2022年全等三角形的提高拓展训练经典题型题

1、全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：( 1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边( 2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角( 3) 有公共边的，公共边常是对应边( 4) 有公共角的，公共角常是对应角( 5) 有对顶角的，对顶角常是对应角( 6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边 最小角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ( 或最大角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ，一对最短边 ( 或要想正确地表示两

2、个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方法：( 1) 边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等( 2) 角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等( 3) 边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等( 4) 角角边定理 ( AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等( 5) 斜边、直角边定理 ( HL ) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、 两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线拓展关键点： 能通过判定两个三角形

3、全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础例题精讲板块一、截长补短【例 1】 ( 06 年北京中考题 )已知 ABC 中，A 60，BD 、CE 分别平分 ABC 和 . ACB ，BD 、 CE 交于点 O ，试判断 BE 、 CD 、 BC 的数量关系，并加以证明ABEODCDN【例 2】 如图，点 M 为正三角形 ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点 ( 点 B 除外 ) ，作DMN 60，射线 MN 与DBA 外角的平分线交于点 N ， DM 与 MN 有怎样的数量关系 ? 【变式拓展训练】如图，点 M 为正方形 ABCD

4、的边 AB 上任意一点，MN DM 且与ABC 外角的平分线交于点 N ， MD 与 MN 有怎样的数量关系？D CN【例 3】 已知：如图，AMBEABCD 是正方形， FAD=FAE. 求证： BE+DF =AE. A DF【例 4】 以ABC 的 AB 、 AC 为边向三角形外作等边ABD 、BECACE ，连结 CD 、 BE 相交于点 O 求证： OA 平分DOE DAEOB C【例 5】 ( 北京市、天津市数学竞赛试题 ) 如图所示，ABC 是边长为 1的正三角形，BDC是顶角为 120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60 的 MDN ，点 M 、 N 分别在 AB 、 AC

5、 上，求 AMN 的周长ANMB CD【例 6】 五边形 ABCDE 中， AB=AE， BC+DE=CD， ABC+AED=180，A求证： AD 平分 CDEB E板块二、全等与角度BAC60， AD 是BAC 的平分线，且ACABCBD ，D【例 7】如图，在ABC 中，求 ABC 的度数 .A【例 8】在等腰ABC 中， ABAC ，顶角A20，在边 AB 上取点 D ，使 ADBBC ，DC求BDC .ADCMBCN【例 9】( “ 勤奋杯” 数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC 中， ACBC ，C20，又 M 在 AC 上， N 在 BC 上，且满足BAN50，ABM60，求NM

6、B . 28，【例 10】在四边形 ABCD 中，已知ABAC ，ABD60，ADB76，BDC求DBC 的度数 . 【例 11】( 日 本 算 术 奥 林 匹 克 试 题 ) 如 图 所 示 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ，DAC12，CAB36，ABD48，DBC24，求ACD 的度数 . 【例 12】( 河南省数学竞赛试题) 在正ABC 内取一点 D ，使 DADB ，M 为ABC在ABC 外取一点 E ，使DBEDBC ，且 BEBA ，求BED .【例 13】( 北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC 中，BACBCA44内一点，使得MCA30，MAC16，求BMC 的度数 .

7、 BMA C全等三角形证明经典20 题（含答案）1.已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求AD A B D C 延长 AD 到 E,使 DE=AD, 则三角形 ADC 全等于三角形 EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEAEAB+BE 即:10-22AD10+2 4AD 三角形 ADC 全等于三角形 ABC. 2E6所以 BC 等于 DC ，角 3 等于角 4,EC=EC B三角形 DEC 全等于三角形BEC 所以 5=617已知：如图， AB=AC，BDAC，CE AB，垂足分别为D、E，BD、CE 相交于点 F，求证： BE=CD 证

8、明：因为AB=AC ，B C D A 所以 EBC= DCB F 因为 BDAC ，CEAB E 所以 BEC= CDB BC=CB ( 公共边 ) 则有 三角形 EBC 全等于三角形 DCB 所以 BECD 18.如图，在ABC 中， AD 为 BAC 的平分线， DEAB 于 E，DFAC 于 F。求证： DE=DFA AAS 证 ADF E F 19在ABC 中，ACB 90，AC BC，直线 MN 经过点 C ，且 AD MN 于 D ，BE MN 于 E .(1) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时， 求证： B ADC D CEB ；C DE AD BE；(2) 当直线

9、 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由 . （1）证明： ACB=90， ACD+ BCE=90 ，而 AD MN 于 D，BEMN 于 E， ADC= CEB=90 ， BCE+ CBE=90 ， ACD= CBE在 Rt ADC 和 Rt CEB 中， ADC= CEBACD= CBE AC=CB ，Rt ADC Rt CEB（AAS ），AD=CE ，DC=BE ，DE=DC+CE=BE+AD；ADC 和 CEB 中， ADC= CEB=90ACD= CBE AC=CB ，（2）不成立，证明：在 ADC CEB（AAS ），AD=CE ，DC=BE ，DE=CE-CD=AD-BE；20如图： BE AC，CFAB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1） AM=AN ；（2）AM