(推荐)实变函数(全)总结课件

1、第一节 集合的概念第二节 集合的运算第一章 集合1. 集合的基本概念及运算AB注：书中用 表示包含或真包含关系（其中S为全集）,简记为Ac2.集簇的交和并集簇的并集簇：特别当 时，称集簇为集列，记为集簇的交例 注：在本书中我们未把0包含在N内,+不在中( ( ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 例 ( a-1/n a ( ( a-1/n-1 a-1/n a-1/n+1 a例 ( a a+1/n笛卡尔乘积3.集合的运算性质De Morgan公式注：通过取余集，使A与Ac，与互相转换4.上、下极限集上极限集例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2下极限集例：设A2n

2、=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2,下极限集为1上极限集极限集如果集列 的上极限集与下极限集相等，即则称集列 收敛，称其共同的极限为集列 的极限集，记为：单调增集列极限定理 9 ：单调集列是收敛的单调增集列极限分析当An为单调增加集列时单调减集列极限分析当An为单调减小集列时例 ( ( ( ） ) )-n -1 0 1 2 n例 -1 0 1 2 3 4（补充）例1例 2a a+1/k f(x) 第三节 对等与基数第一章 集合定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则 f，对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称这个对应法则 f 是从 X 到 Y 的一个映射，记作 f:

3、 XY或：设X,Y是两个非空集合，f是XY的子集，且对任意xX，存在唯一的y Y使(x,y) f，则f 是从 X 到 Y的一个映射注：集合，元素，映射是一相对概念略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射） 映射的定义 例注：模糊集：参见：模糊集合、语言变量及模糊逻辑，L.A.Zadeh2、 实数的加法运算+: RRR (群,环,域)1、 定积分运算 为从a,b上的可积函数集到实数集的映射 (函数,泛函,算子, 变换)3、 集合的特征函数（集合A与特征函数互相决定） 称 为集A的特征函数，证明的过程略2 集合运算关于映射的性质（像集）集合运算关于映射的性质（原像集）注：

4、6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射， 7）等号成立当且仅当f为满射证明的过程略3 对等与基数1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射（既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广记作约定1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.1,3,5,7,9,11,13,15,.2,4,6,8,10,12,14,16.n2n-12n0,1, -1, 2, -2, 3, -3, 4 , -4,.,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,.例有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同

5、多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。例Galileo在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少,1870Cantor开始系统考虑.基数的大小比较4 Bernstein定理Bernstein定理的证明fBernstein定理的证明证明:ABgfBernstein定理的证明ABggfffABfgffgBernstein定理的证明Bernstein定理的证明此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.(举例) 第二章 点集1. 开集、闭集P0为 E的接触点：P0为 E的聚点：P0为 E的内点：说明：要证E是开集，只要证 要证E是闭集，只要证 若E = E , 则称E为开集（E

6、中每个点都为内点) 若 ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）例：开区间(a,b)为开集说明：要证E是开集，只要证 abx 证明：任取x(a,b),取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,从而x是（a,b）的内点，故(a,b)是开集。例：闭区间a,b为闭集说明： 要证E是闭集，只要证a b x 证明：任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,从而x不是a,b的接触点，从而a,b的接触点都在a,b内，从而a,b是闭集。注：闭集为对极限运算封闭的点集即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点利用：p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列pn, 使得或p0是E的聚点的充

7、要条件为存在E中的互异的点所成的点列pn, 使得若 （或 ）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外） E为开集注： E为含于E内的最大开集E从而y为E的内点，从而所以x为E的内点，即证明：只要证任取 ，由内点的定义知任取 ，取 E为闭集E证明：只要证任取 ，由聚点的定义知 E为闭集注： 为包含E的最小闭集E从而即x为E的聚点，从而2 开集与闭集的对偶性P0为 E的接触点：P0为 E的聚点：P0为 E的内点：P0为 E的外点：b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。a.开集的余集是闭集 从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集。 证明：

8、设E为开集，即从而闭集的余集是开集证明：设E为闭集，即 任取 ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点， 从而x为E的接触点，由为闭集可知x在E内， 这与 矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。3 开集的性质 a. 空集，Rn为开集;b. 任意多个开集之并仍为开集；c. 有限个开集之交仍为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1)A B闭集的性质a.空集，Rn为闭集；b.任意多个闭集之交仍为闭集；c.有限个闭集之并仍为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如

9、：En=0,1-1/n若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集5 .隔离性定理及点集间的距离隔离性定理设 是 中两个互不相交的闭集，证明：存在两个互不相交的开集 ，使得 注：隔离性定理中“闭集”的条件不能少， 如2，3）和（3，5点集间的距离 c. 若 ,则 d(A,B)=0; 反之?b.d(x,B)=0当且仅当 注：a. 若x B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1)思 考问题2：两个闭集 不相交，下面的结论一定成立吗？如A=n - 1/n,B=n+1/n（都是闭集） 上面条件换成有界闭集呢？ 问题1:定理中改为有界闭集，怎么构造隔离？定理（距离可达性定理

10、1）：设A为非空闭集 ， xRn ，则必有yA,使得d(x,y)=d(x,A)又为闭集，故yA,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)证明：由 可得定理（距离可达性定理2） ：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有xA, yB,使得d(x,y)=d(A,B)由于A有界，故证明：由AB又B为闭集，故yB,另外对两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B)又A为闭集，从而xA ，并可得yni有界因为当ni充分大时， d(x, yni) d(x, xni ) + d(xni, yni) 1 + ( d(A,B) + 1/ni ）证明：利用d(x,E) d(x,z) d(x,y) +d(y,z

11、) z E定理 设E为Rn中非空点集 ，则d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数所以d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数。可得d(x,E) d(x,y) +d(y,E)，同理d(y,E) d(x,y) +d(x,E),故有|d(x,E)- d(y,E) | d(x,y)定理：设F1， F2为Rn中两个互不相交的非空闭集，则存在Rn 上的连续函数f(x) ，使得 （1）0 f(x) 1， x Rn（2） f(x)=0， x F1; f(x)=1, x F2注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材）， 即Urysohn引理.6.R中有关紧性的两个结论Bolzano-Weierstras

12、s定理： 若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一个聚点.注：此定理对无限维度量空间不一定成立。(参见P306 例2) Heine-Borel有限覆盖定理 设F为Rn 中的有界闭集，若开集簇 覆盖F， 即 ， 则 中存在有限个开集U1 ，U2， ,Un，它同样覆盖F注：比较下面几种不同的证法周民强，实变函数 p-36尤承业，基础拓扑学 p-52熊金城，点集拓扑讲义 p-202教材 p-42注： Heine-Borel有限覆盖定理的逆命题也成立定义 （紧集）：设M是度量空间X中的一集合， 是X中任一族覆盖了M的开集， 如果可从中选出有限个开集U1 ，U2， ,Un仍然覆盖M，则称M是X中的紧

13、集定理（紧集的充要条件）（P303）：设X是度量空间，M是X中一子集，则M是X中的紧集的充要条件为对M中任何点列，都存在子列收敛于M中一元素. 紧 集 但在一般的度量空间中，紧集必为 有界闭集，而有界闭集不一定为紧集定理： 设M是度量空间 中的紧集，则M是X中的有界闭集举例说明有界闭集未必是紧集（教材P306例2）结论： 中紧集与有界闭集等价可数覆盖定理设F为Rn中一 集合，若开集簇 覆盖F（ 即 ）， 则 中存在可数个开集U1 ，U2， ,Un ， ，它同样覆盖F提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理点全体在Rn中稠密7 自密集和完备集的

14、定义自密集：设 ，如果 ，则称E 为自密集，也即集合中每点都是这个集 合的聚点，或没有孤立点的集合为自密 集。 例：有理数集Q为自密集完备集：设 ，如果 ，则称 E为完备集。 例：任何闭区间及全直线都为完备集7. 直线上的开集构造定义（构成区间） 设G为直线上的开集，如果开区间而且端点 不属于G，则称 为G的构成区间。例如： ( ) ( ( ) ) a b c c d d (a,b),(c,d)为构成区间（c,d）不是定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的并，又当非空开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间必是构成区间( ) ( )( ) ( ) (直

15、线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集.开 集 构 造 性 定 理直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点;（4）Rn中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间之并，且不唯一.( ) ( )( ) ( ) (（3）（完备集的构造定理）直线上的完备集F或是全直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没有公共端点的开区间而得到的集合8.Cantor集第n次去掉的开区间留下的闭区间12n定义：令称P=0,1- G=0,1Gc 为Cantor集Cantor集的性质a .分割点一定在Can

16、tor集中 Cantor集P=0,1- G=0,1Gc为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间b. P的“长度”为0，去掉的区间长度和c. P没有内点( )x- x x+第 n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。证明：对任意x P, x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中d. P中的点全为聚点,从而没有孤立点从而x为P的聚点，当然不为孤立点。 证明：对任意x P ， 只要证： 由Cantor集的作法知 而 的两个端点定

17、在P中，第n次等分留下的区间( )x- x x+数的进位制简介十进制小数 相应于 对0,1十等分二进制小数 相应于 对0,1二等分三进制小数 相应于 对0,1三等分说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如0.20000000.1999999 （十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数e. P的势为 （利用二进制，三进制证明）证明思路：把0,1区间中的点都写成三进制小数，则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点的全体，从而Cantor集为小数位只是0,2的点的全体，作对应注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点.说明：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它

18、有两种表示，如0.1000000 = 0.0222222 （三进制小数）0.2000000 = 0.1222222康托集P为完备集（由完备集的构造性定理可得）第一节 外测度第三章 测度理论1.引言其中积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1 xi(1) Riemann积分回顾（分割定义域）新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yiyi-1用 mEi 表示 Ei 的“长度”问题：如何把长度,面积,体积概念推广?圆的面积内接正n边形的面积（内填）内接外切外切正n边形的面积（外包）达布上和与下和 Riemann积分xi-1 xi达布下和的极限下积分

19、（内填）xi-1 xi达布上和的极限上积分（外包）Jordan测度Jordan外测度（外包）Jordan可测Jordan内测度（内填）例：设E为0,1中的有理数全体，则E不Jordan可测由于任一覆盖0,1中的有理数全体的有限开覆盖也一定能覆盖除有限个点外的 0,1，从而由于无理数在0,1中稠密，故任一开区间都不可能含在E内，从而所以 ，即E不Jordan可测( ( ) )( )( ( ) ) ( )- 1+2 Lebesgue外测度(外包)为E的Lebesgue外测度。定义： ，称非负广义实数与Jordan外测度比较： 下确界：即：用一开区间列 “近似”替换集合E例 设E是0,1中的全体有理

20、数，试证明E的外测度为0 证明：由于E为可数集，再由的任意性知( ) 2.平面上的x轴的外测度为0思考： . 设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0思考：3.我们知道有理数与无理数在0,1上都稠密，问证明中的开区间列是否覆盖了区间0,1由无理数集在0,1上稠密可知上面叙述的错误出在取，因为i的取定依赖于( ) 思考：4.对Jordan外测度，我们用有限个开区间覆盖0,1中的有理数全体，则这有限个开区间也覆盖0,1（除有限个点外）注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如antor集的余集的构成区间）( ( ) )( )( ( ) )注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列5.对Le

21、besgue外测度，我们用可数个开区间覆盖0,1中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖0,1（除可数个点外）（2）Lebesgue外测度的性质(b)的证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少，相应的下确界反而大。（b）单调性：（a）非负性： ， 当E为空集时，（C）次可数可加性证明：对任意的0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间I nm列近似替换An）注：一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界由的任意性，即得注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:当区间Ii的直径

22、很小时候，区间Ii不可能同时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点。若d(A,B) 0,则例证明参见教材p-56思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广对任意区间 ，有例：Cantor集的外测度为0。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集证明：令第n次等分后留下的闭区间为第二节 可测集合第三章 测度理论Lebesgue外测度(外包)次可数可加性(即使n两两不交)即：用一开区间列“近似”替换集合E1.可测集的定义注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定

23、义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。EEcTETEc（Caratheodory条件） ，则称E为Lebesgue可测集，此时E的外测度称为E的测度，记作 例：零集E必为可测集即E为可测集。2.Lebesgue可测集的性质证明：(充分性）(必要性)令（a）集合E可测（即 ）即可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭；（b）若A,B,Ai 可测，则下述集合也可测注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得若 Ai两两不交，则（测度的可数可加性）若 A,B可测， 则有可减性可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭；也可测。若 可

24、测已证明，则易知易知Ac可测证明：由可测集的定义：(1)(2)(3)(4)BA下面证明若A,B 可测，则 可测下面证明若A i 两两不交，则例：设0,1中可测集A1,A2 , ,An 满足条件 则 必有正测度。注：左边的极限是集列极限， 而右边的极限是数列极限， (b)中的条件 不可少(a) 若An是递增的可测集列，则(b) 若An 是递减的可测集列且如An = ( n, +)（ n单调可测集列的性质第三节 开集的可测性第三章 测度理论注：开集、闭集既是 型集也是 型集； 有理数集是 型集，但不是 型集； 无理数集是 型集，但不是 型集。有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余

25、 型集与 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）例 区间 是可测集，且注：零集、区间、开集、闭集、 型集（可数个开集的交）、 型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。证明见书本p66 2. 可测集与开集、闭集的关系即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集），从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。证明：若(1)已证明，由Ec可测可知取F=G c，则F为闭集(1).若E可测，则 证明:(1)当mE+时，由外测度定义知从而（这里用到mE+ ）对每个Ei应用上述结果(2)当mE=+时，这时将E分

26、解成可数个互不相交的可测集的并：例证明：对任意的1/n，例：设E为0,1中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭集。例：设E*为0,1中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小测度集的开集和闭集。 开集: (0,1) 闭集：开集：闭集：空集3. 可测集与 集和 集的关系 可测集可由 型集去掉一零集，或 型集添上一零集得到。(2).若E可测，则存在 型集H, 使(1).若E可测，则存在 型集 O, 使(1).若E可测，则存在 型集 O, 使 (2).若E可测，则存在 型集H, 使证明：若(1)已证明，由Ec可测可知取H=O c，则H为 型集 ， 且(1).若E可测，则存在

27、型集 O, 使证明：对任意的1/n， 例：例：设E*为0,1中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零测度集的 型集或 型集。设E为0,1中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一零测度集的 型集或 型集。注：上面的交与并不可交换次序类似可证：证明:由外测度定义知第四节 不可测集存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73 ; 1970，R.Solovay证明不可测集存在蕴涵选择公理）存在不是Borel集的可测集（利用Cantor函数和不可测集构造） 参见：实变函数周民强 , p87习题讲解第三章 测度理论1 设E是直线上的一有界集， ，则对任意小于 的正数c，恒有子集E1，使证明：由于E有界

28、，故不妨令令f(x)=m*(Ea,x)，则f(a)=0,f(b)=m*E,下证f(x)在a,b上连续 a x1 x2 b 从而f(x)在a,b上（一致）连续；由界值定理知，存在 a,b ,使f()=c,令E1=E a, ，则E1满足要求.任取x1,x2 a,b, x1a, 则f(x)a,由连续性假设知，( ) xf(x0)+f(x0)f(x0)-a则G为开集，当然为可测集，且 R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。aI a x1 x2 由f单调增知下面的集合为可测集证明：不妨设f单调增，对任意aR可测函数的等价描述证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及定义：设f(x

29、)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测 对前面等式的说明 ( a-1/n a( a a+1/n可测函数的性质可测函数关于子集、并集的性质反之，若 , f(x)限制在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。即:若f(x)是E上的可测函数, 可测，则f(x)限制在E1上也是可测函数；若m (Efg)=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立,记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性证明：令E 1= Efg， E 2= Ef=g，则m E1=0从而 g(x)在E1上可测 ，即： 设f(x)=g(

30、x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测 注：用到了可测函数关于子集、并集的性质另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ，进一步g(x)在E=E1 E2上也可测 。可测函数类关于四则运算封闭即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)仍为E上的可测函数。a-g(x) r f(x)类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。证明中利用了Q是可数集和R中的稠密集两个性质a-g(x) r f(x)若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) g(x)仍

31、为E上的可测函数。作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) -g(x) ,f(x)/g(x)为E上的可测函数再利用f(x)g(x) =(f(x)+g(x)2 - (f(x) -g(x)2/4即可证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意aR可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。对上式的说明：下确界： ( a-1/n a例： R1上的可微函数f(x)的导函数f (x)是可测函数利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.从而f (x)是一列连续函数

32、（当然是可测函数）的极限，故f (x)是可测函数. 证明：由于gn(x)例 设fn是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集.注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.证明：发散点全体为 收敛点全体为再可测函数与简单函数的关系可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限MmMmMmn0可测函数与简单函数的关系注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限 ，而且还可办到例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x)是可测函数。证明：要证f( g(x)是可测函数，只要证对任意a，Ef ga=x

33、| f( g(x)a可测即可,g 可测f 连续x| f( g(x)a= (f g)-1(a,+) = g-1(f-1(a,+)f-1(a,+) =例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x)是可测函数。注：f(x)是R上可测函数，g(x)是R上连续函数，f( g(x)不一定是可测函数（利用Cantor函数构造，参见：实变函数，周民强，p114)证明：要证f( g(x)是可测函数，只要证对任意a，m (Ef ga)=x| f( g(x)a可测即可,由于f在F=R上连续，故Ffa为R中的开集，又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的开区间的并，故不妨令再由g可测，可知例

34、：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x)是可测函数。注：另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成一列简单函数 的极限因为f(x)连续，故所以f( g(x)是简单函数列的极限，故为可测函数第二节 可测函数的收敛性第四章 可测函数函数列的几种收敛定义一致收敛:注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制fn(x)=xn点点收敛: 记作1-例：函数列fn(x)=xn , n=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛fn(x)=xn几乎

35、处处收敛: 记作 (almost everywhere）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎一致收敛:记作 (almost uniformly)依测度收敛: 记作注：从定义可看出，几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何不依测度收敛依测度收敛几种收敛的区别说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1（1）处处收敛但不依测度收敛n 在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,所以

36、fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外fn不几乎一致收敛于1fn不几乎一致收敛于f几乎一致收敛:记作 (almost uniformly)即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛任意 （ ）适当小小fn不几乎一致收敛于f即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛不几乎一致收敛于f(x)=1n（2）依测度收敛但处处不收敛0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1f8依测度收敛但处处不收敛 取E=(0,1, n

37、=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,说明：对任何x(0,1 , fn(x)有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）1-fn(x)=xn三种收敛的联系即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，（即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛引理：设mE+，

38、fn ，f在E上几乎处处有限且可测，证明：由于 为零测度集，故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：关于N单调减小第三节 可测函数结构 Lusin定理 第四章 可测函数可测函数简单函数是可测函数可测函数总可表示成一列简单函数的极限（当可测函数有界时，可作到一致收敛）问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？可测集E上的连续函数定为可测函数鲁津定理实变函数的三条原理（J.E.Littlewood）（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)0, 使得对f(x)在F连续的说明说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中

39、的点为内点，从而可取xFi足够小的邻域不含其他Fi 中的点函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续，但函数在R上处处不连续条件Fi为两两不交闭集必不可少，如：鲁津定理的证明(2)当f(x)为有界可测函数时，存在简单函数列n(x) 在E上一致收敛于f(x)，由n(x) 在F连续及一致收敛于f (x) ，易知f(x)在闭集F上连续。利用(1)的结果知鲁津定理的证明则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果（连续函数类关于四则运算封闭）(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换注：(1)鲁津定理推论鲁津定理（限制定义域）（即：去掉某个小测度集，在留下的集合上连续）（在某个小测度集上改变取值并补

40、充定义变成连续函数）若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)（对n维空间也成立）则 及R上的连续函数g(x)开集的余集是闭集闭集的余集是开集aibi直线上的开集构造直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并鲁津定理推论证明的说明 鲁津定理：设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得m(E-F)且f(x)在F上连续例 对 E=R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在E上的连续函数列fi(x)使fi(x)f(x) a.e.于E从而 令 ，即得我们所要的结果。 证明：由鲁津定理的推论知再由Riesz定理，存在gn(

41、x) 的子列 gni(x)使gni(x)f(x) a.e.于E，对上例的说明（只能作到几乎处处收敛）：说明：若fnf于R， fn连续，则f的连续点集是R的稠密集（参见：实变函数，周民强，p-43）鲁津定理的结论 m (E-F) 0，存在闭集 ，使 且f(x)在 上连续，则f(x)是E上的可测函数 注：此结论即为鲁津定理的逆定理从而 f(x)在 上可测，进一步 f(x)在 上可测。 证明：由条件知， ，存在闭集使 且 f(x)在En 连续，当然 f(x)在 En上可测，第四节 可测函数的收敛性（续）第四章 可测函数各种收敛定义依测度收敛: 去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎一

42、致收敛: 去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛几乎处处收敛:几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）引理：设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，（Lebesgue定理）设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，叶果洛夫定理的证明 引理：mE+对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明Lebesgue定理的证明 叶果洛夫定理的证明Lebesgue定理的证明 叶果洛夫定理的证明引理：mE+下证明 由(3)推出(2)对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明Lebesgue定理的证明 叶果洛夫定理的证明引理：mE

43、+下证明 由(4)推出(3)对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明注：叶果洛夫定理的逆定理成立注：a.叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mE+或mE=+，几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎处处收敛: 去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛另外显然 fn(x) 在 上点点收敛于f(x)所以 fn(x) 在E上a.e.收敛于f(x)证明：由条件知 ,存在可测集 使 且 fn(x) 在 En上一致收敛于f(x) ，当然fn(x) 在En 上点点收敛于f(x) 叶果洛夫定理的逆定理注: b.叶果洛夫定理中条件mE+不可少不几乎一致收敛:去掉任意小（适当小

44、）测度集，在留下的集合上任不一致收敛几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛n例 在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,但fn不几乎一致收敛于f于R+ 注：c.叶果洛夫定理中的结论me不能加强到me=01-去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛，但去掉任意零测度集，在留下的集合上仍不一致收敛。例：函数列fn(x)=xnn=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛；注：c.叶果洛夫定理中结论me不能加强到me=0 设fn(x)= x n , x(0,1）,则fn(x) 处处收敛于f(x)=0，但fn(x)不一致收敛于f(x) ，即使去掉任意一

45、零测度集，在留下的集合上fn(x)仍不一致收敛于f(x) 。说明：去掉任意一个零测度集e，留下的集合(0,1)-e仍然以1为聚点从而可找到E-e中一点列xn, 使得 收敛到1，故：从而E-e 上fn(x)不一致收敛于f(x) 叶果洛夫定理 mE+Lebesgue定理 mE+叶果洛夫逆定理 收敛间的关系依测度收敛但处处不收敛0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1依测度收敛与点点收敛0 10 10 1/4 3/4 10 1/8 1/4 1叶果洛夫定理 mE+Lebesgue定理 m

46、E+叶果洛夫逆定理 子列Riesz定理 Riesz定理若 于E,则必有fn的子列 fnk ，使得子列 引理：mE+Lebesgue定理的证明 叶果洛夫定理的证明收敛间的关系Riesz定理（(6)到(1)的关系）我们只需证(5)到(3)的关系Riesz定理的证明证明：对Riesz定理证明的说明：其实从证明中的(*)式我们可看出从而可取得n1 n2 n3 nk0， ,有依测度收敛的等价描述令mE+，则 对fn 的任意子列fnk ,存在fnk的子列 fnki ，使得证明：（必要性）任取 fn的子列 fnk ，由于 当然有由Riesz定理知，存在 fnk的子列 fnki ，使得依测度收敛的性质（唯一性

47、和四则运算）注：(1),(2),(4)当mE=+时,也成立；条件mE+对(3)来说不可少.定理：令mE+ ， ，则 (1) 若又有 , 则f(x)=h(x) a.e.于E。设 fn 与 gn 是E上几乎处处有限的可测函数列, 于E， 于E, 则 于E 注:(1),(4)的证明类似，只要利用证明：由于故这与（*）式矛盾，所以证明：假设 不成立，则条件mE+对(3)来说不可少注：令 ，则 gn不依测度收敛于g注：上述结果的证明也可通过依测度收敛的等价描述证明任取 fn gn 的子列fnk gnk ，找 fnk gnk 的子列 fnki gnki使得例 设但 不依测度收敛于f 2于R 第一节 Les

48、besgue积分的定义及性质第五章 积分理论1.积分的定义 设 是 ( Ei可测且两两不交）上非负简单函数，定义 为 在E上的Lebesgue积分例：对Dirichlet函数0 1非负简单函数的积分非负可测函数的积分为f(x)在E上的Lebesgue积分设f(x)为E上非负可测函数，定义若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数 的极限 ，而且还可办到一般可测函数的积分积分的几何意义：注：当 有限时，称f(x)在E上 L可积（要求 不同时为 ）为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分） 设f(x)为E上的可测函数，定义积分的性质零集上的任何函数的积分为0 f(x)可积当

49、且仅当|f(x)|可积（f(x)是可测函数）,且 单调性:线形:(5)设f(x)是E上的可测函数， ， 证明 a.e.于E 证明：则En为可测集,即f(x)=0 a.e.于E。( 0 1/n用到了积分的可加性(6) 若f可积，则f几乎处处有限.证明：对每个n，有(7)积分的绝对连续性说明：若|f(x)|M,则只要取=/M即可，所以我们要把f(x)转化为有界函数。 若f(x)在E上可积，则及任何可测子集有即：当积分区域很小时，积分值也很小.积分的绝对连续性的证明证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积故对任意，存在E上的简单函数(x) ，使在E上由于(x)为简单函数，故存在M，使得|(x)|

50、Myiyi-1分割值域Lesbesgue积分xi-1 xi分割定义域Riemann积分非负可测函数可积的等价描述设f(x)为E上几乎处处有限的非负可测函数, mE+，在0, +)上作分划:则f(x)在E上可积当且仅当yk+!yk非负可测函数可积的等价描述的证明证明：yk+1yk例：若E1, E2, En是0,1中的可测集，0,1中每一点至少属于上述集合中的k个(kn),则在E1, E2, En中必有一个点集的测度大于或等于k/n例 设fn(x)为E上非负可测函数列，用到了积分的可加性第二节 Lesbesgue积分的极限定理第五章 积分论1.Levi逐项积分定理只要证明大于等于，但一般而言fn(

51、x)不会跑到f(x)上方,所以我们有必要先把f(x)下移一点。 f(x)cf(x) fn(x)注意：当fn(x)一致收敛f(x)时， fn(x)才会整体跑到f(x)上方。若fn(x)为E上非负可测函数列，说明：小于等于显然成立，因为fn(x)总在f(x)的下方,Levi逐项积分定理的证明引理1：设En是递增集列， 是Rn上的非负可测简单函数，则引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则证明：由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列，有定义，且从函数列的渐升性知道下证大于等于号Levi逐项积分定理的证明证明：令c满足0c1， 是Rn上的非负可测简单函数，且则En是递增集列，由

52、引理1知 c(x) f(x) fn(x)(x)Levi逐项积分定理的证明再由的积分定义知于是从（应用引理2） f(x)(x)c(x) fn(x)对Levi逐项积分定理的说明 f(x)fn(x) fn+1(x)积分的几何意义（函数非负）：若fn(x)为E上非负可测函数列，单调增集列测度的性质2.Lebesgue逐项积分定理（级数形式）然后利用Levi逐项积分定理即可对应于测度的可数可加性若fn(x)为E上非负可测函数列， 则对比:积分的线性(有限个函数作和)例 试求 为非负连续函数，当然为非负可测函数，定理：若f(x)在a,b上Riemann可积，则f(x)在a,b上Lebesgue可积，且例

53、从而结论成立则 为非负连续函数，当然为可测函数，从而由Lebesgue逐项积分定理知：3.积分的可数可加性然后利用Lebesgue逐项积分定理即可对应于测度的可数可加性Lebesgue逐项积分定理是关于被积函数积分的可数可加性是关于积分区域 若f(x)在 （En可测且两两不交）上非负可测或可积，则注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可积性且积分值不变证明：令E 1= Efg， E 2= Ef=g，则m E1=0从而即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可积，则g(x)在E上也可积且 例 设0,1上的函数f(x)在Ca

54、ntor集P上定义为0，在Cantor集余集中长度为1/3n的构成区间上定义为n(n=1,2,3，) ，求f(x)在0,1上的Lebesgue积分值 解：令Gn为Cantor集P的余集中长度为1/3n的构成区间的并，由条件知f(x)是0,1上的非负可测函数，根据积分的可数可加性知 4.Fatou引理然后利用Levi逐项积分定理即可 若fn(x)为E上非负可测函数列，Levi逐项积分定理：若fn(x)为E上非负可测函数列，则注：严格不等号可能成立注：fn(x)为E上非负可测函数列且一致收敛到0.1/nn5.Lebesgue控制收敛定理证明：显然f(x)为E上可测函数（可测函数列的极限函数是可测函

55、数）设fn(x)为E上可测函数列， a.e.于E，且存在非负可积函数F(x)，使得|fn(x)| F(x) a.e.于E，且由|fn(x)| F(x) a.e.于E，知|f(x)| F(x) a.e.于E，所以fn(x)， f(x)都为E上可积函数则f(x)在E上可积且由|fn(x)| F(x) a.e.于E，知F(x)fn(x) 0 a.e.于E，由Fatou引理知又F(x)可积，从而Lebesgue控制收敛定理的证明例 试求则fn(x)为可测函数且从而Lebesgue控制收敛定理知：第三节 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系第五章 积分论yiyi-1Lesbesgue积分 对

56、值域作分划xi-1 xiRiemann积分 对定义域作分划本节主要内容:若f(x) Riemann可积，则f(x)在a,b上Lebesgue可积，且积分值相等f(x) Riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测度集 Riemann可积的充要条件 f(x)在a,b上Riemann可积Darboux上、下积分对a,b作分划序列令（对每个i及n）Darboux上积分Darboux下积分xi-1 xi引理：设f(x)在a,b上为有界函数，记(x)为a,b上的振幅函数，则故(x)为a,b上的可测函数，从而f(x) L可积。证明：由于f(x)在a,b上为有界函数，故(x)为a,b上有界函数，

57、又对任意实数t， 为闭集，xi-1 xi作函数列对 a,b作分划序列xi-1 xi引理的证明引理的证明xi-1 xi引理的证明从而结论成立xi-1 xi1.Riemann可积的内在刻画定理：有界函数f(x)在a,b上Riemann可积的充要条件是f(x)在a,b上的不连续点全体为零测度集教材p-104有另一种证明证明：若f(x) Riemann可积,则f(x) 的Darboux上、下积分相等，上述过程反之也成立。从而f(x)在a,b上的不连续点全体为零测度集，引理：设f(x) 是E上有限实函数，则f(x)在x0E处连续的充要条件是f(x)在x0处的振幅为0证明参照教材p-1022.Lesbesgue积分与Riemann积分的关系(Lebesgue积分是对Riemann积分的推广) 定理：若f(x)在a,b上Riemann可积，则f(x)在a,b上Lebesgue可积，且证明： f(x)在a,b上Riemann可积，故f(x)在a,b上几乎处