材料力学课件：第10章 组合变形杆件的强度计算

1、110.2弯扭组合变形的强度计算10.1 拉（压）与弯曲组合变形的强度计算和斜弯曲10.0 组合变形概述一、组合变形概述MPRP拉弯扭组合变形弯扭组合变形210.0 组合变形概述、内力斜弯曲：xyzPyPzPzxyP3水坝qPhg压弯组合变形4二、组合变形的研究方法 外力分析： 叠加原理外力向形心简化并沿主惯性轴分解应力分析： 画危险面应力分布图，叠加， 建立危险点的强度条件。内力分析： 求每个外力分量对应的内力方 程和内力图，确定危险面。叠加原理具体怎么实施？基本变形间是否互相影响？5叠加原理的具体操作：叠加原理的前提：叠加原理的方法：小变形，满足胡克定律 按基本变形理论，确定各种基本变形的

2、应力和变形 杆件组合变形的变形叠加：不同变形在同一截面上同一点沿同一方向的位移按代数叠加； 杆件组合变形的应力叠加：不同变形在同一截面上同一点沿同一方向的应力按代数叠加；6不同变形在同一截面上同一点沿不同方向的位移按矢量叠加；不同变形在同一截面上同一点沿不同方向的应力按应力状态 理论和强度理论进行叠加；xyzP例 斜弯曲分解和叠加：PyPzPzPyyzPj1.分解：外力沿形心主轴分解，得到两个正交的平面弯曲。72.叠加：xyzPyPzPPzPyyzPj 分别对两个平面弯曲的变形和应力进行；然后将计算结果叠加起来8zy1、危险截面？2、危险点？zy思考：若要设计截面，应该如何进行？910外力分析

3、： 叠加原理外力向形心简化并沿主惯性轴分解 求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。内力分析：三、 组合变形杆件的内力图返 回11轴力图弯矩图剪力图例2-12 烟囱的内力图轴力图121314由平衡方程得：* 当力P位于中点时，弯矩最大+画AB杆的内力图15例2-14 画轴的内力图10.1.1 拉(压)弯组合10.1 拉（压）与弯曲组合变形的强度计算和斜弯曲16例101图示结构中，横梁BD为20a工字钢，已知F=15kN，钢的容许应力=160MPa，试校核该梁的强度。F=15kNABCD2.6m1.4mF=15kNBCDFAxFAyFCFN图M图40kN21kN.m解：1720a工字钢

4、截面性质:横梁安全。F=15kNABCD2.6m1.4mFN图M图40kN21kN.m解：18由平衡方程得：* 当力P位于中点时，弯矩最大+例10219+2010.1.2 偏心压缩变形的强度计算偏心压缩的工程实例桥墩21钻床22图1-7 钻床 图1-8 机械臂、机械手23 解：由图可见，载荷F偏离立柱轴线，其偏心距为e=yc+500=200+500=700 mm。在偏心拉力F作用下横截面上的内力及各自产生的应力如图：最大组合正应力发生在截面内、外侧边缘a、b处，其值分别为 例103 图示压力机，最大压力F=1400 kN，机架用铸铁作成，许用拉应力st=35 MPa，许用压应力sc=140 M

5、Pa，试校核该压力机立柱部分的强度。立柱截面的几何性质如下：yc=200 mm，h=700 mm，A=1.8105 mm2，Iz=8.0109 mm4。yFPe500FPFPzyc Chab可见，立柱符合强度要求。 24解：两柱均为压应力例104 图示不等截面与等截面杆，受力F=350kN，试分别求 出两柱内的绝对值最大正应力。图（1）图（2）F300200200F200200MPFd25zyzy10.1.3 一般偏心压缩变形的强度计算简化2627当偏心距足够小时， 整个截面受压；当偏心距足够大时，截面部分受压,其中：截面上任意点(y , z)的应力 部分受拉，存在应力为零的线-中性轴。zy应

6、力分布有何特点？(y , z)28由正应力为零的条件，可得中性轴方程:中性轴的截距为：中性轴危险点：29由正应力为零的条件，可得中性轴方程:中性轴的截距为：中性轴危险点：30zy例105 矩形截面木柱承受偏心荷载FP，如图10-18a所示。 FP=4.8kN。试（1）确定任意截面上A、B、D、E四点的正应力（2）画出横截面上正应力分布图并确定中性轴的位置解 (1)计算截面内力31(2)计算截面几何性质(3)计算截面任意点的应力32(4)截面四个角点的应力33中性轴方程：(5)截面应力分布中性轴位置：34 当偏心压力作用在截面的某个范围以内时，中性轴的位置将在截以外或与截面周边相切，这样在整个截

7、面上就只会产生压应力。通常截面上的这个范围称为截面核心。也称为压应力作用区 10.1.4 截面核心35yzay中性轴截面核心az 确定任意形状截面的截面核心边界的方法： 3. 同样的方法，将与截面相切的其它直线看成中性轴，求出对应的偏心力作用点2、3的坐标，连接1、2、3点所得到的封闭曲线即为截面核心的边界，该边界包围的面积即为截面核心。1. 建立坐标系Oyz，求出iy2、iz22. 以任意一根与截面相切的直线为中性轴，其截距为ay、 az，则其对应的偏心力作用点1的坐标为36zyhbh/6h/6b/6b/6常见截面的截面核心区域当中性轴与边界CD重合（相切）所以对应的载荷作用点为当中性轴与B

8、C重合时,同理可得（1）矩形截面37y当中性轴与角点C相切时38hbzzydd/8d/8中性轴当中性轴与圆周上的D1点相切，即平行于y轴时所以对应的载荷作用点为根据对称性，可知圆的截面核心是以d/8为半径的圆（2）圆形截面39（2）附表4041在小变形和线弹性的条件下，杆件在各种载荷作用下的变形彼此独立、互不影响（ ）构件在一种载荷作用下，不可能发生组合变形，（ ）拉弯组合变形时，中性轴偏于弯曲变形的受拉区（ ）偏心压缩时，杆件截面上的中性轴与外力位于形心的同一边（ ）偏心拉伸（压缩）的偏心距足够小时，截面上的最大弯曲应力将小于拉（压）应力，则杆件截面上的中性轴一定在截面边界或边界以外（ ）偏

9、心拉伸（压缩）时，杆件截面上的中性轴是根据偏心压力大小和偏心距的大小来确定的（ ）42偏心拉伸（压缩）时，杆件截面上的中性轴是根据偏心矩大小和截面的形状和大小来确定的（ ）偏心拉伸（压缩）时，杆件截面上的中性轴位置与所受外力的大小和杆件的材料性质无关（ ）偏心拉伸（压缩）时，截面核心由偏心力的大小和杆件的材料性质来确定的（ ）43实例：房屋结构中的檩条定义： 变形后，杆件的挠线与外力不共面的弯曲称为斜弯曲。斜弯曲可分解为两个平面弯曲。计算方法：叠加法10.1.4 斜弯曲梁的应力和强度计算44xyzFFzFyxyzFyxyzFz+10.1.4 斜弯曲梁的应力和强度计算（1）外力分解45xyzFy

10、xyzFzxxzzyyMz=FyxMy=Fzxbbhh（2）应力分布46zzyyMz=FyxMy=Fzxbbhhzybh+（3）应力叠加47zybhefzzyyMz=FyxMy=Fzxbbhh+（4）危险点应力危险点在哪里？怎么求？48zybhefFyzoef中性轴y0中性轴的位置（5）中性轴返回49ab例106 简支梁由No.16工字钢制成。L=4m, F=7kN, =200, =160MPa, 试校核此梁的强度。怎么看截面图？哪里受拉受压？危险点在哪里？5051例10-6图 工字钢梁在倾斜力作用下的斜弯曲(a)两方向简支工字钢梁，（b）简化计算图，（c）C截面的内力图，（d）y方向外力引起

11、的C左截面内力图，（e）z方向外力引起的C左截面内力图解: (1) 内力计算：（2）应力分析No.16工字钢：内力该怎么求？52当F作用在纵向对称面时， =0。此时（3）危险点的应力：ab53ab例107 No.20a工字钢悬臂梁受均布载荷q和集中力 F=qa/2作用。如图10-16a所示。已知弯曲许用应力 =160MPa，a=1m。试求梁的许可荷载集度q。图10-16a54解: (1) 外力分解：图10-16b图10-16c图10-16d返回55（2）作出梁的内力图No.20a工字钢：（3）截面几何性质A、D是可能的危险面， 受拉 、 受压，是可能危险点abab56（4）应力分析可见，梁的危

12、险点在截面A的棱角点 处，受拉：a由强度条件57ABl例118图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知q=0.5kN/m，l=4m，=30，容许应力=10MPa，试校核该梁的强度。q80120zyq解: (1) 外力分解： (2) 内力计算：58ABlq80120zyq此梁安全。(3) 强度计算：59xyzFzyF10.1.4 斜弯曲梁的挠度计算 以悬臂梁的斜弯曲为例 (1) 外力分解：60(2) 斜弯曲梁的位移叠加法总挠度：大小为：zyF中性轴(+)(-)wwzwy61设总挠度与y轴夹角为 ：一般情况下， 即挠曲线平面与荷载作用面不相重合，为斜弯曲。但总挠度的方向与中性轴垂直 zyF中性轴(

13、+)(-)wwzwy斜弯曲的中性轴斜弯曲的挠曲线问题 单一外力作用，平面曲线，斜弯曲6263例9-12 矩形截面的简支木梁，尺寸与受力如图9-30a所示，=30,b=110mm, h=160mm，l=4m，q=1.6kN/m。梁的弹性模量E=10MPa，许用挠度w/l=0.00525。试校核木梁的刚度。简支梁的斜弯曲（a）结构受力图，（b）横截面的几何图64解：（1）外力分解(2) 截面的几何性质(3)刚度计算65（4）梁的最大总挠度所以，梁的刚度安全。例109 有一屋桁架结构如下图（a）所示。已知：屋面坡度为1：2，二桁架之间的距离为4m，木檩条的间距为1.5m，屋面重（包括檩条）为1.4k

14、N/m2。若木檩条采用120 mm180mm的矩形截面，所用松木的弹性模量为E=10GPa，许用应力=10MPa，许可挠度f= ，试校核木檩条的强度和刚度。解（1）确定计算简图 其计算简图如图（b）和（c） 所示。（2）内力及有关数据的计算66=4200 Nm =4200 Nm=4.2 kNm屋面坡度为1：2，即 或 。 故 =0.4472， =0.8944=0.583210-4mm4 （发生在跨中截面） 67=0.259210-4mm4 mm mm （3）强度校核MPa满足强度要求 68（4）刚度校核最大挠度发生在跨中总挠度 mm= 满足刚度要求69FLMFaT_CxLayzAFBdFFa图

15、式摇臂轴，在力F的作用下，轴AB受扭矩和弯矩的共同作用10.2 弯扭组合变形的强度计算10.2.1 简单弯扭组合变形70AattbsstsatsbssCxLayzAFBd危险面在A截面，危险点在a、b点，其应力状态如图所示71(1)应力叠加ABPABm=Pa+M图T图+=dd(1)应力叠加72AassAassAattbyzCyzyzxxxttb (2) 危险点及应计算。a点b点73Aattbss (2) 危险点应力按强度理论叠加、强度条件。74d最大应力发生在圆周边缘10.2.1当圆截面杆受到两个方向的弯矩作用时-斜弯曲换成极坐标表示危险点在那里？最大应力=？75当截面只有两个方向的弯矩时d

16、即合弯矩M线就是中性轴， D1、D2是危险点76中性轴d10.2.2 当圆截面杆只受弯矩(斜弯曲)和扭矩作用时 D1、D2是危险点合弯矩77危险点的应力叠加和强度条件10.2.1 当圆截面杆只受弯矩(斜弯曲)和扭矩作用时 危险点的应力状态78lyzyz10.2.3 当圆截面杆受一般内力-拉(压)、弯矩(斜弯曲)和扭矩作用时任意截面内力简化为计算时忽略剪力ddd79当截面受一般内力时，强度计算如下d 危险点的应力状态危险点的应力叠加和强度条件80例10-8 转动轴AD入土10-12a所示，轴上两胶带轮的直径D=500mm，轮C上的胶带拉力沿铅锤方向，轮D上的胶带拉力沿水平方向，胶带拉力FT1=5

17、kN， FT2=2kN。已知轴的许用应力=160MPa，不计轴和轮的自重，试按第四强度理论设计该轴的直径。81解: (1) 外力简化，如图13-21b：（2）作出梁的内力图，如图12-21b-i计算简图（3）危险面的总弯矩C、B是可能的危险面82（4）设计截面，根据第四强度理论83解：拉扭组合,危险点应力状态如图例10-10 d = 0.1m的圆杆受力如图,M = 7kNm, P=50kN, = 100MPa, 按第三强度理论校核强度。故，安全。AAPPMM84858687图示折杆危险截面上危险点的应力状态，有图(A)、(B)、(C)、(D)四种情况，正确答案是( )8889固定端的内力9091929394解：1 作出梁的内力图，952. 作出梁的内力图，解 1. 把外力向B截面形心简化得962.画轴的内力图：1.以整体为研究对象：97例10- 9 空心圆杆，d=24mm，D=30mm，P1=600N，=100MPa， 第三