江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题(解析版)

1、江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020. 5第I卷(必做题，共160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上.).已知集合止x x2 2x 0 , N= x| 1 x 1 ,则M与N的并集MU Nl=.设复数z a i(a0),若Zz 2,则正实数a的值为.某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有 12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为 6000人、5000人、1000人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取 60人，则抽取不喜爱的人数为 .1While1 0, b0)的离心率为2,则

2、其两条渐近线所成a b的锐角为uuurNC，记三棱锥Auuruuuruuu.设三棱锥P ABC的体积为V,点M, N分别满足PM 2MB , PNBMN勺体积为V2,则=.Vi8.在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若snAb, a 2c ,则cosA9.已知数列 ansin B a cbn满足bn log2an,且数列bn是等差数列，若bs 2, b109,则数列 an的前n项和Sn =.若函数f (x) sin(2x )关于直线x 对称，则的最小正值为 .4.若存在实数x (0,4),使不等式x3 2ax 16 0成立，则实数a的取值范围是 uuur 1 uuur 2 uu

3、urAC.在锐角 ABC中，已知AH是BC边上的高，且满足 AH -AB * AC ,则AC的取值33AB范围是.2x _13.设函数f(x) x 2ax b 2 ,右函数yf (x)与函数y f (f (x)都有零点，且它们的零点完全相同，则实数 a的取值范围是214.右圆 Ci： (x m)2 一 ，一.22 一 .、.y 16与圆。：(x n) y 16相交，点P为其在x轴下万的交点，且mn= -8,则点P到直线x+ y-1=0距离的最大值为 二、解答题(本大题共 6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)1r.x

4、 xr xxurr 3右 m = ( sin -，cos-), n = ( cos-, 阴 cos-)，设 f (x) m n 一 .22222(1)求函数f (x)在0 ,兀上的单调减区间；(2)在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若f (A) f (B) , a 2b ,求sinB的值.(本小题满分14分)如图，在三棱柱 ABC-ABC中，AA=AG AB AC,设。为AC与A1C的交点，点 P为 BC的中点.求证：(1) OP/平面 ABBA1；(2)平面 ACCL平面 OCP.（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个

5、与正方形1两邻边相切的圆的 1圆弧（如图2）.现已知正方形的边长是 1米，设该底座的面积为 S平4方米，周长为l米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r米.设计的理想要求是面积SS尽可能大，周长l尽可能小，但显然S、l都是关于r的减函数，于是设f （r） 3 ,当f （r）l的值越大，满意度就越高.试问 r为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时 兀以3代入运算）.(本小题满分16分)2如图，A B为椭圆C: y2 1短轴的上、下顶点，P为直线l： y = 2上一动点，连接 aPA并延长交椭圆于点M,连接PB交椭圆于点N,已知直线 MA MBW斜率之积恒为(1)求椭圆C的标准方程；(2)

6、若直线MN x轴平行，求直线 MNB勺方程；(3)求四边形AMBNT积的最大值，并求对应的点P的坐标.(本小题满分16分)已知数列an满足|an 1 aj 2n 1 .(1)若数列 an的首项为a1，其中0阚 3 ,且a1，a2, a3构成公比小于 0的等比数列，求a1的值；(2)若an是公差为d(d0)的等差数列 bn的前n项和，求a1的值；(3)若a1 1 , a22 ,且数列 a2n 1单调递增，数列 a2n单调递减，求数列 为的通项公式.(本小题满分16分)设函数f(x) (2, g(x) -ln-x ,其中(x)恒不为0. e(x)(1)设(x) x2,求函数f(x)在x=1处的切线

7、方程；(2)若凡是函数f (x)与g(x)的公共极值点，求证：x0存在且唯一；(3)设(x) ax b ,是否存在实数a, b,使得f (x) g (x) 0在(0,)上恒成立？若存在，请求出实数 a, b满足的条件；若不存在，请说明理由.第II卷(附加题，共40分)21 .【选做题】本题包括 A, B, C三小题，请选定其中两题作答，每小题 10分共计20分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A.选修4-2:矩阵与变换直线l经矩阵 心cos sin (其中 (0,)作用变换后得到直线l ： y = sin cos2x,若直线l与l，垂直，求 的值.B.选修4 4:坐标系与参数方程2

8、(t为参数).以坐标原1t2x已知在直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为y点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22 ,求直线l被曲线C截得的弦长.C.选修4 5:不等式选讲4 一，一,111,右正数 a, b, c满足 2a 4b c 3,求 的取小值.a 1 b 2 c 3【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤.22.(本小题满分10分)已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格

9、，现有 A, B, C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A, B, C三位学生材料初审合格的I率分别是 1 ,1，1 ;面试合格的概率分别是 -,1,2.324233(1)求A, B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；(2)记随机变量X为A, B, C三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求 X的 概率分布与数学期望.23 （本小题满分10 分）设集合Tn = 1 , 2, 3,，n（其中nR3, n N ）,将Tn的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为Sn （ 1）求S3 ， S4 ， S5 的值；（ 2）试求Sn 的表达式江苏省盐城市2020届高三年级第三

10、次模拟考试数学试题解析第I卷(必做题，共160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上.)1.已知集合 M= x x2 2x 0 , Nl= X 1 X 1 ,则 M与 N 的并集 MU Nl=.答案:(T, 2) 考点：集合并集运算解析：.集合 M= x X2 2x 0 , M= (0 , 2),又. Nl= x 1 x 1 , . . MU N= (1,2).设复数z a i (a0)，若Zz 2 ,则正实数a的值为. 答案：1考点：复数 解析：: z a i ,zz (a i)(a i) a2 1 2,又. a 0, -a= 1.某电视台

11、对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为 6000人、5000人、1000人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取 60人，则抽取不喜爱的人数为 .答案：5考点：分层抽样解析：-60 1000 5. 12000.某校志愿者小组有 2名男生和1名女生，现从中任选 2人参加活动，则女生入选的概率 是.答案：2 3考点：随机事件的概率解析：3人中任选两人有三种情况，其中女生入选的情况有2种，故女生入选的概率是 -.3. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为. TOC o 1-5 h z 口：While I 6,输出

12、S的值为13.1(a0, b0)的离心率为2,则其两条渐近线所成的锐角为答案：一3考点：双曲线的简单性质222.解析： c 2 ,2 4 ,故 Jb 4 , b HYPERLINK l bookmark40 o Current Document aaaa两条渐近线方程为：yJ3x ,两条渐近线所成的锐角为 一.3umruur uuu7.设三棱锥P ABC的体积为V,点M, N分别满足PM 2MB , PNuuurNC，记三棱锥ABMN勺体积为V2,则匕Vi-1答案：16考点：三棱锥的体积1解析：首先得 Sabm -Sapbc,且点A到平面BMNW点A到平面PBC的距离相等,6故V2JV168.

13、在 ABC中，角A, B,C所对的边分别为a, b, c,若snAsin B考点：正余弦定理解析： sn sin B-b,把a 2c代入得，b a ccosA22b c2bc6c2 c2 4c2662.6cc 4.已知数列 an、bn满足bnlOgzHn,且数列 0是等差数列，若bs2 , 6。9,则数列 an的前n项和Sn = 答案：2n 1考点：等差数列的通项公式，等比数列的前n项和解析：: bn是等差数列，且 bs 2,匕。9 ,，bn n 1,an2n 1,故 an 是的前 n 项和 Sn2-12n 1 .2 1.若函数f(x) sin(2x )关于直线x 对称，则的最小正值为4答案：

14、一2考点：三角函数的对称性Z,Z,所以的最小正值为-解析：由题意得，2 4k则 一J k2211.若存在实数x (0,4),使不等式x32ax 16 0成立，则实数a的取值范围是答案：(6,)考点：函数与不等式(存在性问题)解析:x (0,4),是不等式x32ax 16 0 成立,22a (x162(x3 8)2，x)min， x人216令 f (x) x ，则 f (x) x当 x (0,2), f (x) 0, f(x)单调递减,当 x (2,4), f (x) 0, f(x)单调递增,故 f(x)minf(2) 12 , 2a 12 ,故 a 6.12.在锐角 ABC中，已知 AH是BC

15、边上的高，且满足uuu AH1 uuir 2 uuirac-AB 二 AC,则AC的取值33AB范围是1解析：由题意知 AHL BC,且CH= - BC； 3a._ CH q在 RUACH中，cosC -3AC b2, 22a.a b c一,在 ABC中，COSC ,3b2ab222所以ab土 亘 化简得a22ab3b22b3c2 3b2 0 ,得 b 1 , cABC是锐角三角形，b2 C2222b2a 3c 3b ,得, c 2b 1 ,即处的取值范围是(W2 , 1) . 2 c AB2斛析：设以(？ = &,结合条件初=L罚+2而，ftlYjz CH 八EH = 2. 33:;Il =

16、1,心”。小9n Q- : - 一 1一 e函G + 3+乌2x13.设函数f(x) x 2ax b 2 ,若函数y f(x)与函数y f(f(x)都有零点，且它们的零点完全相同，则实数 a的取值范围是 .答案:(-2, 0考点：函数与方程解析：假设x0既是y f(x)的零点，也是y f(f(x)的零点，2则 f(xo) 0, f(f(xo) 0,即 f(0) 0,则 b=0, f (x) x 2ax,令 f (x) 0 ,解得 x1 0, x2 2a , f(f(x) 0,解得 f(x) 0或 f(x) 2a,当a=0时，符合题意；当aw0时，方程f (x) 2a无解，即方程x2 2ax 2

17、a 0无解,4a2 4( 2a) 0,解得 2 a 0,综上所述，-2vawo.14.若圆 G： (x m)2222y 16与圆C2： (x n) y 16相交，点P为其在x轴下万的交点，且mn= -8,则点P到直线x+ y-1=0距离的最大值为 答案：5-2 考点：直线与圆综合解析：由题意可知xD p代入圆。得yp p(m n)2 4mn4(m n)2 4 ( 8) o zm n、2. mn= -8, ypV16 A18 (),22_所以点P在圆x y 8上，其中y 0,求得圆心O到直线2x + y - 1 = 0的距离是,故点P到直线x+ y-1=0的距离的最大值是 2J2 典22二、解答

18、题(本大题共 6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)Lrx x若 m = ( sin -，cos-)n = ( cos,2 x1rJ3cos)，设 f (x) m 2r .3 n 2(1)求函数f (x)在0 ,兀上的单调减区间;(2)在 ABC中，角A,B, C所对的边分别为a, b, c,若 f(A)求sinB的值.解：(1) 1 m = ( sin 2cos-) ,n =(2cosx ,2irf (x) m n.x 八 sin - cos-2 x cos 一21- -sin x231 cosx 322一 si

19、n x230sx2 TOC o 1-5 h z sin xcos cosxsin 33sin(x ),3,由一2k x -2k , k Z,232解得一2k x 2k , k Z, HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 66又, , x 0,兀,解得x ,函数f(x)在0 ,兀的单调减区间为 兀,(2)由(1)知 f (x) sin(x ),其对称轴为 x k , k Z, 36当x 0 ,兀,对称轴方程为 x , 6 f (A)f (B) , a 2b ,即 A B,A B, sin A 2sin B , . sin( B) 2sin B33si

20、n - cosB cos -sin B332sin B ,cosB2sin B 22sin B ,5. 22 .即 cos B sin B，: sin B cos B 1 ,且 B 为锐角,sin B 0解得sin B-2i14.(本小题满分14分)如图，在三棱柱 ABC-ABC中，AA=AG AB AG,设。为AG与A1C的交点, BC的中点.求证：OP/平面 ABBA;(2)平面 ACGL平面 OCP解：（1）二在三棱柱中，平面 ACCAi是平行四边形，.O为AiC的中点，又.P为BC的中点，.OP/ AiB,. AiB 平面 ABBA, OP 平面 ABBAi,.OP/平面 ABBAi,

21、（2）二平面 ACCAi是平行四边形，且 AA = AC,平面ACCA,是菱形，.ACAiC,即 ACLOC. AiB AC,且 OP/ AiB,ACXOF 又 AC LOG OPI OC= O, AC，平面 OCP ,AC 平面 ACC,平面 ACC，平面 OCP.（本小题满分i4分）如图i是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形i 一两邻边相切的圆的 圆弧（如图2）.现已知正方形的边长是i米，设该底座的面积为 S平4方米，周长为l米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r米.设计的理想要求是面积SS尽可能大，周长l尽可能小，但显然S、l都是关于r的减函数，于是设

22、f （r） 3 ,当f （r）的值越大，满意度就越高.试问r为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时兀以3代入运算）4 2ri （r2（第 17J# 图 1）（ft 17题图普所以f(r)21 -44 -24 r216 2rr (0,1,f (r)16r 422(r 8)，令 f (r) 0,解得 r 8 2J5(0,1r(0, 8 2邪)8 275(8 2,/5, 1)f (r)十0一f(r)递增极大值递减故r 8 2追时，f(r)取得最大值.答：当r 8 2、5时，该淋浴房底座的满意度最高.18.(本小题满分16分)2如图，A、B为椭圆C:占 y2 1短轴的上、下顶点，P为直线l： y

23、= 2上一动点, a1连接PA并延长交椭圆于点 M连接PB交椭圆于点N,已知直线MA MBW斜率之积恒为一2求椭圆C的标准方程；若直线MM0)的等差数列bn的前n项和，求a1的值;(3)若 a11, a22 , J1数列 a2n 1单调递增，数列a2 n单调递减，求数列an(3)由题意知：a1 1 a3 a5 La2n 1L , a2a2nL故 n 2k 1 时，an 1 ananan 1a2k 1a2 k4k 1n 2k 时，an 1ana2k 1a2k4k 1的通项公式. TOC o 1-5 h z a2 ai39解：(1)由题息知：a3 a2 5a1 -； HYPERLINK l boo

24、kmark101 o Current Document 28a2 的3(2)由题意知：b1 a1 , bn a1 (n l)dan 1anbn 1& dn 2n 1对任意n N均成立，其中d0,d a 32d a15a1 13d a17d 2此时，an 1anbn 1a1 dn 2n 1对任意n N均成立，故a1 1；则：a2k 1a2k 12 ,故 a2k 1a1) a3) L(a2k 1a2k 3) 2k 1an 1即n为奇数时，an n,又n为奇数时，an an 1 2n 1即n为偶数时，ann综上，an ( 1)n 1 n.20.(本小题满分16分)设函数f(x) 一尊，g(x) -l

25、n-x-,其中 (x)恒不为0. e(x)(1)设(x) x2,求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)若凡是函数f (x)与g(x)的公共极值点，求证：x0存在且唯一;(3)设(x) ax b ,是否存在实数a, b,使得f (x) g (x) 0在(0,)上恒成立？若存在，请求出实数 a, b满足的条件；若不存在，请说明理由.解：(1) f(x)2 X r，f e1f (x) e-22x xx ， e1 f (1)e故在x= 1处的切线方程为：x ey 0；(2) f (x)(x)(x)x，eg (x)(x) x(x)ln x2(x)由题意知f (xo) 0 g (xo) ox01nx0

26、1 0 ：令 h(x)xln x 1, x0, h (x)In x 111x (0, e )时，h(x) 0； x (e ,)时，h(x) 0故h(x)在(0,e1)递减，(e 1,)递增又x (0,1)时，h(x) 1,故h(x)在(0, 1)上无零点h(1)1 0, h(e) e 1 0,故 h(1)g(e) 0又h(x)在1,)递增，因此，h(x)在(1 , e)上存在唯一零点x0存在且唯一;(3)由题意知：(x) ax b在(0,)上无零点，. 一一-b 11当 a=0 时，则 bw0, f (x)g (x) 0 ,符合题意;e bx xe一b 1又 f(1)g(1)0 ,则 b(a+

27、 b) 0,故 bw。e a b当aw0时，要使 (x) ax b在(0,)上无零点，显然 ab 0f (x)g (x)a ax bxeb a - x(axaln x0 在(0,)上恒成立b即(ax b a)(aln x 一 a) 0在(0,)上恒成立 x令 F(x) ax b a, x (0,), G(x) a In x b a , x (0,)xa,b 0 时，x max0,1 b时，F(x) 0 amaxb,e a时，aln x a 1,因此，x max1 Bbe1：时, aF(x)G(x) 0F(x) 0与题意不符，舍去；a,b 0 时，x max0,1 b时,ax max1b,e a

28、时,aln x ab 1,故 G(x) 0 x因此，xb max1 ai 1b,e a时,F(x)G(x) 0与题意不符，舍去;综上，存在a= 0, bw0符合题意.第II卷（附加题,共40分）21 .【选做题】本题包括 A, B, C三小题，请选定其中两题作答, 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A.选修4-2:矩阵与变换每小题 10分共计20分,cos直线l经矩阵Mf=sinsin（其中（0,）作用变换后得到直线l ： y =cos2x,若直线l与l 垂直，求的值.解：在l上任取一点P（x , y）,设P经矩阵M变换后得到点P （x , y）sin ffAn修cos/?l：HCOS

29、sinfl-yxcosxsinysin又ycosP在直线l ： y = 2x上,即 y =2x贝U xsinycos2xcos2ysin即直线l :(sin2cos )x(2sincos )y因为l与l，心,故 sin2cos _1一 cos又 （0,),故2sincos2已知在直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为32（t为参数）.以坐标原2B.选修4 4:坐标系与参数方程点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 c的极坐标方程为J2 ,求直线1被曲线c截得的弦长. TOC o 1-5 h z 解：直线1的直角坐标方程为：x J3y10,曲线C的直角坐标方程为：x2 y2 2,圆

30、心为C(0, 0),半径r = J2 , HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 11圆心C到直线1的距离d1-12(.3)22所以直线1被曲线C截得的弦长为2/(局 (1)2 J7.C.选修4 5:不等式选讲I111右正数 a, b, c满足2a 4b c 3,求 的取小值.a 1 b 2 c 3解：因为正数a, b, c满足2a 4b c3,所以 2(a 1) 4(b 2) (c 3) 16,所以当且仅当a24、2 237116( 222 1)211 6、21627 160711 6 2时,取最小值16【必做题】第22题、第23题，每题10分，共

31、计20分，解答时应写出文字说明，证明过程11G2(a 1)4(b 2) (c 3) (an或演算步骤.22.(本小题满分10分)已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有 A, B, C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A, B, C三位学生材料初审合格的I率分别是 1 ,11 ;面试合格的概率分别是 -,1 , 2 . TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 324233(1)求A, B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；(2)记随机变量X为A, B, C三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X的概率分布与数学期望.解：(1)记“A, B两位考生有且只有