全等三角形判定和性质问题

1、全等三角形判定和性质问题【例题1】（2019金州省安顺市）如图，点 B、F、C E在一条直线上，AB/ EQ AC/FD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定 AB室4DE用勺是（C. AB= EDD. BF= EC【例题2】（2019?黑龙江省齐齐哈尔市）如图，已知在ABCF口4DEF中，/ B= / E, BF= CE，点R F、CE在同一条直线上，若使 ABC DEI?则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）【例题 3】（2019?铜仁）如图，AB= AC ABL AC ADL AE 且/ ABD= Z ACE、选择题1.（2019 ?广东）如图，正方形 ABCD勺边长为4,延长CB至E使

2、EB=2,以EB为边在上方作正方形 EFGB延长FG交DCF M连接AM AF, H为AD勺中点，连接FH别与AB.A限于点M K.则下列结论：4AN用 GNF/ AFN=/HFGFN=2NK及afn：8adm=1 : 4 ,其中正确的结论有（）A. 1个B .2个C . 3个D .4个I)（2019?广西池河）如图，在正方形 ABCDK点E, F分别在BC CD上，B& CF则图中与/ AEBffi等的B. 2C. 3D. 4（2019?湖北天门）如图，AB为。的直径，BC为。的切线，弦AD/ OC直线C改 BA的延长线于点 E, 连接BD.下列结论： CD是。的切线；COL DB EDM

3、EBDED?BC= BOBE其中正确结论的个数有（）4. （2019?湖北孝感）如图，正方形C. 2个D. 1个ABCDK点E.F分别在边CD AD上，BE与CF交于点 G 若BC= 4, DE=AF= 1,则GF的长为（DBCA.B-D.16（2019?山东省滨州市）如图，在 OAB和4OCD中，OA OB OC= OD OA OC / AOB= Z COD= 40连接AC BD交于点M连接OM下列结论：AC= BD/ AMB= 40。；OMp分/ BOCMOF分/ BMC.其中正确的个数为（）OA. 4B. 3C. 2D. 1（2019例南）如图，在四边形ABC阴，AD/BC / D= 9

4、0,AD= 4,BC= 3.分别以点A,C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点Q若点O是AC的中点，则CD的长为（）A. 2&B. 4C. 3D. -710（2019?山东临沂）如图， D是 AB上一点，DF交 AC于点 E, DE= FE FC/ AB 若 AB= 4, CF= 3,则 BD1二、填空题C. 1.5D. 2（2019四川成者B）如图，在ABC43,AB=AC点D,E都在边BC上，/ BAB/CAE若BD=9,则CE的长为 （2019?湖南邵阳）如图，已知AD= AE,请你添加一个条件，使得AD8 AER你添加的条件是.（不添加任何字母

5、和辅助线）（2019?天津）如图，正方形纸片ABCD勺边长为12, E是边CD上一点，连接 AE,折叠该纸片，使点 A落在AE上的G点，并使折痕经过点 B,得到折痕BF,点F在AD上，若DE=5则GE的长为.（2019?广东省广州市）如图， 正方形ABCD勺边长为a,点E在边AB上运动（不与点 A, B重合），/DAM= 45。，点F在射线AM匕且AF=在BE CF与AD相交于点 G连接EC EF, EG则下列结论：/ ECF= 45 ; AEG勺周长为（1+1） a；bU+dG=eG; EAF的面积的最大值 a2.28（2019?山东临沂）如图，在 ABC43, / ACB= 120 , B

6、C= 4, D为 AB的中点，DC_BC 则 ABC勺面积是、解答题（2019?湖南长沙）如图所示，正方形 ABCD点E, F分别在AD CD上，且DE CF AF与BE相交于点G.(1)求证：BE= AF; (2)若 AB= 4, DE= 1,求 AG的长.（2019?湖南怀化）已知：如图，在 ？ABCD, AE! BC CF!AD E, F分别为垂足.（1）求证： AB国ACDF（2019?湖南岳阳）如图所示，在菱形ABCDK点E.F分别为AD.CD边上的点，DE= DF,求证：/ 1=7 2.SC（2019?甘肃）如图，在正方形 ABCDK 点E是BC的中点，连接 DE过点 A作AGL

7、ED交DE于点F,交CDT点G(1)证明： ADG2ADCE(2)连接 BF,证明：AB= FB.(2019 山东枣庄)在 ABO43, / BAC= 90 , AB= AC ADL BC于点 D.(1)如图1,点M N分别在ADAB上，且/ BMN90 ,当/ AMN= 30 , AB= 2时，求线段 AM勺长;(2)如图2,点E, F分别在AB, AC上，且/ EDF= 90 ,求证：BE= AF;(3)如图3,点MB AD的延长线上，点 N在AC上，且/ BMN= 90 ,求证：ADAN= AM(2019?河北)如图， ABC4ADE中，AB= AD= 6, BC= DE / B= /

8、D= 30 ,边 AD与边 BC交于点 P(不与点B, C重合)，点B, E在AD异侧，I为AAPC勺内心.(1)求证：/ BAD= / CAE(2)设AP= x,请用含x的式子表示PD并求PD的最大值;m n的值.(3)当ABL AC时，/ AIC的取值范围为 m。v / AIC OC / AOB= Z COD= 40M 连接OM下列结论：AC= BD/ AMB= 40 ;OIW分/ BOCM评分/ BMC.其连接AG BD交于点C. 2D. 1【解析】由SAS证明 AOC BOD导出/ OCA= / ODB AC= BD,正确；由全等三角形的性质得出/ OAC= / OBD由三角形的外角性

9、质得：/ AMB/ OAC= /AOB/OBD得出/ AMB =/ AOB= 40 ,正确；作 OG_M什 G OHLMB H,如图所示：则/ OGC/ OHD 90 ,由 AASffi明 OC ODH（AAS ,得出OG= OH由角平分线的判定方法得出 MOP分/ BMC正确；即可得出结论./ AOB= / CO吩 40 / AOB/AOD= / COD/ AOD即 / AOC= / BODrOA=OB在 AOCDABOD, Z?y3C=ZB0D , lOC=OD. AO仁 BOD( SAS,./ OCA= / ODB AC= BD 正确;AM+/ OAG / AOBZ OBD / OA住

10、/ OBD由三角形的外角性质得：/，/AMB= /AOB= 40 ,正确；作 OGLMCF G, OHLMB H,如图所示：则/ OGC/ OHD= 90 ,rZOCA=Z 0D6在4OC密口AODFH, ZOGC=ZOHD , ；,OC=ODOCG ODH AAS,：.OG OHMM分/ BMC正确；正确的个数有3个。Q6. （2019例南）如图，在四边形ABC阴，AD/BC ZD= 90,AD= 4,BC=3.分别以点 A, C为圆心，大于Lac长为半径作弧，两弧交于点 E,作射线BE交AD于点F,交AC于点Q若点O是AC的中点，则CD的长为（）A. 2 =B. 4C. 3D. 一 故选：

11、A.【解析】连接 FC,根据基本作图，可得 OE垂直平分AC由垂直平分线的性质得出 AF= FC.再卞!据ASAffi 明 FOA2 4BOC那么AF= BC= 3,等量代换得到 FC= AF= 3,利用线段的和差关系求出 FD- AD- AF= 1.然 后在直角 FDCf利用勾股定理求出 CD勺长.如图，连接FC,则AF= FC./AD/ BCZ FAO / BCO在 F0Atl BOW,ZFAO=ZBCOb,ZAOF=ZCOBFO库 BOC (ASA,. AF= BC= 3,.FC= AF= 3, FD= AD- AF= 4-3= 1.在FDC4/ D= 90 ,.CD+dF= FC2,.

12、CD+12=32,CD=2 恒故选：A.7. （2019?山东临沂）如图， D是AB上一点，DF交AC于点E DE FE FC/ AB若AB= 4,CF= 3,则 BD的长是（）B CA. 0.5B. 1C. 1.5D. 2【答案】B.【解析】根据平行线的性质，得出/A= /FCE /ADE= / F,根据全等三角形的判定，得出AD降 CFE根据全等三角形的性质，得出AD= CF,根据AB= 4, CF3,即可求线段 DB的长. CF/ AB,.Z A= / FCE / ADE= / F,探 ZFCE在 AD丽 FCE中 ZADE=ZF，lde=fe. AD摩 CFE （AAS, . AD=

13、C已 3, AB= 4, .DB= AB- AD= 4-3=1.二、填空题（2019四川成者B）如图，在ABC43,AB=AC点D,E都在边BC上，/ BAB/CAE若BD=9,则CE的长为 【答案】9【解析】此题考察的是全等三角形的性质和判定，因为 ABB等腰三角形，所以有AB=AC / BA/ CAE/ABD=/ACE 所以 ABD AACEAS/A,所以 BD=二次，EG9.XH （2019?湖南邵阳）如图，已知AD= AE,请你添加一个条件，使得AD8 AER你添加的条件是.（不添加任何字母和辅助线）【答案】AB= AC或/ ADC= / AEB或/ ABE= / ACDASA. SA

14、S【解析】根据图形可知证明 AD学4AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用AAS证明两三角形全等.，可以添加AB= AC此时满足SAS添加条件/ ADO /AEB此时满足ASA添加条件/ AB巳/ACD此时满足AAS故答案为 AB= AC或 Z ADG= Z AEB / ABE= Z ACD（2019?天津）如图，正方形纸片 ABCD勺边长为12, E是边CD上一点，连接 AE,折叠该纸片，使点 A 落在AE上的G点，并使折痕经过点 B,得到折痕BF,点F在AD上，若DE=5则GE的长为.辆tin融,49【答案】竺13【解析】因为四边形 ABCDL正方形，易得 AF芈 DE/A

15、. AF=DE=5,则BF=13.又易知 AFW4BFA 所以也 空，即AH60 ,，Ah=2AH=120 , 由勾股定理得 AE=13, .GEAEAG BA BF 131349 13（2019?广东省广州市）如图， 正方形ABCD勺边长为a,点E在边AB上运动（不与点 A, B重合），/DAM= 45。，点F在射线AM匕且AF= yfBE, CF与AD相交于点 G连接EC EF, EG则下列结论：/ ECF= 45 ; AEG勺周长为（1+四）a；bU+dG=eG; EAF的面积的最大值-La2.28其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）鼠故答案为.【解析】如图1中，在BC上截取B用

16、BE连接EH BE= BHH /EBhk 90 ,EH= BEE, AF 二BE, . AF EH/ DAM / EHB= 45 , / BAD= 90 ,./ FAE= / EHC= 135 ,BA= BC BE= BH, . . AE= HCFA除 EHC( SAS,EF= EC / AEE / ECH/ ECHZCEB= 90 ,./AEF+/CE&90 , ./ FEC= 90 ,丁./ ECF= / EFC= 45 ,故正确，如图 2 中，延长 ADiJ H,使得 DH= BE 则 CBB CDH( SAS,./ECB= / DCH / ECH= Z BCD= 90 , ./ ECG

17、= Z GCH= 45. CG= CG CE= CH . .GC自 GCH( SAS, EG= GH. GH= DGDH DH= BEEG= BEOG故错误,.AEG勺周长=ABE(+AG= AGGH= ADHAE= ABEBAAABAD= 2a,故错误,设 BE= x,贝U AE= a- x, AF= 72x, Sa aef=(a x) x x2(x1 ax+4a-)=-春(x-b-l!x = 7j-a 时,L-i AEF的面积的最大值为2一一 z.a .故正确,故答案为.图2El12. （2019?山东临沂）如图，在 ABC中，Z ACB= 120 , BC= 4, D为 AB的中点，DC

18、LBC则 ABC勺面【答案】8 .一；.AD=BD 根【解析】根据垂直的定义得到/BCD= 90 ,得到长 CD到H使DH= CD由线段中点的定义得到据全等三角形的性质得到 AH= BC= 4, / H= Z BCD= 90 ,求得CD= 2/3,于是得到结论. DCL BC/ BCD 90 , /ACB= 120 , .ACD= 30 ,延长 CDgU H 使 DH= CQ.D为AB的中点，AD= BQrCD=DH在ADHW ABCD, /ADH=/BDC,居二BDADH2 BCD（ SAS,AH= BC= 4, / H= Z BCD= 90 ,./ACH= 30 , . CH= /AH=

19、4/3,. CD= 2.ABC勺面积=2Sa bcl 2X -X4X2 伤=8 百,(2019?湖南长沙)如图，正方形 ABCD点E, F分别在AD CDk,且DP CF, AF与BE相交于点G(1)求证：BE= AE(2)若 AB= 4, DE= 1,求 AG的长.【答案】见解析。【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握 正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键.(1)证明：.四边形 ABCDI正方形，./BAE= /ADF= 90 , AB= AD= CD. DE= CF,. AE= DF,rAB-AD在 BAEADF中，ZBAEZADF

20、 ,二DEBAE ADF (SAS,BE= AF;(2)解：由(1)得： BA白 ADF / EBA= / FAD/ GAE/AEG= 90 ,./ AGE= 90 , AB= 4, DE= 1, . AE= 3,BE= Jab 沁E-Jj+s2=5 在 RtMBE中，-lABx AE=1-BEx AG.AP 4 义 3 12AG= 55(2019?湖南怀化)已知：如图，在 ？ABC珅，AE! BQ CD AD E, F分别为垂足.(1)求证： AB除ACDF【答案】见解析。【解析】(1)证明：四边形 ABCD1平行四边形,. ./ B= / D, AB= CD AD/ BCAE BC CF1

21、 AD,/ AEB= / AEC= / CFD= / AFC= 90 ,rZB=ZD在ABEACDF, ，ZAEB=ZCFD ,=CD. ABE CDF(AA;(2)证明：AD/ BC/ EAF= / AEB= 90 ,./EAF= /AEC= Z AFC= 90 ,四边形AECF矩形.（2019?湖南岳阳）如图所示，在菱形ABCDK点E.F分别为AD.CD边上的点，DE= DF,求证：/ 1=7 2.【答案】见解析。【解析】由菱形的性质得出 A4 CQ由SAS证明 AD回ACDE即可得出结论.证明：四边形 ABC/菱形，AD= CDrAD=CD在 ADFnCDE43, 4 Nd=Nd , l

22、df=de.ADg CDE( SAS,1 = / 2.(2019?甘肃)如图，在正方形 ABCDK点E是BC的中点，连接 DE过点A作AGL ED交DE于点F,交CDT点G(1)证明： ADG2ADCE(2)连接 BF,证明：AB= FB.AD【解析】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注 意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.(1)二.四边形 ABC比正方形，./ ADG= / C= 90 , AD= DC又 AGL DE/ DAG/ADF= 90 =Z CDE/ADF/ DAG= / CDE. AD窿 DCE (ASA；(

23、2)如图所示，延长 DE交AB的延长线于H,E是BC的中点，BE= CE又. / C= / HBE= 90 , / DEC= / HEBDCE2 HBE (ASA,BH= DG= AR即B是AH的中点，又/ AFH= 90 ,.RtMFH中,BF= AH= AB.2A017. (2019 山东枣庄)在 ABC, / BAG= 90 , AB= AG ADL BC于点 D.(1)如图1,点 M N分别在AD AB上，且/ BMN90 ,当/ AMN= 30 , AB= 2时，求线段 AM的长；(2)如图2,点E, F分别在 AB AC上，且/ EDF= 90 ,求证：BE= AF;(3)如图3,

24、点M在AD的延长线上，点 N在AC上，且/ BMN= 90 ,求证：A&AN= J0AM【答案】见解析。【解析】(1)根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD= BD= DC=/2,求出/ MB吩 30。，根据勾股定理计算即可；. / BAC= 90 , AB= AC ADL BCAD= BD= DC / ABC= Z ACB= 45 , / BAD= Z CAD= 45 ,AB= 2,AD= BD= DG=/2,. / AMN= 30 ,./BMD= 180 -90 -30 =60 ,/ MBD 30 ,由勾股定理得，bM dMU bD,即(2dm 2dMU (依)2, 解得，D阵近3

25、 .AM= AA DM=6-强；3(2)证明：. ADL BC / EDM 90 , ./ BDE= / ADR在 BDE ADF 中，rZB=ZDAF-D方DA,1Zbde=ZadfBDE2 ADF (ASABE= AF;(3)证明：过点 M作ME/ BC交AB的延长线于E, ./ AME= 90 ,则 AE= VAM / E= 45 ,ME= MAAME= 90 , / BMN= 90 ,.Z BME= / AMN在 BM序口 4 AM附，Ne =/MAN一*IA,lZBBlE=ZAmBMm AMN( ASA,BE= AN，ABAN= ABBE= AE= EAM图318. （2019?河北）如图， ABCAADE中，AB= AD= 6, BC= DE / B= / D= 30 ,边 AD与边 BC交于点 P （不与点B, C重合），点B, E在AD