材料力学-静定结构位移（PPT44张）

1、材料力学 第5章 静定结构位移51 概述52 梁的挠曲线近似微分方程及其积分53 叠加法计算弯曲变形xyxyPy=y(x) 梁在平面弯曲时，其轴线弯成一平面曲线，称为梁的挠曲线。 梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度，用y 来表示。挠度以向下为正，向上为负。 梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角，用 来表示。转角以顺时针为正，逆时针为负。 梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的挠度方程和转角方程。51 概述xyxyPy=y(x) 梁变形时，横截面始终保持平面，且始终与梁的轴线垂直，由高等数学可知： 小变形下， 很小，tg ，于是得 这就是梁的变形，挠度与转角的关系。 挠

2、曲线的曲率与弯矩间的关系为 由高等数学可知，曲线的曲率为 小变形下， 很小， ，于是得52 梁的挠曲线近似微分方程及其积分xyMMxyMM 这就是梁的挠曲线近似微分方程，由此微分方程积分一次可求转角，再积分一次可求挠度。 为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为转角方程挠度方程 解题关键： 正确建立梁的弯矩方程M（x）。若梁的各段弯矩方程不同，需分段建立； 每段梁都要积分两次，均出现两个积分常数，需通过边界条件和变形连续条件来确定。 边界条件（支承条件）固定端：铰支座（固定铰支座和可动铰支座）： 变形连续条件在两段梁的交界面： = 0，y = 0。y = 0。 确定积分常数。 解题步骤： 建立坐

3、标系。取梁的最左端为坐标原点，x 轴水平向右，y 轴竖直向下； 将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出每段梁的弯矩方程； 将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，并积分两次； 根据边界条件和变形连续条件确定积分常数； 将要求变形的截面坐标代入转角方程和挠度方程，求指定截面的转角和挠度。例1 求图示悬臂梁B 截面的转角和挠度。ABq解：EIxxyqBll-xFs(x)M(x)ABqEIxxyl确定积分常数：ABqEIxxyl转角方程挠度方程例2 求图示外伸梁B 截面的转角和C 截面的挠度。EIABCPx1x2xyYA=P/2解：l/2lEIABCPx1x2xyYA=P/2l/2lEIABCPx1x2

4、xyYA=P/2l/2l例3 用积分法计算图示简支梁的A，B，yC。EIABCxxyYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/2解：EIABCxxyYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/2例4 用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？ACDP2x1x3yBP1l/2l/4l/4x2xqqABCxxylEAa例5 用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？ACPx3yBl/2l/2x2xqqABx1xyll/2x1DDCx2x3l/2l/2l一、简单梁简单荷载下的变形ABEIlABEIlABEIlmPq43 叠加法计算弯曲变形AB

5、mABl/2ABEIEIEIql/2Pl/2l/2l/2l/2CCC二、叠加法计算梁的变形ABl/2EIl/2PCm=PlABEIl/2l/2CABl/2EIl/2PC=+m=Pl=+三、几种基本变化 悬臂梁荷载在內侧，求端部位移abABPCEIyB荷载在外侧，求内侧位移abABPCEIyBABPCCabPM=PbFs=P 外伸梁PABClaycyc1BaABlaPFs=PM=PaPBBCBCCBayc1P例6 求图示梁B，C 截面的转角和挠度。AB C EI l/2l/2q解：AB C EI qAB C EI q+AB C EI l/2l/2qAB C EI qAB C EI q+AB C

6、EI l/2l/2qAB C EI C qFs=ql/2Fs=ql/2M=ql2/8l/2例7 求图示梁A 截面的转角和挠度。ABCDP=qlEIql/2l/2l/2ABCDP=qlEIql/2l/2l/2BFs=ql/2Fs=ql/2M=ql2/8Aq解：例8 求图示阶梯形悬臂梁自由端的转角和挠度。AB C 2EI aaPEI AC 2EI aB C PFs=PFs=PaB PEI M=Pa解：C AB C 2EI aaPEI AC 2EI aB C PFs=PFs=PaB PEI M=PaC 54 梁的刚度条件一、梁的刚度条件 梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足强度条件；同时

7、梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足刚度条件。 土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等于容许值，即 机械类工程，传动轴是装在轴承上，轴的转角过大会损坏轴承，因此要求轴在轴承处的转角必须小于或等于容许值，即二、提高梁的抗弯能力的主要措施 增大梁的抗弯刚度EI 因各种钢材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有改善截面形状，增大截面的惯性矩，才能提高梁的抗弯刚度EI。如采用工字形、槽形、箱形等。 减小梁的跨度 因梁的变形与跨度的若干次幂成正比，减小跨度可有效地降低梁的变形。如改变支座位置、增加支座等。ABEIqlABEIlq55 简单超静定梁的解法 计算梁的内力、应力、变形，首先要求

8、出梁的支座反力。静定梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超静定梁的支座反力数多于平衡方程数，需通过变形条件增加补充方程方可求解。ABCEIPl/2l/2FAFBMAACEIPl/2l/2FAMAFBB 多余约束可以选择，无论去掉哪个多余约束，最终结果相同。 去掉多余约束支座B ，将支座B 的反力视为荷载，静定梁AB在荷载P 、FB作用下，B 端挠度为零。BCEIPl/2l/2YAFBMAAP3Pl/16Pl/4M 图 上述解超静定梁的方法称为变形比较法。具体解题步骤如下： 去掉多余约束，代之以相应的多余约束反力； 根据多余约束处的变形关系建立补充方程； 解补充方程求出多余约束反力； 将多余约束反力视为主动力，将原超静定梁视为静定梁，然后按静定梁求解其它问题。例10 解图示超静定梁，并画弯矩图。AB2aCaaEIPABCEIPFC解：去掉可动支座C ，代之以反力FC。ABPBCFCFCFC2aFCABCEIPFC=3P/32M图3Pa/16Pa/2例11 求图示各梁的固端弯矩。ABCDPEIEIEIa2aPDACCF1F1BCF2F2解：将各梁从C 处拆开，代以相应的约束反力。ABCDPEIEIEIa2aPDACCF1