《数理统计》考试题与参考答案

1、数理统计考试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体X和Y相互独立，且都服从正态分布2N(0,3)，而(X1,X2,X9)和(Y1,Y2,Y9)是分XX别来自X和Y的样本，则19U22YY19服从的分布是_.解：t(9)2，设?与1?都是总体未知参数的估计，且2?比1?有效，则2?与1?的期望与方差满足_.2解：?E()E(),D()D()12123，“两个总体相等性检验”的方法有_与_.解：秩和检验、游程总数检验4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_.解：正态性、方差齐性、独立性5，多元线性回归模型YX中，的最小二乘估计是?=_.解：?XY1=(XX)二、单项

2、选择题（每小题3分，共15分）1，设(X1,X2,Xn)(n2)为来自总体N(0,1)的一个样本，X为样本均值，2S为样本方差，则_D_.（A）nXN(0,1)；（B）22()nSn；（C）(n1)XSt(n)；（D）2(n1)X1n2Xii2F(1,n1).2，若总体2XN(,)，其中2已知，当置信度1保持不变时，如果样本容量n增大，则的置信区间_B_.（A）长度变大；（B）长度变小；（C）长度不变；（D）前述都有可能.3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n一定时，下列说法中正确的是_C_.（A）减小时也减小；（B）增大时也增大；（C）,其中一个减小，另

3、一个会增大；（D）（A）和（B）同时成立.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设ST为总离差平方和，Se为误差平方和，SA为效应平方和，则总有_A_.（A）STSeSA；（B）S2A2(1)r；1（C）S/(r1)AS/(nr)eF(r1,nr)；（D）SA与Se相互独立.5，在一元回归分析中，判定系数定义为2RS回ST，则_B_.（A）2R接近0时回归效果显著；（B）2R接近1时回归效果显著；（C）2R接近时回归效果显著；（D）前述都不对.三、（本题10分）设总体2XN(,)、12YN(,)，2(X,X,Xn)和121(Y,Y,Yn)分别122是来自X和Y的样本，且两个样本相互独立，X、Y

4、和22S、S分别是它们的样本均值和样本方差，证明XY(XY)()12S11nn12t(nn2)12，其中22(n1)S(n1)S21X2YSnn212.证明：易知22XYN(,)12nn12，(XY)()12UN11nn12(0,1)由定理可知2(n1)S1X22(n1)，12(n1)S2Y22(n1)22由独立性和分布的可加性可得22(n1)S(n1)S21X2YV(nn2)1222由U与V得独立性和t分布的定义可得(XY)()U12S11nn12V/(nn2)12t(nn2)12四、（本题10分）已知总体X的概率密度函数为x1e,x0f(x),其中未知参数0,0,其它(X,X,Xn)为取自

5、总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量12解：（1）xn11vEXxf(x)dxxedx，用v1XX10ini1代替，所以2n1?XiXn1i（2）n1?E()E(X)E(X)E(X)ini1，所以该估计量是无偏估计五、（本题10分）设总体X的概率密度函数为f(x;)(1)x,0 x1，其中未知参数1，(X,X,Xn)是来自总体X的一个样本，试求参数的极大似然估计12解：L()nn(1)(x),0 x1iii10,其它当0 x1时，inlnL()nln(1)lnx，令ii1dlnL()nd1in1lnx0i，得?1nnlnxii1六、（本题10分）设总体X的密度函数为f(x;

6、)xxe,0;0,x0,未知参数0，(X,X,Xn)为总体的一个样本，证明X是121的一个UMVUE证明：由指数分布的总体满足正则条件可得211I()Elnf(x;)E，2221的的无偏估计方差的C-R下界为21221()11nInn()22另一方面E(X)1，VarX()1n2，即X得方差达到C-R下界，故X是1的UMVUE七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤在一批苹果中随机取9个苹果称重,得其样本标准差为S0.007公斤,试问：（1）在显著性水平0.05下,可否认为该批苹果重量标准差达到要求?（2）如果调整显著性水平0.025，结果会怎样？32222参考数据:(9)1

7、9.0230,0(9)16.919,0(8)17.535,(8)15.507.025.05.025.050解：（1）2n1S222H:0.005,8，则应有：02222P0.0580.005,0.05(8)15.507，具体计算得：2280.00720.00515.6815.507,所以拒绝假设H0，即认为苹果重量标准差指标未达到要求（2）新设2H0:0.005,由280.0072217.535,15.6817.535,0.02520.005则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求八、（本题10分）已知两个总体X与Y独立，22X(,)，Y(,)，1122221,2,1,2未知，(X,X,Xn)和121(Y,Y,Yn)分别是来自X和Y的样本，求1222122的置信度为1的置信区间.解：设SS分别表示总体X，Y的样本方差，由抽样分布定理可知2,2XY2(n1)S1X22(n1)，12(n1)S2Y22(n1)，212由F分布的定义可得2(n1)S1X(n1)2122S1X2FF(n1,n1)22212(n1)SS2YY1(n1)222对于置信度1，查F分布表找F/2(n11,n21)和Fnn使得1/2(11,21)PFnnFFnn，/2(11,21)1/2(11,21)1即P22222S/SS/SXY1XY2F(n1,n1)F(n1,n1)1/2122/2