高中数学平面向量知识点总结及常见题型精编

1、一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量，向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的起点与终 uuruuu点的大写字母表示，如：AB.几何表示法 AB , a ;坐标表示法a xi yj （x, y）.向量uuur的大小即向量的模（长度），记作| AB即向量的大小，记作| a | 向量不能比较大小， 但向量的模可以比较大小.零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行.零向量a = 0|rra I =0,由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量 晌量a0为单位向量| a0 | = 1.平行向

2、量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一 直线上 方向相同或相反的向量，称为平行向量 .记作a / b .由于向量可以进行任意的平移 （即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 .相等向量：长度相等且方向相同的向量,相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b大x x9yiy2小相等，方向相同（xyi）&里） 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作a.2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uur r uur rr uuu uuur uuu设 AB a,BC b,WJa + b=AB BC =AC（1） 0 a

3、 a 0 a； （2）向量加法满足交换律与结合律；“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要 共始点的，和向量是始点与已知向量的始点 重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量(2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的 有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点3向量的减法 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量 记作a,零向量的相反向量仍是零向量.关于相反向量有：(i) ( a)=a； (ii) a+( a)=( a)+a=0；(iii) 若a、b是

4、互为相反向量，则a= b,b= a , a + b =0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a b a ( b) .求两个向量差的运算，叫做向量的减法.作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4实数与向量的积：实数人与向量a的积是一个向量，记作入a,它的长度与方向规定如下：(I ) a a ;(H)当0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0,方向是任意的.数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数 ，使得b = a6平面向量的基本定理：如果062是一个

5、平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1, 2使：a iei 2金，其中不共线的向量ei,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表不1。平面向量的坐标表下:如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同2平面向量的坐标运算：，rrJ r(i)右a Xi,yi ,bX2,y2 ，则 a bxiX2,yiy2uur(2)若 A”，yi ,B X2,y2 ,则 AB %V2yi，r-(3)右 a =(X,y),则a=(5)若 arXi,yi ,bX2,y2x, y)r r ,则 a / b又丫2X2yi0rXi，yi ,bx2,y2X1

6、x2yi V2X2yiy20.平面向量的数量积i两个向量的数量积：r , r已知两个非零向量a与b,它们的夹角为rr已知两个向量a (x,y1),br(X2, y2)，则 a rb = X1X2yiy2uur2向量的夹角：已知两个非零向量a与b ,作OA=a,uuu rOB=b，贝U/AOB= (0180)叫做向量a与b的夹角:cos =cos a,br ra?bXi X2yi y2a ?bXi2yi2. X222y2当且仅当两个非零向量a与b同方向时，9 =0,当且仅当a与b反方向时8 =180.4向量的模:r r r2 1rl2 a a a | a |什rr若a x,% ,bX2,y2 ,

7、贝U ab b aXiy2 X2yi 06.向量垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作ab.a b a b = O x1x2 y1y2 0*平面向量常见题型题型1.基本概念判断正误：1.给出下列命题:若 ari =| bi,则ar=b；若A, B, C, D是不共线的四点,UU UJIT则AB DC是四边形ABCM平行四边形的充要条件;3）若 a=b , b=c ,贝（J a=c , a=b的充要条件是| a|=| b|且a若a b, b c,则 a c,其中正确的序号是题型2.向量的加减运算.下列命题中正确的是（ JJJ JJT JLUA. OA OB AB B T JJT TC

8、. 0 AB 0 DT.设a表示“向东走8kmi,）JUT JUT.AB BA 0 JUT JUT JJJl JJJT.AB BC CD ADTT Tb表示“向北走6kmf ,则|a b |UJUJur 山道 山山.化简（AB MB） （BO BC） OMjut JJJ miJr.若菱形ABCD的边长为2,则AB CB CD 5.UUT UUT UUTLULT已知AC为AB与AD的和向量，且 ACT UUJT a, BDTJJUb ,则 AB LUJT ad6.UUT 3 UULT已知点C在线段AB上，且AC 3 AB 5LUJT，则ACJJU LUU_ BC , ABJJU_ BC.题型3.

9、向量的数乘运算T T T T1.计算：(1) 3(a b) 2(a b)TTT T T T TOC o 1-5 h z (2)2(2a5b3c)3( 2a3b2c)一，TT 一一 一 TIT2.已知 a (1, 4),b ( 3,8),贝3a -b2题型4.作图法球向量的和T TT 1T T 3 T已知向量a,b,如下图，请做出向量3a 1b和2a 3b. 22题型5.根据图形由已知向量求未知向量JJT JUTuuM.已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB,AC表示AD.TUT T UUT T JUT JJJT.在平行四边形 ABCD中，已知AC a,BD b,求AB和AD . TOC

10、o 1-5 h z .已知向量 a (1,2) , b ( 2,3) , c (4,1),若用 a 和 b 表示 c ,贝U c =。 rrrr rr.已知a (5,10) , b ( 3, 4) , c (5,0),请将用向量a,b表小向量C.题型6.向量的坐标运算uur.已知AB (4,5) , A(2,3),则点B的坐标是uur.已知PQ ( 3, 5) , P(3,7),则点Q的坐标是一. rrr,.右物体受三个力F1 (1,2), F2 ( 2,3), F3 ( 1, 4),则合力的坐标为 -一，r - I 一 .、r r r r r r.已知 a ( 3,4) , b (5,2),

11、求 a b , a b , 3a 2b. ruuu.已知 A(1,2), B(3,2)，向量 a (x 2,x 3y 2)与 AB 相等，求 x, y 的值. uuruuuruuuruuin.已知 AB (2,3), BC (m,n), CD ( 1,4),则 DA . uuuuuir r uuu.已知O是坐标原点，A(2, 1),B( 4,8),且AB 3BC 0 ,求OC的坐标.题型7.结合三角函数求向量坐标uuuo uur.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA| 2, xOA 150,求0A的坐标. uuu _ulu.已知O是原点，点A在第一象限，|OA| 473 ,xOA 60,求

12、OA的坐标.题型8.求数量积.r r 一 r，rr r r rr1.已知 |a|3,|b| 4 ,且 a与 b 的夹角为60,求(1) a b, (2) a (ab),r 1 r rrrrr(a 1b) b , (4) (2a b) (a 3b). 2 一， r _r _,、 r rr r r_rr2.已知 a (2, 6),b ( 8,10),求(1) |a|,|b|, (2) a b, (3) a (2 a b), , r r r r(2a b) (a 3b).题型9.求向量的夹角r r r rr r.已知|a| 8,|b | 3, a b 12 ,求a与b的夹角.r - r r.已知 a

13、 (73,1),b ( 273,2),求 a与 b 的夹角.已知 A(1,0), B(0,1), C(2,5),求 cos BAC .一，rr.已知 a (m,3) , b (2, 1),(1)若与b的夹角为钝角，求m的范围；r , .r ，、一,(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围.r r仆 r r r r r rr r.已知两单位向量a与b的夹角为1200,若C 2a b,d 3b a,试求c与d的夹角.r r r r r r rr r.若|a| 1,|b| 2,c a b,且c a,则向量a与b的夹角为.题型10.求向量的模r rr rrrrb|, （6）r 1 r|a -2b|.已知

14、 |a| 3,|b | 4 ,且a与 b 的夹角为 60,求（1） |a b|, （2） |2a 3b |.一， r _r _r r . . rr b|.已知a （2, 6）,b （ 8,10）,求（1）ia1,ibi,（5）1a.已知1a1 311b | 2, 13a 2b | 3 ,求13arr r题型11.求单位向量【与a平行的单位向量：e 阜】|a|.与a (12,5)平行的单位向量是 .与m （ 1,1）平行的单位向量是 2题型12.向量的平行与垂直r r rrr r rr r r.已知向量 a（1,2）, b（x,1）,ua2b , v2ab ,H u / v,求实数 x 的值rr

15、r rr r.已知 a （6,2） , b （ 3,m）,当 m 为何值时，（1）a/b? （2） a b ?一，rr3.已知 a （1,2） , b(3,2) , (1) k为何值时，向量ka b与ar3b垂直?(2) k为何值时，向量kg4.已知a是非零向量，a b a c,且b r,求证：a (b C).r r（ma b）,则m的值为r r x ln r rrr6.已知 占 4,3 , b5 .若a 1, b 2, a与b的夹角为60 ,若（3a 5b）r r rrrr1,2 , m a b, n2ab,按下列条件求头数 的化（1） mn;（2）mn ； m n题型13.三点共线问题1.

16、已知 A(0, 2),B(2,2), C(3,4),求证：A,B,C三点共线.A B、D三点共线. TOC o 1-5 h z uur. 2 r ruuw r r uuu rr.设 AB(a5b),BC2a8b,CD3(ab),求证:2uurr r uurrr uurrr.已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b,则一定共线的三点是.已知A(1, 3), B(8, 1),若点C(2a 1,a 2)在直线AB上，求a的值.uui uuu uuur.已知四个点的坐标O(0,0) , A(3,4), B( 1,2) , C(1,1),是否存在常数t,使OA tOB OC成立？题型14.判断多边形的

17、形状uuur uurr uuur uur1.若AB3e, CD5e,且| AD | |BC|,则四边形的形状是.2.已知 A(1,0),B(4,3) , C(2,4), D(0,2),证明四边形ABCD是梯形.3.已知 A( 2,1),B(6, 3) , C(0,5),求证:ABC是直角三角形.4.在平面直角坐标系内,uuuuuuuuirOA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3),求证:ABC是等腰直角三角形.平面向量的基础训练1、化简:(ABr.已知aCD) - ( ACr(1,3),b ( 2,BD尸2r r r1),贝U (3a 2b) (2 aCB ED DC FEr5b

18、)AF.已知ar(1,2), b (3,1),4.已知向量a和向量b的夹角为r r 30, |a| 2,|b|V3,则向量a和向量br的数量积a5.已知向量 a (1,1),b (1, 1),cr(1, 2),则 c (1r3 r 1 rA. a b B. a222rr6.向量 a (2,3) , b (3 r3b C.23 r 一 a2r1,2),若mar与D.2r rb与a3r 一 a2r2b平行，则m等于_-1A.2 B . 2 C .-2r r7.若a,b是非零向量且满足（12 r2b)r r r r2a） b ,则a与b的夹角是（A. - B .8.设 a (3,sin 2C . 2_ D . 5336r1 一 r),b (cos ,-),且 a b ,则锐角 为()3A. 300 B .600 C . 75 D , 450一， r9.已知 a (1,0),rrrb (2,1),当k为何值时，向量ka b与a 3b平行？r10.已知两向量arr r r r(3,4),b (2, 1),求当a xbf a b垂直时的x的值.r11.已知两向量arr r(1,3),b (2,