桥梁设计理论第九讲_secret

1、第九讲 曲线梁桥计算理论第一节 概述随着高等级公路和城市高架路的大量兴建，作为道路的一部分，桥梁的位置多由平面布局控制，特别是现代城市道路网，立交设施成为分流交汇的主要手段，曲线梁桥的建造就日益增多。曲线梁桥有别于直线桥的主要特性是：（1）曲线桥外边缘弯曲应力大于内边缘，而在直线桥中无此特征；（2）曲线桥外边缘挠度大于内边缘挠度；（3）曲线桥中无论恒载还是可变荷载都会产生扭矩，“弯、扭耦合”现象在曲线桥中占重要地位。第二节 曲线梁基本微分方程及其解答一、基本假定由于曲线梁桥中存在着较大的扭矩和扭转角变形，欲把曲线梁按杆件结构力学的方法作为纯扭转理论分析，则必须符合下列基本假定：（1）横截面各项

2、尺寸与跨长相比很小，这样才容许将实际结构作为集中在梁轴线上的曲线形弹性杆件来处理。（2）曲线梁的横截面在变形后仍然保持为平面；（3）曲线梁变形后，横截面的周边形状保持不变，即截面不发生畸变；（4）截面的剪切中心轴线与截面形心轴心相重合。一般情况下，只要跨长达到横截面尺寸的34倍以上时，第一项假定即能满足，横截面宽度可用边梁或边侧腹板之间的距离计算。严格地说，曲线梁除圆形或正方形的截面以外，变形后横截面不可能仍然保持为平面，但对于混凝土结构来说，由于薄壁效应不显著，且一般箱梁的形状接近于正方形时，如果，则横截面的翘曲变形不大，故第二项假定所引起的误差在工程实际中可以忽略。鉴于曲线梁桥的半径相对来

3、说一般均较大，因而，截面剪切中心与截面的偏离值相对于曲率半径而言是很小的，所以在实用中分析内力和变形时，作出此项假定也是可以容许的。二、符拉索夫（Vlasov）方程对于如图9-1所示弯梁，截面形心为G.C.，截面剪切中心为S.C.，通常采用沿剪切中心轴的切线方向为轴，曲线向心方向为轴，垂直于曲线平面向下为轴所组成的三维流动直角坐标系。从弯梁上截取一微段，一般地，弯梁有六种可能作用的荷载，其正方向（符合右手螺旋法则）如图9-1b。在上述荷载作用下，截面上一般会有六种截面内力，即轴力、剪力和、弯矩和及扭矩。正号内力如图9-2a、b所示。图9-1 流动直角坐标系与荷载分量a)b)图9-2弯梁微段的截

4、面内力a)b)利用弯梁六个空间平衡条件，可以导得弯梁的六个静力平衡方程如下： （9-1）： （9-2）： （9-3）： （9-4）： （9-5）： （9-6）上述六个平衡方程消去剪力项、和轴力后，可以简化为如下三个方程：（9-7）（9-8）（9-9）图9-3 弯梁的位移与扭角弯梁相对于剪切中心轴（轴）的一般位移有四个，如图9-3这位移的正方向，其中、分别为、方向的位移，为截面扭角。有关弯梁的几何方程已由铁木辛柯（S.Timoshenko）导出如下：（9-10）（9-11）（9-12）（9-13）式中：为轴向应变；、分别梁段绕、轴的曲率；为梁段绕轴的扭曲率（即单位长度上的扭角）。应用弹性体材料的

5、基本方程，可以建立起截面内力与变形之间的关系式，再将几何方程（9-10）（9-13）代入此关系式，可得：（9-14）（9-15）（9-16）（9-17）式中为弯梁截面积；、分别为弹性模量和剪切模量；、分别为绕、轴的抗弯惯矩；为绕轴的抗扭惯矩；为弯梁截面的扇性惯矩（或称翘曲常数）。将式（9-14）（9-17）及其导数表达式代入简化后的平衡方程（9-7）（9-9）即可导得描述位移、扭角与外荷载关系的弯梁基本微分方程，即符拉索夫方程：（9-18）（9-19）（9-20）从上述三个方程及有关的平衡方程、几何方程可以看出，弯梁平面内的荷载（、）、内力（、）及变形（、）与垂直于弯梁平面的荷载（、）、内力（

6、、）及变形（、）互不影响，因此，一般可以将荷载分成平面内荷载与垂直于弯梁平面的荷载两大类分别进行分析计算。实际上，第一类荷载作用下的弯梁拱的作用，可按拱的理论进行分析。第二类荷载作用下的内力分析与计算方法是本讲的重点。式（9-19）和式（9-20）均为、两个位移量与外荷载的关系。两个方程均不是独立的。因此必须联立求解。这充分反映了弯梁中弯扭耦合的受力特点。在上面介绍弯梁的约束扭转时，考虑了截面翘曲引起的翘曲扭矩。实际上，截面上还有一个表征法向应力大小的特征函数即双力矩的存在，弯梁中双力矩的表达为：（9-21）利用基本微分方程求解位移和扭角时，必须确定由弯曲和扭转两种模式表示的边界条件。常见的支

7、承型式的边界条件列于表9-1，其他型式的边界条件也可以通过分析得出。常见的支承型式的边界条件 表9-1 位移或内力支承类型弯曲模式扭转模式固端支承0000固定铰支承0000点铰支承0000自 由 端0000三、简支超静定弯梁的闭合解由于式（9-19）和式（9-20）相互耦合，故为了求解方便，可在上述两式中通过一系列数学推演消去其中一个位移量（如），这样可得到一个不完整的独立的六阶微分方程：（9-22）上式是一个六阶常系数非齐次线性微分方程，其解为相应齐次方程的通解和对应于荷载情况的特解之和。当简支梁上作用均布扭矩和竖向荷载（一般）时，汉斯（C. P. Heins）等得出了式（9-22）的闭合解

8、为：（9-23）式中：由上式可见，只要采用六个适当的边界条件，就可求出式中六个常数（）。然而，边界条件及相应的各项内力表达式中均包含另一个变量，故必须先求出竖向挠度才能求解。这时可应用符拉索夫方程（9-19）、（9-20）中的任何一个方程（如式（9-19），并将有关的项看作已知的荷载项，这样即可求出相应四阶常系数非齐次线性微分方程的闭合解，将和代入另一方程（9-20）中验证后，可得竖向挠度的闭合解的最终形式为：（9-24）式中：。图9-4 作用集中荷载的简支弯梁利用简支超静定弯梁两端各四个边界条件（表9-1），联立求解式（9-23）、（9-24）即可得到两式中共八个任意常数（）。简支超静定弯梁

9、位移（）的表达式确定后，再得用式（9-16）、（9-17）、（9-4）和式（9-21）就可球出相应的内力、的表达式。如果简支超静定弯梁上作用有集中荷载和，分析时则需将弯梁沿荷载作用点分成两个单元（如图9-4）。此时分界面上的非连续性应用如下所示的内力及位移间的连续条件代入：式中，下标分别表示荷载作用点（分界面）的左截面和右截面。由于公式比较复杂，上述闭合解也宜编成计算机程序进行计算。第三节 曲线梁桥纵向分析前一节讨论了弯梁的基本微分方程及其解法，可以用来分析某些弯桥的结构问题。但实际工程中的弯梁桥结构型式是多种多样的，对于宽跨比较小且横向联结刚性较强的窄弯梁桥按整体截面弯梁进行分析在工程上尚属

10、容许，但对于多主梁弯桥或宽跨比较大的宽弯梁桥如按单根弯梁计算，则会导致过大的误差。因此，对于后一类弯梁桥应寻求相应的合理分析方法。有限单元法、有限差分法等，不失为分析弯梁桥时较精确的数值方法，但由于需要计算机解大型联立方程组，计算费用较昂贵，结构的总体性能较难把握，以及难以确定活载的最不利位置等问题，使其在实用上尤其是韧步设计时极为不便，因此，广大桥梁工作者均设法提出了许多实用计算方法。一个极其自然的想法是采用类似于直梁桥的荷载横向分配的方法，即把弯梁桥的空间分析近似地分解为横桥向（径向）和纵桥向（桥轴向）来分别处理，这样可使分析工作大为简化。理论和实验也均己证明，许多情况下采用上述的实用分析

11、法一般已能满足工程设计的要求。因此下一节将较详细地介绍这种基于横向分布原理的弯梁桥实用计算法。利用横向分布方法求出横向分布系数之后，弯梁桥恒、活载内力的计算方法就同单根弯梁完全一样，即对弯梁进行纵向分析。单根弯梁的分析可以采用前一节介绍的基于符拉索夫方程的闭合解法及有限差分数值解法等，但在实用上由于要解求高次微分方程或大型联立方程组，因此国内外许多学者从不同方面已经提出了许多不同的分析方法，常用的或者笔者认为有推广价值的主要有如下几种方法7。（1）结构力学方法最先用于分析弯梁的方法是沿用杆件系统的结构力学方法。这种方法的特点是能利用公式直接计算弯梁的内力与变形，不但简单明了，而且能得出精确的唯

12、一解。根据弯梁横截面受载后是否仍保持平面，可区分为单纯扭转理论和翘曲扭转理论两种。翘曲扭转理论考虑了受载后横截面不再保持平面即发生了翘曲，增加了截面双力矩和翘曲扭矩两项内力。（2）曲杆有限元法有限元法被公认是对复杂结构进行分析的一种通用而最强有力的数值方法。用于曲线梁桥分析时，较常用的是八自由度曲杆有限元法，即采用每个曲杆节点位移为、和四个自由度。（3）能量法能量原理是从弯梁的总势能出发，用变分原理分析弯梁桥的内力和位移的方法。第四节 曲线梁桥横向分布对于多主梁（截面型式有板式、I形、T形或箱形等）弯梁桥采用纵、横向分别处理的实用计算法是一种可取的方案。这时，弯梁桥的空间工作特性通常是通过内力

13、或荷载的横向分布系数来体现，因此如何合理地计算弯梁桥的横向分布系数则是设计这类弯梁桥时应考虑的主要问题之一。利用横向分布方法分析桥梁结构，其实质是在一定的误差范围内，寻求一个近似的内力影响面去代替精确的内力影响面。对于弯梁桥，此近似内力影响面通常要求在纵桥向(桥轴向)和横桥向(径向)均具有各自相似的影响线图形。因此计算结果的误差主要反映在内力影响面的相似性、荷载的类型、组成及作用位置。理论计算和试验结果均已证实，弯梁桥控制截面的控制内力与变形的精确影响面一般在纵，横向均具有各自相似的变化规律。因此如采用合适的近似影响面去代替，计算精度是能满足一般工程设计要求的，这是我们能利用横向分布方法计算的

14、基本前提。不同桥梁内力，变形影响面的形状各不相同，其横向分布规律也不相同。对于直梁桥，内力与挠度横向分布的差别一般很小，因此通常采用主梁挠度横向分布规律来确定内力的横向分布，并形象地引用荷载横向分布的概念。理论上已经证明，当等截面简支梁桥采用半波正弦荷载时，内力，挠度的横向分布与荷载的横向分布存在着精确的等值关系。这里应该强调的是，荷载横向分布的实质应该是内力或变形的横向分布，在弯梁桥中由于弯扭耦合，不存在内力、挠度的横向分布与荷载横向分布之间的等效关系，因此弯梁桥中各种内力与变形的横向分布一般均不相同。按目前习惯，弯梁桥的横向分布仍沿用荷载横向分布的概念。弯梁桥中由于弯扭耦合作用，无法采用对

15、弯、扭分别求解而后叠加的方法，更不能忽略主梁的抗扭刚度，否则会导致太大的误差。因此在计算弯梁桥的横向分布时，不仅要考虑竖向力的横向分布，而且应考虑扭矩的横向分布。关于弯梁桥的横向分布，国内外学者提出了许多方法。与直梁桥一样，具代表性且有较大实用价值的方法有如下三类7：（1）梁格理论。此法是直梁桥LeonhardtHomberg法的推广，它假定弯梁桥结构为弯主梁与横梁处于弹性支承关系上的格构，利用结点的挠度和扭角关系找出结点力，进而求出横向分布规律。刚性横梁法是它的特例。（2）梁系理论。它是将弯梁桥结构沿纵向划分成各个弯主梁单元，横梁的抗弯刚度均摊在桥面板上，主梁之间的连结用桥面板切口处的赘余力表示，采用力法求解。刚接梁法