杆系结构单元PPT

1、第五章 杆系结构单元5.1 概述杆系结构主要有：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离散成杆元和梁元。 梁拱框架桁架坐标系 有限元中的坐标系有结构坐标系和单元坐标系。对于一个结构，结构坐标系一般只有一个；而单元坐标系有很多个，一个单元就有一个单元坐标，并且对每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元的单元刚度矩阵相同，给单元分析带来方便。XYPxyxy 杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型。它们都只有2个节点i、j。 约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。 对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面

2、上的两个惯性主轴。xyzij5.2 杆单元 下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为A，长度为l，弹性模量为E，轴向分布载荷为px。单元有2个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴x。ijxlLINKpxujui1、一维杆单元单元结点力向量：（1）位移模式和形函数 位移模式单元结点位移向量 因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度，因此单元的位移模式可设为：（5-3）式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件 x=xi 时， u=ui x=xj 时， u=uj确定。再将由此确定的a1、a2 其代入式（5-3），得 （5-4）a1a2 形函数 将式（5-4）改写为下列形式 （5-5）式中形函数N为 （

3、5-6）（2）应变矩阵一维铰接杆单元仅有轴向应变 将式（5-5）、（5-6）代入上式，得 上式也可写为 （5-7）式中B为应变矩阵 （5-8）由应力应变关系 （3）应力矩阵将式（5-7）代入上式，得 （5-9）式中S为应力矩阵 （5-10）(4) 单元刚度矩阵单元刚度矩阵仍式（1-33）推出 （1-33）对于等截面铰接杆单元（截面积为A ） ，v=Adx，故有：(5-11) (5) 等效节点力 单元上作用分布力px，则等效节点力计算公式仍为以下形式 当分布力集度px为常数时，有 （5-13）（5-12）将式（5-8）代入上式，得例5-1 一维拉杆图示阶梯形直杆，各段长度均为，横截面积分别为3A

4、，2A，A，材料重度为，弹性模量E。求结点位移和各段杆中内力。离散化：将单元划分为3个单元，4个结点。单元刚度矩阵： 1 22 33 4等效结点荷载：按静力等效原则，有:对号入座，组成总刚，形成整体结构平衡方程:设结点1的约束反力为F1，则有: 整体结构平衡方程划去节点1所对应的第1行、行1列 。解得结点位移单元应力单元应变单元应变：2、平面桁架杆单元（2D LINK1）1234ijxyl（1）单元坐标单元位移向量1234ijxy看成局部坐标下的拉压杆（2）位移模式和形函数 位移模式 由于平面铰接杆单元只有轴向力。位移模式同式（5-3）、（5-4）。（y方向位移不引起单元力） 形函数（5-14

5、）应变矩阵 B为（5-15） （4）应力矩阵应力矩阵 S为（5-16）（3）应变矩阵（5-16）(6) 局部坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元，（5-17）(5) 等效节点力 静力等效ijxylz3、空间杆单元（3D LINK8）（1）单元坐标单元位移向量124536（5-18） （2）形函数（5-19） （3）应变矩阵（5-20） （4）应力矩阵（5-21） (5) 等价节点力 （5-22） (6) 单元坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元，（5-23）5.4 梁单元1、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元ijxyijxy1234lF1F2F3F4l（1）局部坐标下单元位移和单元力 单元位移

6、（5-24）其中， vy方向位移，即挠度。 角位移。 单元力（5-26）其中， Q剪力 M弯矩（5-27）（2）位移函数和形函数（5-28） 位移模式 设单元坐标位移模式为 形函数 由单元两端点的节点位移条件，解出式（5-28）中的a1、a2、a3、a4。再代入该式，可将位移模式写为以下形式： ijxy1234l梁单元内一点有2个位移： v、因为， =dv/dx；仅一个位移是独立的，取 v 。（5-29）式中（5-30）（5-31） （3）应变矩阵 单元弯曲应变b与节点位移e的关系。 梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为： （5-32）11xyy将式（5-29）代入（5-32），得单元弯曲

7、应变和单元位移之间关系（5-34）（5-33）（4）应力矩阵（5-35）DB (5) 等效节点力 对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。 这里仅考虑把单元上的横向分布载荷转化为等价节点力问题。xyijlpy(x)（5-36） 将形函数矩阵N代入上式，积分可得分布荷载的等效结点力。表1给出了几种特殊情况的等价节点力。荷载分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2- ql2/123ql/20ql2/307ql/20- ql2/20ql/45ql2/96ql/4- 5ql2/96ijqqijqij几种横向分布荷载等价节点力 表 1(6) 单元坐

8、标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为将式（5-34）代入上式进行积分，并注意到Iz梁截面对Z轴（主轴）的惯性矩得单元坐标单元刚度矩阵ke:（5-37） 单元刚度矩阵式(5-38)适合于连续梁分析。（5-38）整体坐标与局部坐标方向一致。例5-4 变截面梁有一变截面梁，一端固定，另一端铰支。梁长为2l，固支端的截面尽寸为b1.6h，铰支端的截面尺寸为bh。梁上作用均布载荷p0。求梁端的约束反力。xy离散化 将梁划分成2个单元，3个结点。每个单元 长度为,截面取平均截面。， 单元刚度矩阵ij 1 2 2 3对号入座，组合整体刚度矩阵 1 2 3123荷载等效结点力向量约束反力向量 1 2 3总荷载

9、向量引入边界条件 将整体平衡方程中对应的1、2、5行和总刚中1、2、5列删去 ，得解方程组，得结点位移值将结点位移值代入整体平衡方程，可得约束反力2、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元 （平面刚架，BEAM3) ijxyijxy2356l14F2F3F5F6lF1F4（1）单元坐标单元位移和单元力 单元位移（5-39）其中， ux方向（轴向）位移。 vy方向位移，即挠度。 角位移。 单元力（5-40）其中， N轴向力 Q剪力 M弯矩 对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按5.3节一维拉压杆单元和弯剪平面梁单元的结果（式5-3和式5-28）简单集合

10、而成。（2）位移函数和形函数 位移模式ijxy2356l14（5-41） 形函数式中形函数N为：（5-42）（5-43）其中, （3）应变矩阵 单元弯曲应变与节点位移e的关系。 轴剪弯梁单元上任一点的应变，应为该点挠度（v）引起的应变和轴向位移（u）引起的应变之和。单元应变矩阵为：（5-44）（5-45） (5) 等价节点力 xyijl图4-9qy(x) （4）应力矩阵（5-46）qx将式弯剪梁（5-36）、一维杆（5-11）膨胀成61矩阵后相加，并注意到式（5-43），有（5-36）（5-11）一维杆弯剪梁最后得等价节点力矩阵（5-47）荷载分布NiQiMiNjQjMj表 2 几种横向分布荷

11、载等价节点力ijqyqxqyijqxqyijqx (6) 单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为（5-48）5.5 坐标变换 在5.3、5.4节中，单元位移和单元力都是按单元坐标系的坐标轴分量定义的，由此建立的单元刚度矩阵属于单元坐标单元刚度矩阵。 进行系统分析时，需要把单元力按统一的结构坐标轴的分量表示出来，以便建立结点平衡方程。因此，在进行系统分析之前，必须把单元坐标系中的单元力以及单元刚度矩阵都转换到结构坐标系中去。此外，还需要把结构坐标系中的节点位移转换到单元坐标系中去，以计算结构内力。这一转换过程称为坐标变换。(一维杆和弯剪梁单元不需要坐标变换，因两种坐标系统方向一致)结构坐标符

12、号约定： 结构坐标单元位移 F结构坐标单元力 k结构坐标单元刚度矩阵 1、坐标变换矩阵定义 把单元位移从结构坐标系转换到单元坐标系的变换矩阵定义为坐标变换矩阵，用符号T表示。有单元坐标中的符号约定：e单元坐标单元位移Fe单元坐标单元力 ke单元坐标单元刚度矩阵 式（5-58）给出了结构坐标单元位移转换为单元坐标单元位移的转换式，同时是坐标变换矩阵T的定义式。 2、结构坐标单元力 单元力在单元位移上作的功，不因其坐标系的改变而变。则有（5-58）将式（5-58）代入，对上式两端进行转置，注意到消去，得即得（5-59）式（5-59）表明：结构坐标单元力等于单元坐标单元力前乘坐标变换矩阵的转置。在单

13、元坐标系中，有 3、结构坐标单元刚度矩阵上式两端左乘TT，注意到式（5-58）、（5-59），有（5-58）（5-59） k结构坐标单元刚度矩阵。得（5-60） 式（5-60）给出了把单元坐标单元刚度矩阵转换为结构坐标单元刚度矩阵的转换式。引入5.6 坐标变换矩阵 坐标变换矩阵因单元类型不同而异。1、平面铰接杆单元（桁架元） 设OXY为结构坐标，oxy为单元坐标。为从单元 i 端出发的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为X、Y；在单元坐标系中的分量为x、y。结构坐标系中的分量X、Y 在单元坐标x轴上投影的代数和给出x 。同理， X、Y 在单元坐标y轴上投影的代数和给出y 。XYxyXYxy（5-

14、61）写成矩阵形式，iim+mnbamnab-am取i节点在单元坐标系中的位移向量i节点在结构坐标系中的位移向量x对X、Y的方向余弦y对X、Y的方向余弦同理可得单元j节点在单元坐标系和结构坐标系中的位移向量：有组合上述结果，得平面铰接杆单元的单元坐标单元位移和结构坐标单元位移之间关系： i、j两节点间的位移变换关系互不耦合。上式可写成坐标变换矩阵T的计算式：（5-62）（5-60）XYij(e)x（5-62a）式中，（Xi，Yi）和（Xj，Yj）分别为节点i和节点j在结构坐标系中的坐标值。例5-2 两根桁架两根杆件的横截面积为A，弹性模量为E，垂直杆长为，两杆铰接处受到水平方向的外力P。求结点

15、位移和杆中的内力。XY（1）单元划分单元：i=1，j=2，=45,单刚为：单元： i=2，j=3，=-90,单刚为：2 3(2)整体刚度矩阵 1 2 3123(3) 等价结点力：仅结点2的结点力可以确定 （4）结构整体平衡方程（5）引入约束1、3结点约束，划去1、2、5、6行与列，得（6）节点位移（7）单元内力整体节点位移变换到单元节点位移。单元应变为单元应力为单元力为（7）单元内力对于单元，i=1,j=2,杆长对于单元，i=2,j=3,杆长l（8）支反力 根据单元平衡求支反力。F1xF1y（7）结点力量 （利用整体平衡方程）将结点位移分量代入整体平衡方程，得结点力量（8）单元内力 2、弯剪平面梁单元 如果在连续梁中使用这类单元，通常可将单元坐标和结构坐标方向取得一致。此时，无须进行坐标变换。ij(e)XYij(e)xyijxy2356l14于是得到：XY 由于1 、 2 、4、 5的性质和平面铰接杆相同，因而有相同的T矩阵。又因单元坐标系xy平面和结构坐标系XY平面在同一平面上， 因而单元坐标系z轴和结构坐标系的Z轴总有相同指向，所以恒有：3、轴剪弯平面梁单元（刚架）（5-63）2、建立起单元坐标系，推演出单元坐标单元特性 矩阵：应力矩阵S、等价节点力列阵Fe、单 元刚度矩阵ke等。