江苏省高等数学竞赛试题汇总1

1、2010年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)一填空题(每题4分，共32分). sin x sin(sinx). limx 0 sin xln(x .1 x2)/y -2， y xy cos2 x, y(n)(x) x x .-2-e dx x TOC o 1-5 h z .2 ：一4 dx 2 1 x- 2x 2y z 2 0, t.圆 222的面积为x y z 4x 2y 2z 19. z f(2x y,1), f 可微，1(3,2) 2/2/(3,2) 3,则 dz (2,i).级数 1 (Un!的和为. n 12 n!.(10分). bb设f(x)在a,b上连续，且b f (x)dx x

2、f(x)dx ,求证：存在点 a,b ,使 aa得 f(x)dx 0. a.(10分)已知正方体ABCD A1B1C1D1的边长为2, E为DiCi的中点，F为侧面正方形BCGB的中点，(1)试求过点Ai,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。(2)试求过点A,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积.四(12分)已知ABCD是等腰梯形，BC/AD, AB BC CD 8,求AB,BC,AD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。五(12 分)求二重积分coS2 x sin2 y dxdy,其中 D : x2 y2 1,x 0, y 0六、（12分）求x 2y ex dx x 1

3、y dy ,其中为曲线 2 xx20 x 12y2 2x 1 x 2从 O 0,0 到 A 1, 1七.（12分）已知数列 为单调增加，a1 1,a220 5,L a 1 3a0% 11n 2,3,L ，记xn ,判别级数xn的敛散性.ann 12010年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一填空题(每题4分，共32分)/ , sinx sin(sinx)lim x 0 sin x2 x ,/y arctan x e tanx , y 设由xy yx确定y y x ,则包 dx/2(n).y cos x, y (x) 5.x .e dx . z f(2x y,-), f 可微，(3,2) 2,f

4、2/(3,2) 3,则 dz (2,1) y设 f u,v 可微，由 F x z2,y z20确定 z z x, y ,则-z x y.设 D : x2 y2 2x, y 0 ,贝U 辰y7dxdy D.(10分)设a为正常数，使得x2 eax对一切正数x成立，求常数a的最小值11.(10分)设f x在0,1上连续，且0f(x)dx 0 xf(x)dx,求证：存在点0,1 ,使得 0 f(x)dx 0. 1.(12分)求广义积分 4 dx2 1 x4五.（12分）过原点0,0作曲线ylnx的切线，求该切线、曲线y lnx与x轴所围成的图形绕X轴旋转一周所得的旋转体的体积 六、（12 分）已知

5、ABCD 是等腰梯形，BC/AD, AB BC CD 8,求 AB,BC,AD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。七（12 分）求二重积分coJ x sin2 y dxdy,其中 D : x2 y2 1,x 0, y 0D2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）一.填空题（每题5分，共40分）7 ax+ 2|xp1. a =, b =时，lim: arctanx=x bx- x22. a =x时 f(x)=ln(1- ax)+在 x? 0时1+ bx关于x的无穷小的阶数最高p. 2 sin2x cos4 xdx = .通过点（1,1,- 1）与直线x=t,y= 2,z= 2+t

6、的平面方程为2x?nz5.设z 二一贝” z2 ,人c n (2,1)y ?y.设 口为丫 = x,x= 0, y = 1 围成区域，贝U 蝌 arctanydxdy=D.设G为 x2+ y2 = 2x(y? 0)上从 O(0,0)到 A(2,0)的一段弧，则xxq（ye + x）dx+ （e - xy）dy =.幕级数？ nxn的和函数为,收敛域为。 n= 1二.（8 分）设数歹I%为 X =向,x2 = J3- T3,L ,xn+2 = /3- 53+ 4 （n = 1,2,L ）证明：数列2收敛，并求其极限（8分）设f（x）在a,b上具有连续的导数，求证max f (x) ? a #x

7、b1 b- ab蝌 f (x)dxbf /(x) dx a四.(8 分)1)证明曲面 S : x = (b + a cosq)cosj , y = asinq, z = (b+ acosq)sin j(0#q 2P,0 #j 2P)(0 a b)为旋转曲面 2)求旋转曲面S所围成立体的体积五.(10分)函数u(x,y)具有连续的二阶偏导数，算子 A定义为A(u) = x1)求A(u- A(u) ； 2)利用结论1)以乂= Y,h= x- y为新的自变量改变方程 xx2 ?+2xyC+y拣x肉2 22?4= 0的形式 y、人 1k.(8%)求t?m+vtxsin(xy)2 dy七.(9分)设S

8、: x2 + y2 + z2 = 1(z ? 0)的外侧，连续函数f(x,y)= 2(x-y)2 + 蝌x(z2 + ez)dydz+ y(z2 + ez)dzdx+ (zf(x,y)- 2ez)dxdyS求 f(x,y)八.(9分)求f (x) =x2(x- 3) 的关于x的幕级数展开式(x- 1)3(1- 3x)2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科一、二级)1.填空(每题5分，共40分).x1.f x a , lim ln f 1 f 2 L f n2.3.x 1tx lim f e x 0 0 x51 arctan x , 2dx02 21 x1 dt4.已知点A 4,0,0 ,B(0

9、, 2,0),C(0,0,2) , O为坐标原点，则四面体 OABC的内接球面方程为. 设由 x zey z确定 z z(x, y), 则 dz e,0 .函数 f x,y e x ax b y2 中常数 a,b满足条件 时，f 1,0为其极大值.设 是y asinx（a 0）上从点0,0至ij ,0的一段曲线，a 时，曲 2线积分 x y dx 2xy ey dy取取大值.级数1 n 1 彳 而 条件收敛时，常数p的取值范围是n 1np.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度 的变化率的最小

10、值不大于 200公里/小时3.（10分）曲线 的极坐标方程为1 cos 0,求该曲线在所对应的点的切线L的直角坐标方程，并求切线L与x轴围成图形的面积.四（8分）设f（x）在 ，上是导数连续的有界函数，f x f x 1 ,求证：f x 1.x,五（12分）本科一级考生做：设锥面z2 3x2 3y2（z 0）被平面x 如z 4 0截 下的有限部分为.（1）求曲面 的面积；（2）用薄铁片制作的模型，A（2,0, 2向），B（ 1,0, J3）为 上的两点，O为原点，将 沿线段OB剪开并展成平 面图形D ,以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出 D的边界的极坐标方 程.本科二级考生做：设圆柱面

11、x2 y2 1（z 0）被柱面z x2 2x 2截下的有限部 分为.为计算曲面 的面积，用薄铁片制作 的模型，A（1,0,5）, B（ 1,0,1）,C 1,0,0为 上的三点，将 沿线段BC剪开并展成平面图形D,建立平面在极坐标系，使 D位于x轴正上方，点A坐标为0,5，写出D的 边界的方程，并求D的面积.x2 2z六（10分）曲线2z绕z轴旋转一周生成的曲面与z 1,z 2所围成的立体区域记为1本科一级考生做22 dxdydzx y z本科二级考生做x2 y2 z2 dxdydz七（10分）本科一级考生做1）设幕级数an2xn的收敛域为1,1 ,求证幕级n 1数 anxn的收敛域也为 1,

12、1 ; 2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给 n 1 n出证明；若不正确举一反例说明.本科二级考生做：求幕级数 ：x 1 2n的收敛域与和函数n 1 2n2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）.填空（每题5分，共40分） TOC o 1-5 h z ，221.lim 2 L nlim 3 .23 c2L 32n n 1 n 2 n nx 1t2lim 3 e 1 dtx 0 0 x3lim 4x2 3x 2 ax b 0,贝Ua,b x42 sin x.f x 1 x x e , f 0 . 设由 x zey z确定 z z(x, y), 则 dz e,0 .函数f x,

13、y e x ax b y2中常数a,b满足条件 时，f 1,0为其极大值.2ex e7.交换二次积分的次序dx 1 f x, y dy . x218.设 D: 2x x y ,0 y x 2 ,dxdy d x2 y2ax2 bsin x c x 0一.(8分)设f x,试问a,b,c为何值时，f x在x 0ln 1 x x 0处一阶导数连续，但二阶导数不存在（9分）过点1,5作曲线：y x3的切线L , （1）求L的方程；（2）求 与L 所围成平面图形D的面积；（3）求图形D的x 0部分绕x轴旋转一周所得立体四（8分）设f（x）在的体积.上是导数连续的函数，f 00, f x f x 1,求

14、证：f x ex 1.x 0,五（8分）求1 arctanxdx TOC o 1-5 h z x y 322六（9分）本科三级做：设f x, yytan x y x, y0,0 x y0 x, y0,0证明f x, y在点0,0处可微，并求df x,y 0,02x 2截下的有限部分为民办本科做：设圆柱面x lim sin x y2 1（z 0）被柱面z x2为计算曲面的面积，用薄铁片制作 的模型，A（1,0,5）, B（ 1,0,1）,C 1,0,0为上的三点，将 沿线段BC剪开并展成平面图形D ,建立平面在极坐标系，使D 位于x轴正上方，点A坐标为0,5 ,写出D的边界的方程，并求D的面积.

15、七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数f x,y x2 V2xy 2y2在 区域x2 2y2 4上的最大值与最小值.八（9分）设D为y x,x , y 0所围成的平面图形，求 cos x y dxdy.2D2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题5分，共40分）f x是周期为 的奇函数，且在x 0处有定义，当x 0,一 时，2f x sinx cosx 2,求当x , 时，f x 的表达式. 22tan2x3. limnnn2 1nn2 4f x x In 1 x , n 2 时 f n 0 ex 1 x2dxxx e6.7.设 f x,y 可微，f 1,22, f

16、x 1,23, fy 1,24, x f x, f x,2x ,则 18.设 f x g xx 0 x 10 其他f y f x y dxdy .D.（10分）设f x在a,b上连续，f x在a,b内可导，f（a） a, TOC o 1-5 h z b1f x dx - b a ，求证： a,b内至少存在一点 使得f f1a2.（10分）设D : y2 x2 4, y x,2 x y 4 ,在D的边界y x上任取点P,设P到原点距离为t ,作PQ垂直于y x ,交D的边界y2 x2 4于Q 1）试将P,Q的距离PQ表示为t的函数;2）求D饶y x旋转一周的旋转体的体积四（10分）已知点P（1,

17、0,- 1）,Q（3,1,2）,在平面x- 2y+z=12上求一点M ,使PM + MQ最小五（10分）求幕级数 1xn的收敛域n 1 n 3n2 n六（10 分）设 f x,y 可微，f 1,22,fx 1,22, fy 1,2 3,f f x,2x ,2f x,2x ,求 1-2c2七（10分）求二次积分0 d1 e d22004年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题5分，共40分）f x是周期为的奇函数，且在x 0处有定义，当x 0,- 时,2f x sinx cosx 2,求当x , 时，f x的表达式.2x 0时，x sinx cosx与cxk为等价无穷小，则c ,2ta

18、n xlim sin x4. limnnn2 1nn2 46.7.8.设 f x g x其他5. f xx2 ln 1 x , n 2 时 f n 0 ex 1 x 2dxxx ex .z arctan , dz 1 1 yf y f x y dxdy .D二.（10分）设f x在a,b上连续，f x在a,b内可导，f （a） a,b1f x dx - b a ,求证： a,b内至少存在一点 使得f f 1a2（10分）设D : y2 x2 4, y x,2 x y 4 ,在D的边界y x上任取点P,设P到原点距离为t ,作PQ垂直于y x ,交D的边界y2 x2 4于Q 1）试将P,Q的距离

19、PQ表示为t的函数;2）求D饶y x旋转一周的旋转体的体积四（10分）设f x在 ,上有定义，f x在x 0处连续，且对一切实数x,x2有f Xi X2f xif x2 ,求证：f x在 , 上处处连续。1五（10分）上k为常数，万程kx1 0在0,恰有一个根，求k的取值范x围。六（10分）已知点P（1,0,- 1）,Q（3,1,2）,在平面x- 2y+z=12上求一点M ,使PM + MQ最小七（10分）求幕级数一222一xn的收敛域n 1 n 3n 2n2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）.填空（每题5分，共40分）x/x. e e1. limkc c 0 ,贝U kx 0 xk2

20、.设f x在1,A.若 lim f x xB.若 lim f x xC.若 lim f x x3.设由e y x y上可导，下列结论成立的是0 ,则f x在1,0 ,则f x在1,1,则f x在1,x 1 x确定y上有界上无界上无界y（x）,则 y 04. arcsinx arccosx dx 22.曲线Z x2 y ,在点1,1,2的切线的参数方程为x y 2y.设z f ygex,siny , f有二阶连续导数，g有二阶连续偏导数，x 则/ x y13 x7.交换二次积分的次序 0 dx x2 f x, y dy .8.幕级数1 2 L 1 xn的收敛域n 12 n（8分）设f x在0,上

21、连续，单调减少，0 a b,ba求证 a f (x)dx b f (x)dx.（8分）设f x在a, b上连续,bf(x)dxab,f (x)exdx 0 ,求证：f x 在aa,b内至少存在两个零点.四.（8分）求直线x_y 三绕y轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面 211与 y 0, y2所包围的立体的体积.五.（9分）设k为常数，试判断级数n1k kn 2 n in n2的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散?六.（9分）设f x, yyarctan-j=22x, y0,0讨论f x, y在点0,0处x, y0,0连续性，可偏导性？可微性.七.（9分）设f u在u 0可导，f0

22、,z22tz,八.（9分）设曲线AB的极坐标方程为cos一,一质点P在力2irF作用下7&曲线AB从A 0, 1运动到B0,1的大小等于P到定点M 3,4ur的距离，其方向垂直于线段MP ,且与y轴正向的夹角为锐角，求力F对质点P做得功.2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题5分，共40分）1. lim2.设f x在1, 上可导,， c _卜列结论成立的是A.若 lim f x 0 ,则 f XB.若 lim f x 0 ,则 f xC.若 lim f x 1,则 f x3.设由 e y x y x 1x在1,上有界x在1,上无界x在1,上无界x确定yy（x）,则y 04.

23、 arcsinx arccosx dx6.设z f y gex,siny , f有二阶连续导数，g有二阶连续偏导数, x2则x y3 x. 交换二次积分的次序 odx x2 f x, y dy .函数f x,y 2x y 1满足方程x2 y25的条件的极大值为 极小值为.（8分）设f x在0,上连续，单调减少，0 a b,、 ba求证 a f （x）dx b f （x）dx.（8分）设f x kx sin x , 1）若k 1 ,求证f x在 ，上恰有一个零点；2）若k 0,且f x在 ，上恰有一个零点，求常数k的取值范围.（8 分）求 ex1 sinxdx 01 cos x五.（9分）设f

24、x, y1 yarctan22x, yx, y0,0讨论f x, y在点0,00,0连续性，可偏导性？可微性六.（8 分）设 z f x,y , xy , f的二阶偏导数连续，可导， y求全导数d2zdx2七.（9分）设f u在u 0可导，f 0_ _22_一0,D : x y 2tx,y 0 ,求 lim J fx2 y2 ydxdyt 0 t-D八.（9 分）求 sin x y dxdy, D ： x 0, y 0, x yD2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）.填空（每题3分，共15分）.1.设 f xxx|x|，贝U f f x x2.x x limx lim ln x x 1

25、.已知色f x2。，则f x dxx14.-4dx x5 15.设z z x,y由方程F -y,-0确定（F为任意可微函数）x x贝 U x -z y x y二选择题（每题3分，共15分）1 TOC o 1-5 h z ,一、，2x 1, 一.对于函数y -1，点x 0是（）2x 1A.连续点；B.第一类间断点；C.第二类间断点；D可去间断点、，2.已知函数y f x对一切x满足xf x 3x f x 1 e ,右f x00（xo 0）,则（）A. f x0是f x的极大值；B. x0, f x0是曲线y f x的拐点;C. f x是f x的极小值；Df %不是f x的极值，x, f x0也不

26、是曲线y f x的拐点3.limx（A.等于1; B.等于0; C.等于1; D不存在，但也不是x0,y0 xv都存在，则 x0,y0f x,y 在 %,y。A.极限存在，但不一定连续;B.极限存在且连续;C.沿任意方向的方向导数存在;D 极限不一定存在，也不一定连续5.设为常数,则级数sin n2 n 1 n1nA.绝对收敛B.条件收敛;C.发散;收敛性与取值有关（6分）（6分）已知函数yy（x）由参数方程xyt（1te yt） 0 十确止，求1 0d1 2y dx2（6分）设 f x ,g x在a,b上连续，在 a,b内可导且对于a,b 一切x均有0,证明若f x在a,b内有两个零点,则g

27、 x至少存在一个介于这两个零点之间的零点六（6分）设f x1 x11 ex、2，求 f x 1 dx o 0e” sin v ,求, x y0七（6 分）已知 z uv , x eu cosv, y八（8分）过抛物线y x2上一点a,a2作切线，问a为何值时所作的切线与抛物线y x2 4x 1所围成的平面图形面积最小九（8分）求级数 n x 1 n的收敛域及和函数. n 1十（8分）设f x在a,b上连续且大于零，利用二重积分证明不等式:bb 12f x dx dx b aaa f x十一（8分）计算曲线积分I l x4 4xy3 dx 6x2y2 5y4 dy ,其中L为曲线21y21 x 3上点A（ 2, 1）沿逆时针方向到该曲线上点B 3,0的一段曲线。5十二（8分）计算曲面积分4zxdydz 2zydzdx 1 z2 dxdy,其中 为曲面z ey（0 y a）绕z轴旋转一周所成曲面之下侧2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题3分，共15分）d11.已知2 f x2,，