力学重点知识点复习梳理

1、力学重点知识点复习梳理OORrrK 系K 系绝对牵连 从K系变换到K系运动学动力学研究牛顿定律在参考系变换中的情况 平动和转动平动：固联在参考系上的任一条直线，在各时刻方向总保持平行的运动平动不一定就是直线运动转动：参考系上的直线绕同一转轴作圆周运动平动转动两个相对运动的参考系K，K之间存在“牵连”加速度A 相对于“静止”参考系，牛顿定律成立： a：“绝对” 在运动参考系中， a：“相对”A = 0 和 A 0 不同情况 A = 0 A 0 平动转动 伽利略相对性原理与伽利略坐标变换A = 0如 K 相对于“静止”参考系 K 作匀速直线运动“牵连”速度 V 不变相对于匀速直线运动参考系 K，牛

2、顿运动定律仍然成立，力学现象的进行就和在“静止”参考系中一样 伽利略相对性原理一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系，其内部所发生的一切物理过程，都不受系统作为整体的匀速直线运动的影响 相互作匀速直线运动的各个参考系都是等价的 如果把某个惯性系认定为静止的，那么相对于它作匀速直 线运动的参考系也是惯性参考系 同样有资格被称为静止的 对于物理学规律而言，一切惯性系都是等价的 注意： “一切惯性系都是等价的”并不是说在不同惯性系中所看到的现象都是一样，而是指不同惯性系中的动力学规律都一样，从而都能正确地解释所看到的现象。例如：F = ma 形式不变 经典力学中，“静止”并无绝对的意义无论在惯性系

3、内部进行什么样的力学测量，力学实验或力学现象的观察，都不可能判断参考系是“静止的”还是“作匀速直线运动”在力学中，不存在绝对静止参考系，这就是伽利略相对性原理或力学相对性原理伽利略坐标变换适当选择坐标原点和时间起点，假定在 t = 0 时刻两坐标系重合 R = VtK, K 分别取直角坐标系 (x, y, z) 和 (x,y, z)由于坐标轴的取向可任意选择，可选取 x 轴沿相对速度V 的方向 两惯性系间坐标的变换关系 伽利略坐标变换式 伽利略坐标变换中强调了 t, t 是相同的，即采用了绝对时间概念 古典力学中时间的绝对性 但是在 V c 光速时，要采用狭义相对论中的洛伦兹变换其中相对论力学

4、既适用于低速运动，也适用于高速运动在低速运动下，V c，有 mg 超重 加速度方向向下，即与 g 同向，则 a f惯 = - m(a) = -ma N = mg f惯 m(g - a) mg 失重 当升降机自由降落时，a = g，人的重量为0，完全失重例：宇宙飞船获得必要的速度以后，停止了发动机的工作，试求飞船中质量为 m 的质点的视重，其时飞船的重心 C 距地心距离为0。 CF惯PN视重：是静止于飞船中的物体施于承托物的作用力 求承托物给予质点的作用力N， 其反作用力即是质点的视重 以飞船为参考系来研究质点，质点相对于飞船为静止 质点受到重力P作用，指向地心，大小 质点受到承托物给予的作用力

5、N ?飞船在停止了发动机的工作之后，就成为地球重力场中的“落体” 飞船所受重力指向地心，大小 M 是飞船的质量R 为地球半径 飞船的加速度a0 指向地心，大小飞船是具有加速度的参考系 考虑惯性力F惯 方向与a0指向相反，背离地心大小 xPF惯N 若质点位于A点，质点与地心距离大于飞船质心C与地心距离则视重 -N 背离地心 指向地心CF惯PNA视重 若质点位于B 点，质点与地心距离小于飞船质心C与地心距离则视重 -N 指向地心 指向背离地心CF惯PNB视重人们往往把视重的方向看作“下”方，若飞船足够大，则： 在 A 处的人将感觉到地球在“上”方 在 B 处的人将感觉到地球在“下”方 事实上，飞船

6、的尺度远小于其与地心的距离0，飞船中质点与飞船重心C的距离 r 0，所以0 +rcos0飞船中所有质点的视重都等于0即使撤去承托物，质点也能保持平衡 失重 地球、飞船、飞船中的质点 太阳、地球、地球上的质点 由于地球的公转，就太阳的引力而言，地球上所有物体都是“失重”的 相对于地球，研究地球上物体的运动，所有物体就和没有受到太阳的引力一样 转动参考系中的惯性力转动圆盘OOO点“静止” 先讨论转动参考系最简单的情况质点相对于转系“相对静止” 相对于转动圆盘：小球 m 静止 相对速度 v = 0；相对加速度 a = 0 绝对运动：相对于“静止”参考系 小球作圆周运动 “绝对”加速度包括：向心加速度

7、切向加速度 若转速 随时间而变 考虑动力学 相对于“静止”参考系，牛顿运动定律成立 “绝对”加速度 a，牛顿力F = ma小球有向心加速度 受到向心力作用小球如有切向加速度 受到切向力不是凭空而来的F合 Fn + Ft向心力 Fn 的反作用力，即小球对弹簧的反作用力，向外拉称为离心力 Fn 相对于转动参考系 小球静止：v = 0，a = 0 向心力与切向力是牛顿力， 与参考系选择无关 小球受力作用而不运动 转动参考系为非惯性参考系 如果要把牛顿定律运用到这种情况，则存在一个力 F惯 F 作用于物体上，才能使物体平衡 惯性离心力：指向与 Fn 相反，大小相等 若转速变化，则切向惯性力 离心力 v

8、s. 惯性离心力 要区别离心力和惯性离心力 离心力F：不是作用于质点（小球）的力，是质点施于其它物体的牛顿力 惯性离心力F惯：是在非惯性转动参考系中的观察者假想作用在物体上的一种惯性力 例：试研究地面上物体的重量。 所谓重量即静止于地球上的物体施于其承托物的力物体的重量是用它作用于支撑物上的力来衡量的 以地球为参考系研究物体：物体相对于地球是静止的，物体受到地球的引力 引力指向地心，大小 m物体质量，M地球质量，R地球半径 地球不断自转，是一个转动惯性系 考虑惯性力 如物体所处纬度为 ，则与地轴垂直距离 与地轴垂直而背离地轴 地球自转角速度 变动极小 切向离心力可忽略 取如图坐标系，物体相对于

9、地球静止 x方向： z方向： zxF惯F引P = 2弧度/恒星日= 7.29212105 弧度/秒，是一很小的数值 二项式展开惯性离心力对重量的影响有两方面： 惯性离心力的 z 分力，与引力指向相反，以致重量P比起真正的引力减小了。 赤道上 惯性离心力最大 视重最小 两极 惯性离心力最小 视重最大 同一物体，在纬度越低的地点重量越小 重量是引力与惯性离心力的合力，所以重量的指向偏离了引力的指向。 偏离的角度由 给出 在两极，由于没有惯性离心力 无偏离 在赤道惯性离心力最大，但是与引力在同一直线上 无偏离平常所说的竖直方向，即重量的方向，严格说来，并不指向地心而偏离一个小角度。由于很小，所以这个

10、偏角在大多数情况下可以忽略。 惯性离心力正比于2，它的变化是二级小量 在运动距离变化不太大的情况，惯性离心力可作为常力处理 作为常力，惯性力的效应是使重力的指向偏离地球吸引的指向，使重量小于地球引力 只要总是用重力代替地球引力（其实其间的微小差别往往可以忽略），就已包含了惯性离心力的效应在内，不必另外再提出惯性离心力P80页 例14一水桶绕自身的铅直轴以角速度旋转，当水与桶一起转动时，水面的形状如何？ zr求解水面形状，即求解 zr曲线，即z(r) 的函数形式 在水桶参考系中，取右图坐标系液块 dm 受力： 重力 (dm)g 惯性离心力 有效重力为 N = dm(g +2r )N 与液面处处垂

11、直 积分得： P80页 例15质量为 m 的小环套在半径为 R 的光滑大圆环上，后者绕竖直直径以匀角速转动。试求小环的平衡位置随的变化。小环的平衡位置处，小环相对大环静止 在大环参考系内，小环受到切向力 R平衡： 只有在超过 时，才成为可能 平衡位置是否稳定要从能量角度考虑 从静止缓慢增大，在未出现平衡位置 C, D 前，A是稳定的，B不稳 后，C、D稳定，而 A 失稳 参见第三章：一维势能曲线部分 矢量表示 角速度的矢量表示转动 绕什么轴线转动？ 绕此轴线向哪一方向转动？ 转动的快慢？物理学中规定：角速度是个矢量 该矢量所在的直线就表明转动轴线方向沿转轴 指向按右手法则表明转动方向拇指指向矢

12、量指向，弯曲四指代表旋转方向 长短表明转动快慢 矢量积O2RrvO1 v O1情况：v = R，方向与、R平面垂直 O2情况： v = (r sin)，方向与、r 平面垂直规定右手螺旋：从 转到 r，前进方向为 v 的方向 v的大小：等于的大小、r的大小、 与r夹角 的正弦三者乘积 v的方向:用矢量积形式来描述 v、r的关系矢量的乘积，结果有两种 两矢量相乘后，得出一标量，称为标积，或点乘：AB 两矢量相乘后，得出一矢量，称为矢积，或叉乘： AB v、r的关系显然为叉乘 W = F S 为点乘 矢量的点乘点乘服从交换律和分配律：AB BA A(B + C) AB + AC 交换律分配律 基矢存

13、在下列性质：AB = |A|B|cos为A、B 间夹角 Bcos可看作B 在A上的投影A = Axi + Ayj + AzkB = Bxi + Byj + BzkAB = AxBx + AyBy +AzBz两个矢量垂直的充要条件是：AB = 0 矢量的叉乘定义：AB = |A|B|sinnono为同时垂直于A、B的单位向量为A、B 间夹角，满足右手系 基矢存在下列性质：点乘服从反交换律和分配律：AB BA A(B + C) AB + AC 交换律分配律叉乘AB的几何意义：数值等于由 A、B为边组成的平行四边形的面积方向与A、B组成的平面垂直，指向由右手法则规定叉乘的行列式表示行列式求值法： 2

14、阶行列式：红色实线乘积 减去 蓝色虚线乘积 3阶行列式：Sarrus法则 矢量的三重积三重标积或混合积混合积的几何意义： BC 是以 B 和 C 为边组成平行四边形的面积，方向沿法向 A(BC) 则相当于再乘上 A 在法线上的投影 三重积的绝对值等于以A、B、C三矢量为棱构成的平行六面体的体积 其正负号与三重积中三矢量的循环次序有关定理：A、B、C三矢量共面的充要条件是它们的混合积等于0 其中至少有一个矢量为0矢量 其中至少有两个矢量共线、平行或反平行 其中有一矢量与其余两矢量的叉乘垂直 计算平行六面体的体积与取哪一面为底无关 点乘是可以交换的 三矢量的轮换，以及 “” “”的对调，都不影响计

15、算结果 但是三矢量的循环次序不能变，否则差一个负号II. 三重矢积三重矢积的几何意义： BC 与B、C 组成的平面垂直 A(BC) 则与A 和 (BC ) 组成的平面垂直 A(BC) 与B、C共面 A(BC) 是B、C的线性组合： A(BC) = a1B + a2C解析证明：i分量：同理可得：j分量：k分量：加速度的矢量表示O2RrvO1 法向加速度大小： an= 2R = (R) = v = vsin90o 是的大小、 v的大小、 与 v的夹角的正弦三者的乘积 方向：既与垂直，也与v垂直 右手螺旋从转到v，正好沿an方向an 切向：若转速有变化 大小： 是 的大小、 r 的大小、 与 r 的

16、夹角的正弦三者的乘积 方向： 则at 与 v 同向； 则at 与 v 反向 指向不变： 指向与相同 指向与反向满足右手螺旋O2RrvO1at 小球的“绝对”加速度： 对于“静止”参考系，牛顿定律成立： 对于转动参考系，牛顿定律不成立： 引入惯性离心力：若有转速变化 切向惯性力：rR为位矢r在垂直于方向的分量标量，r在上的分量大小指向 科里奥利力 (Coriolis force)质点在转动参考系中作“相对” 运动对任意矢量 P若矢量 P 相对于旋转系是恒定的 从 t 到 t+t 时间间隔内，转过角度t，增量P 大小为：PP + PP牵连运动为便于区分，令静止系中微分符号为D，转动系中为d即：在静

17、止系中若 P 不是恒定的，则P 可为 r，也可为 v 取 P = r是质点相对于旋转系的速度牵连相对再次在静止系内取对时间导数牛顿定律不成立惯性离心力科里奥利力若转速变化，则加入切向惯性力地球自转对地面上物体运动的影响地球不断自转，是一个转动系 研究相对于地球为静止的物体，应当计入惯性离心力，至于切向惯性力极为微小可以忽略 相对于地球运动着的物体，除了惯性离心力之外，还应计入科里奥利力自然界中的实例在北半球，物体沿各方向以 v 运动时，相应的科里奥利力 Fc 指向运动物体的右侧方AvvB北半球CDFCFCFCFCA点：向北运动，FC沿纬线指向东B点：向南运动，FC沿纬线指向西C点：向西运动，F

18、C垂直指向地轴D点：向东运动，FC垂直背离地轴在南半球，情况则正好相反物体在地面上的运动，受科里奥利力作用而自行向右偏转，在日常生活中从来没有观察到 这是因为科里奥利力正比于地球自转，很小以致于FC也很小，其效应被其它作用力的效应所掩盖 FC的效应只有在长时间累积的条件下才容易察觉；此外，极精密的测量也能表明FC 自然界中的柏尔定律： 北半球河流右岸比较陡峭，南半球则左岸比较陡峭 北半球河水在 FC 作用下，对右岸冲刷甚于左岸，成千累万年代积累结果，右岸比较陡峭 信风： 信风本是自北向南，在“长途旅行”中不断受到 FC 作用累积的结果，风向逐渐转为自东北而西南，最后甚至变为自东向西惯性离心力 vs. 科里奥利力 科里奥利力 FC 正比于（一级小量），与半径无关 惯性离心力 F惯 正比于2 （二级小量）与质点离地轴的距离的 乘积在运动过程中，质点离地轴的距离的变化一般并不很大 惯性离心力的变化是二级小量 惯性离心力可作为常力处理 其作用：使重力的指向偏离地球引力的指向，使重量小 于地球引力 只要总是用重力代替地球引力，就已包含了惯性离心力 的效应在内，不必再另外提出F惯离例：考察地球自转对单摆运动的影响若没有惯性力，单摆将在直线 AB 上来回摆动但实事上，单摆从 A 向 B 摆动时，由于 FC 作用逐渐向右偏，并不达到 B 点，而达到 C 点回摆时同样逐渐右偏，结果达到 D 点