高等动力学课件：lecture17-3D

1、 Lecture 173D刚体动力学分析动力学初步内容回顾刚体一般运动的动力学方程质心运动定理 对质心动量矩定理 与欧拉角的关系轴对称刚体，可利用莱沙尔坐标系建立动力学方程圆球的纯滚动问题设圆球的半径为a，质量为m，中心C的在惯性坐标系下的坐标为（x,y,z）,z轴竖直向上 ，分析圆球的运动圆球的纯滚动问题由于J1=J2=J3=J, 可以任意建立中间参考系。取C如图所示：C: 质心， A点为接触点，C沿AC方向其它两个轴C, C轴在过球心C并与AC垂直的平面上。球的绝对角速度在C中的分量表示中间参考动坐标架C在惯性系下的角速度 该角速度可根据质心的位置矢量和速度矢量确定。外力在中间坐标系下的分

2、量为纯滚动的运动约束方程或 圆球的纯滚动问题质心运动方程动量矩方程e2e3jkAOx设S是固定斜面，与水平方向的夹角为。分析圆球的运动。建立中间参考系为平动参考系Oe1e2e3运动约束方程圆球的纯滚动问题质心运动方程动量矩方程e2e3jkAOx可以求出球心轨迹是一平行斜面的抛物线 约束力非惯性系中的刚体动力学设车厢的加速度为a，指向左。陀螺的支点固定在车厢地板上。惯性力是-Ma，作用在质心C上，M是陀螺的质量 。分析匀加速车厢的陀螺规则进动的条件 非惯性系中的刚体动力学平动非惯性系规则进动时的条件 重力和惯性力的合力为 转动非惯性系：陀螺设圆轮的质量均匀地分布在其边缘上，总质量为M，半径为R。

3、轮子绕自身对称轴（水平放置）Ox以匀角速度 。而Ox以匀角速度转动。求惯性力的主向量和通对O点的主矩。 xyzABOr转动非惯性系：陀螺xyzABOr选择非惯性参考系：Oxyz非惯性参考系的运动：角速度k圆盘在非惯性参考系中的运动：绕ox轴的定轴转动：-i圆盘所受到的惯性力：牵连惯性力：对各轴对称，因此牵连惯性力所引起的主向量和主矩均为零。科氏惯性力：转动非惯性系：陀螺xyzABOr微小单元dm上的惯性力为微小单元dm上的惯性力对质心的力矩科氏力将引起附加的陀螺力矩。陀螺力矩（在非惯性系下考虑轴对称刚体的定点运动）在非惯性参考系下考虑轴对称刚体定点运动的动力学问题。xyznsO坐标系说明：Ox

4、,y,z:惯性参考系Ons:莱沙尔非惯性参考系O:刚体固连坐标系非惯性参考系的角速度刚体在非惯性参考系下的运动：定轴转动陀螺力矩（在非惯性系下考虑轴对称刚体的定点运动）惯性力系：牵连惯性力：其中：科氏力由于On, Os, O是刚体的主轴，故xyznsO牵连惯性力对O点的力矩为科氏惯性力对O点的力矩为规则进动下的陀螺力矩nOzL框架Oz绕Oz做匀速进动，进动的角速度为，转子的自转角速度为。章动角为。求陀螺力矩。规则进动下的陀螺力矩陀螺力矩即为科氏力所引起的惯性力矩，则其中：则惯性力所引起的力矩为对应慢进动的情况，牵连惯性力所引起的惯性力矩可忽略不计。nOzL均质球在非惯性系下的运动一均质球在以恒

5、定角速度绕固定竖直轴转动的水平面上做纯滚动。圆球的半径为R。证明：球心在惯性空间中的的轨道是圆，且周期是7/ .Ae1e2e3zyxrROC坐标系： Oxyz: 惯性参考系，Oz:固连坐标系,角速度为kCe1e2e3:相对于Oz做平动的平动参考系均质球在非惯性系下的运动球的绝对角速度为：运动约束方程：接触点A处的相对速度为零（1）质心运动定理质心动量矩定理（2）（3）对运动约束方程求导（4）Ae1e2e3zyxrROC将（3）（2）依次代入（4）,消去F变量。均质球在非惯性系下的运动在坐标系Oxyz中的分量形式（5）对上式积分将（6）代入（5），消元（6）对上述微分方程积分回代到方程（6）轨迹

6、方程为欧拉情形下的定点运动与欧拉角一个边长分别为2a,2a,4a的均质长方体绕其质心做定点自由转动，使其以角速度围绕一条对角线转动。求：通过质心平行长边的线在空间描出的圆锥的半顶角，并求这条直线沿圆锥运动一周所需要的时间。e3e2e1Gxyzns欧拉情形下的定点运动与欧拉角绕中心主轴的转动惯量为角速度矢量在固连坐标系下的分量表示为I1=I2,故3为常数，长方体绕G做规则进动。外力矩为零，动量矩守恒。G为常矢量，e3e2e1Gxyzns空间固定矢量G的大小和与e3轴之间的夹角为欧拉情形下的定点运动与欧拉角采用莱沙尔坐标系，建立主轴角速度与欧拉角表示的角速度之间的关系。运动一周所需要的时间为e3e

7、2e1Gxyzns分析力学初步分析力学的主要内容：约束作为一个基本的力学元素嵌入到动力学建模分析当中。分类：Lagrange力学Hamilton力学（以新的力学原理反映物体运动的规律）重要性：继承了经典牛顿力学的基本原则建立了通向复杂系统分析的手段成为经典力学向近代物理（统计力学、量子力学）过渡的桥梁。学习的主要内容：分析力学中常用的数学概念约束的定义与分类虚位移原理与达朗伯原理Lagrange方程与首次积分稳定平衡位置的小振动问题Hamilton正则方程Hamilton原理基于能量和曲线坐标系描述的质点动力学方程考虑一自由质点M，并建立相应的曲线坐标系q1,q2,q3,矢量r在该曲线坐标系中表示为质点的速度为速度矢量v是关于曲线坐标q和广义速度的函数。其偏导数为可以证明：存在如下的关系基于能量和曲线坐标系描述的质点动力学方程证明：则即，存在如下两个关系式能量表示的质点动力学方程牛顿运动定律采用动能表示的质点在曲线坐标系下的动力学方程为以上方程，即为质点动力学的Lagrange方程保守系统：当外部力是有势力时，这时在曲线坐标系上，用动能表示的质点的动力学方程形式可以进一步简化。Lagrange函数设外部力F是有势力，则F的元功可表示为某个函数的全微分则曲线坐标系下的质点动力学方程为定义如下的Lagrange函数： L=T-