2t = t1-t210当等截面杆同时受有荷载和杆端位移时，可用“叠加原理”得出各杆端弯矩和剪力的表达式。三、无侧移刚架的计算无侧移刚架：若刚架的各结点(不包括支座)只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。连续梁的计算属于无侧移刚架问题。计算步骤：(1) 确定基本未知量(2) 计算各杆的固端弯

8、矩，写出各杆端弯矩的表达式(3) 建立位移法基本方程(取结点为隔离体)(4) 求基本未知量(解基本方程)11(5) 计算杆端弯矩(将未知量代入杆端弯矩的表达式)(6) 作弯矩图四、有侧移刚架的计算有侧移刚架：刚架除有结点转角位移外，还有结点线位移(独立的结点线位移)。注意：计算中忽略了轴力对变形的影响。这样减少了结点线位移的个数，使计算得到简化。计算步骤同无侧移刚架，但要注意在第(3)步中除了要取结点为隔离体外还要取与线位移有关的杆件为隔离体。五、位移法的基本体系12求解超静定结构，有两种建立位移法基本方程的方法。 直接杆端弯矩法； 基本体系法(附加约束法)。注意：基本体系是一个比原结构超静定

9、次数更高的超静定结构。位移法的基本未知量：用广义符号“”表示。(1) 基本体系在有未知转角的刚结点处附加“刚臂约束” ，在有未知线位移的结点处附加支杆控制结点的线位移。(2) 基本体系法(附加约束法)的解题过程 选基本体系，确定基本未知量； 建立位移法基本方程；13 作荷载作用下的弯矩图MP，求FiP；Mi 作i=1作用下的弯矩图 ，求kii、kij； 将系数和自由项代入基本方程，求出基本未知量； 作内力图。六、对称结构的计算我们知道，作用在对称结构上的任意荷载，可以分解为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和轴力图是对称的，而剪力图是反对称的。在反对称荷

10、载作用下，变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，而剪力图是对称的。利用这些规则，计算对称连续梁或对称刚架时，我们只需计算这些结构的半边结构就可以。14注意：半边结构的取法(奇数跨、偶数跨)。七、支座位移和温度改变时的计算注意：基本未知量和基本方程及解题步骤与前述完全一样，不同的只是固端力一项(分别由位移和温度改变引起)。1511-5 作如图所示刚架的弯矩图，假设各杆EI相同。 llllPABCDEFEI=常数l/2题11-5图解：(1) 基本未知量有两个：B、C。(2) 杆端弯矩查表求固端弯矩设EI/l=1，则有16求各杆杆端弯矩(3)位移法方程结点B平衡，将上步结果代入得(a)结点C平衡

11、，将上步结果代入得(b)BMBCMBEMBACMCDMCFMCB17(4) 求基本未知量2802802802802801401407014070140PlPl41Pl23Pl11Pl19Pl3Pl3PlPlPlPlM图(6) 根据杆端弯矩画出M图如右图所示。 解(a)(b)两方程得 (5) 求杆端弯矩1811-6 作如图所示刚架的弯矩图，假设各杆EI相同。20m15m15mq =2.4kN/mABCDE题11-6图30.170.240.220.127.254.354.3M图(kNm)12057.7解：(1) 基本未知量有两个：B、C。(2) 杆端弯矩查表求固端弯矩设EI/60=1，则有 19求

12、各杆杆端弯矩(3)位移法方程结点B平衡，将上步结果代入得结点C平衡，将上步结果代入得(a)(b)CMCEMCDMCBBMBCMBA20(4) 求基本未知量解(a)(b)两方程得 (5) 求杆端弯矩(6) 根据杆端弯矩画出M图如前面图所示。11-10 作如图所示刚架的M图。 解：解法一(直接杆端弯矩法) (1) 基本未知量有两个：C、DC = 1。 (2) 杆端弯矩：查表求固端弯矩 21求各杆杆端弯矩4m2m2mABCDi=4i=3i=6P=20kN题11-10图40kN/m34.4920.0914.5814.582080M图(kNm)22(3) 位移法方程CMCDMCAPACQCAMCAMAC

13、QACBDQDBMBDQBD40kN/mQDBQCACD结点C平衡，将上步结果代入得取横梁CD为隔离体(图中杆端轴力及弯矩未画出)，其水平方向投影平衡，得 (a)(b)23为求QCA，取柱AC为隔离体(图中杆端轴力未画出)，得 即：为求QDB，取柱BD为隔离体(图中杆端轴力未画出)，得即：将QCA、QDB的表达式代入(b)式得(c)(4) 求基本未知量解(a)(c)两方程得 (5) 求杆端弯矩(6) 根据杆端弯矩画出M图如前面图所示。244m2m2mABCDi=4i=3i=6P=20kN基本体系40kN/m21F2PF1P1080101080MP图k21k1181816k22k12669/42

14、5解法二(基本体系法)(1) 基本未知量有两个：C = 1、DC = 2。基本方程为：求各杆的固端弯矩，作出MP图。(2) 基本体系在荷载单独作用下的计算。(3) 基本体系在单位转角1=1单独作用下的计算。当结点C产生转角1=1时，计算各杆的杆端弯矩，作出 图。 取结点C为隔离体，求F1P =-35kNm。取横梁CD为隔离体，求F2P =160kN。26取结点C为隔离体，求k11 =34kNm。取横梁CD为隔离体，求k21 =-6kN。C1816k110-6CDk21(4)基本体系在水平位移2=1单独作用下的计算。当横梁CD产生水平位移2=1时，计算各杆端弯矩，作 图。取结点C为隔离体，求k1

15、2 =-6kNm。取横梁CD为隔离体，求k22 =57/16kN。 27C0-6k129/163CDk22(5) 将以上三步得出的系数及自由项代入基本方程得：(6) 求杆端弯矩可以得出：由公式(7) 根据杆端弯矩画出M图(略)。2811-11 作如图所示刚架的内力图。12m6mABCDi=1i=1i=1q=1kN/m题11-11图12m6mABCDi=1i=1i=1123基本体系Mp图F1PF2PF3Pk11k21k31244229k12k22k322244k13k23k331111解：基本体系法(1) 基本未知量有三个：C = 1、D = 2、DC = 3。 基本方程为：(2) 基本体系在荷

16、载单独作用下的计算。求各杆的固端弯矩，作出MP图。 30取结点C为隔离体，求F1P =3kNm。取结点D为隔离体，求F2P =0kNm。 取横梁CD为隔离体，求F3P =-3kN。C03F1PD00F2P0-3CDF3P(3)基本体系在单位转角1=1单独作用下的计算。当结点C产生转角1=1时，计算各杆的杆端弯矩，作出 图。 31取结点C为隔离体，求k11 =8kNm。取结点D为隔离体，求k21 =2kNm。 取横梁CD为隔离体，求k31 =-1kN。 C44k11D20K210-1CDk31(4) 基本体系在单位转角2=1单独作用下的计算。 当结点D产生转角2=1时，计算各杆的杆端弯矩，作出

17、图。 取结点C为隔离体，求k12 =2kNm。 C20k12D44K22-10CDk3232取结点D为隔离体，求k22 =8kNm。取横梁CD为隔离体，求k32 =-1kN。(5) 基本体系在水平位移3=1单独作用下的计算。 当横梁CD产生水平位移3=1时，计算各杆端弯矩，作 图。 取结点C为隔离体，求k13 =-1kNm。取结点D为隔离体，求k23 =-1kNm。 取横梁CD为隔离体，求k33 =2/3kN。(6) 将以上三步得出的系数及自由项代入基本方程得： C0-1k13D0-1K231/31/3CDk3333(7) 求杆端弯矩可以得出：由公式M图(kNm)2.072.078.434.4

18、33.073.07(8) 根据杆端弯矩画出M图。34(9) 以每杆为隔离体，利用平衡方程求杆端剪力，画出Q图。取柱AC为隔离体：取柱BD为隔离体：取横梁CD为隔离体：按杆端剪力作Q图。(10) 以结点为隔离体，利用平衡方程求各杆轴力，画N图。 35ACqMCAMACQCAQACBDMDBQDBQBDMBDCDMCDMDCQCDQDCQ图(kN)1.250.431.254.75DQDBQDCNDCNDBCQCAQCDNCDNCA0.431.250.43N图(kN)3611-13 利用对称，作如图所示刚架的M图。10m12mBDA50kNC题11-13图EIl=常数25kN25kN(a)25kN25kN(b)=+解：(1) 原图可分解为(a)图和(b)图。其中(b)图局部平衡不产生弯矩，可以不考虑。(a)图为对称结构上作用有反对称荷载的情况，可以取半边结构进行计算。 (2) 基本未知量有两个：C = 1、EC = 2。 (3) 求各杆端弯矩3725kNCEA基本体系i2iCAQCAMCAMACQAC(4) 位移法方程结点C： 将上步结果代入得横梁CE，其水平方向投影平衡，得 为求QCA，取柱AC为隔离体，得(a)(b)，故有：将QCA的表达式代入(b)式得(c)CMCEMCACE25QCA38(5) 求基本未知量解