水利工程测量6测量误差及数据处理的基本知识（48页内容丰富）

1、水利工程测量第6章 测量误差及数据处理的基本知识主讲教师：高飞7/23/2022 1 合肥工业大学第6章 测量误差及数据处理的基本知识 6.1 概述 6.2 测量误差的种类 6.3 偶然误差的特性及其概率密度函数 6.4 衡量观测值精度的指标 6.5 误差传播定律 6.6 同精度直接观测平差 6.7 不同精度直接观测平差 6.8 最小二乘法原理及其应用 7/23/2022 2 合肥工业大学 测量与观测值 观测与观测值的分类 观测条件 等精度观测和不等精度观测 直接观测和间接观测 独立观测和非独立观测6.1 测量误差概述7/23/2022 3 合肥工业大学6.1 测量误差概述 测量误差及其来源

2、测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等 测量误差的表现形式 测量误差（真误差=观测值-真值）（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）7/23/2022 4 合肥工业大学例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均) 2.系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按 规律性变化，具有积累性。 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校)测量误差分

3、为：粗差、系统误差和偶然误差6.2 测量误差的种类1.粗差(错误)超限的误差7/23/2022 5 合肥工业大学3.偶然误差误差出现的大小、符号各不相同， 表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差 。 准确度(测量成果与真值的差异） 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） 测量平差（求解最或是值并评定精度）4.几个概念: 精（密）度（观测值之间的离散程度）7/23/2022 6 合肥工业大学举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内 角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。 分析结果表明，当

4、观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。6.3 偶然误差的特性7/23/2022 7 合肥工业大学7/23/2022 8 合肥工业大学用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于y轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律 图6-1 误差统计直方图7/23/2022 9 合肥工业大学从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性：特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特

5、性(4)具有实用意义。 3.偶然误差的特性(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零 (抵偿性)：7/23/2022 10 合肥工业大学偶然误差具有正态分布的特性当观测次数n无限增多(n)、误差区间d无限缩小(d0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。图6-1 误差统计直方图7/23/2022 11

6、合肥工业大学1.方差与标准差 由正态分布密度函数式中 、 为常数； =2.72828x=y正态分布曲线(a=0)令： ，上式为：6.4 衡量精度的指标7/23/2022 12 合肥工业大学标准差 的数学意义 表示的离散程度x=y较小较大称为标准差：上式中， 称为方差：7/23/2022 13 合肥工业大学测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。中误差:观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：i=i - X7/23/2022 14 合肥工业大学7/23/2022 15 合肥工业大学 m1小

7、于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中， 其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低： m1=2.7是第一组观测值的中误差； m2=3.6是第二组观测值的中误差。7/23/2022 16 合肥工业大学2.容许误差(极限误差) 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为： 将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(| m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限

8、差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m|7/23/2022 17 合肥工业大学 3.相对误差(相对中误差) 误差绝对值与观测量之比。 用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 K2K1，所以距离S2精度较高。例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000解：7/23/2022 18 合肥工业大学一.一般函数的中误差令 的系数为 ， (c)式为：由于 和 是一个很小的量，可

9、代替上式中的 和 ： (c)代入(b)得对(a)全微分：(b)设有函数：为独立观测值设 有真误差 ，函数 也产生真误差(a)6.5 误差传播定律7/23/2022 19 合肥工业大学对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1n且ij）(e)对K个(e)式取总和：(f)7/23/2022 20 合肥工业大学(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)由偶然误差的抵偿性知：(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：前面各项即(h)7/23/2022 21 合肥工业大学(h)考虑 ，代入上式，得中误差关系式：(6-10)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定

10、律。7/23/2022 22 合肥工业大学 通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤： 1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差公式。 7/23/2022 23 合肥工业大学 1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数) 全微分 得中误差式例：量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离S及其中误差ms解：列函数式 求全微分 中误差式二 .几种常用函数的中误差 7/23/2022 24 合肥工业大学2.线性函数的中误差 设有函数式 全微分 中误差式例：设有某线性函数 其中 、 、 分别为

11、独立观测值，它们的中误差分 别为 求Z的中误差 。 解：对上式全微分：由中误差式得：7/23/2022 25 合肥工业大学 函数式 全微分 中误差式 3.算术平均值的中误差式 由于等精度观测时， ，代入上式： 得 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了 倍。 对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均， 是提高观测成果精度最有效的方法。7/23/2022 26 合肥工业大学4.和或差函数的中误差 函数式： 全微分： 中误差式：当等精度观测时： 上式可写成：例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。 解： 7/23/2022 27 合

12、肥工业大学观测值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 7/23/2022 28 合肥工业大学误差传播定律的应用 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m15 。例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ =(1+2+3)-180解：由题意：2m= 15,则 m= 7.5每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：7/23/2022 29 合肥工业大学误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律

13、分析视距测量的精度。 解:(1)测量水平距离的精度 基本公式： 求全微分： 水平距离中误差： 其中： 7/23/2022 30 合肥工业大学误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解: (2)测量高差的精度 基本公式： 求全微分： 高差中误差： 其中： 7/23/2022 31 合肥工业大学误差传播定律的应用例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差.解: (1)周长 , (2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中: 求该正方形的周长S和面积A的中误差. 面积 , 周长的中误差为 全微分:面积的中误差为 全微分:7/23/2022 32

14、 合肥工业大学解:(1)周长和面积的中误差分别为 例3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中: 求该正方形的周长S和面积A的中误差. (2)周长 ;周长的中误差为 面积 得周长的中误差为 全微分: 但由于7/23/2022 33 合肥工业大学 观测值的算术平均值(最或是值) 用观测值的改正数v计算观测值的 中误差 (即:白塞尔公式)6.6 同（等）精度直接观测平差7/23/2022 34 合肥工业大学 一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值) 证明算术平均值为该量的最或是值： 设该量的真值为X，则各观测值的真误差为 1= 1- X 2= 2- X n= n- X对某未知量进行了n 次

15、观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平均值为：x= =1+2+nnn上式等号两边分别相加得和：L= 7/23/2022 35 合肥工业大学当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L X7/23/2022 36 合肥工业大学观测值改正数特点二.观测值的改正数v ： 以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数 v ，符合vv=min 的“最小二乘原则”。Vi = L - i (i=1,2,n)特点1 改正数总和为零：对上式取和：以 代入：通常用于计算检核L=

16、 nv=nL- nv =n -=0v =0特点2 vv符合“最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x= n7/23/2022 37 合肥工业大学精度评定 比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在 与 中：精度评定用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：7/23/2022 38 合肥工业大学证明如下：真误差：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平方和由上两式得其中:7/23/2022 39 合肥工业大学证明两式根号内相等中误差定义:白塞尔公式:7/23/2022 40 合肥工业大学解：该水平角真值未知

17、，可用算术平均值的改正数V计 算其中误差：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表， 求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:次数观测值VV V备注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245 V =0VV=60 7642451.74 7/23/2022 41 合肥工业大学距离丈量精度计算例算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术 平均值 ； 观测值的中误差 ； 算术平均值的中误 差 ； 算术平均值的相对中误差 ：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。7/23/2022 42 合肥工业大学6.

18、7 不同精度直接观测平差一、权的概念 权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。1 权的定义：设一组不同精度的观测值为l i ,其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数，则定义权为： 称Pi为观测值l i 的权。7/23/2022 43 合肥工业大学1 权的定义：对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：2 权的性质（1）权表示观测值的相对精度；（2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；（3）权的大小由选定的值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个值。7/23/2022 44 合肥工业大学二、测量中常用的定权方法1 同精度观测值的权对于一组同精度观测值l i ，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定= m2，则一次观测值的权为：n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：同精度观测值算术平均值的权为：7/23/2022 45 合肥工业大学二、测量中常用的定权方法2 单位权与单位权中误差对于一组不同精度的观测值l i ，一次观测的中误差为mi ，设某次观测的中误差为m，其权为P0，