1.4.2存在量词 (3)

1、1.4全称量词与存在量词1.理解全称量词与存在量词的意义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.1231.短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.【做一做1】 下列命题中含有全称量词的是()A.至少有一个自然数是2的倍数B.存在小于零的整数C.有些整数是负数D.若a

2、,则直线a垂直于平面内的任一直线答案:D1232.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号xM,p(x)表示,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”,可用符号x0M,p(x0)表示,读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”.归纳总结 全称命题中的全称量词表明给定范围内的所有对象都具有某一性质,无一例外;而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外,两者正好构成相反意义的表述.123【做一做2】 下列语句是特称命题的是()A.整数n是2和7的倍数B.存在整数n,使n能被11整除C.x7D.xM,p(x)成立解析:B选项中有存

3、在量词“存在”,故B项是特称命题,选项A和选项C不是命题,选项D是全称命题.答案:B1233.含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p:xM,p(x),它的否定p:x0M,p(x0),是特称命题;(2)特称命题p:x0M,p(x0),它的否定 p:xM,p(x),是全称命题.【做一做3-1】 “至多有三个”的否定为()A.至少有三个B.至少有四个C.有三个D.有四个答案:B【做一做3-2】 已知命题p:xR,sin x1,则 p是.答案:x0R,sin x011.全称命题与特称命题的辨析剖析判定一个命题是全称命题还是特称命题时,主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词.要注意的是有些全称命

4、题中并不含有全称量词,这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断.如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.2.全称命题与特称命题的真假剖析要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立;但要判定一个全称命题是假命题,却只需找出集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”).要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x0,使得p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.3.含有一个量词的命题的否定剖析全称命题和特称命题的否定,其模式是固定的,即把相应的全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词,再对p

5、(x)进行否定.熟练地掌握下列常用词语的否定,对写出含有一个量词的命题的否定有很大帮助.归纳总结 1.对于省略了全称量词的全称命题的否定,一般先改写为含有全称量词的命题,再写出其否定.2.实际应用中,若从正面证明全称命题“xM,p(x)”不容易,可证明其反面“x0M,p(x0)”是假命题,反之亦然.题型一题型二题型三【例1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题:(1)负数没有对数;(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;(3)xx|x是无理数,x2是无理数;(4)x0 x|xZ,log2x00.分析(1)虽然表面上看并不含量词,但从意义上来理解却含有“全部”“所有的”这样的意思;(

6、2)(3)(4)明显含有量词.解:(1)和(3)为全称命题;(2)和(4)为特称命题.题型一题型二题型三【变式训练1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题,并用“”或“”符号表示该命题.(1)不等式x2+x+10恒成立;(3)等式sin(+)=sin +sin 对有些角,成立;(4)方程3x-2y=10有整数解.解:(1)是全称命题,可用“”符号表示为:xR,x2+x+10.(2)是全称命题,可用“”符号表示为:xQ(3)是特称命题,可用“”符号表示为:0,0,使sin(0+0)=sin 0+sin 0.(4)是特称命题,可用“”符号表示为:x0Z,y0Z,使3x0-2y0=10.题型一题型二

7、题型三【例2】 指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假.(1)xN,2x+1是奇数;(3)存在一组m,n的值,使m-n=1;(4)至少有一个集合A,满足A1,2,3.题型一题型二题型三解:(1)是全称命题.因为对任意自然数x,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.(2)是特称命题.因为不存在x0R, ,所以该命题是假命题.(3)是特称命题.当m=4,n=3时,m-n=1成立,所以该命题是真命题.(4)是特称命题.存在A=3,使A1,2,3成立,所以该命题是真命题.反思 要判定一个全称命题是真命题,需要对限定集合中每一个元素都验证其成立;但要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合

8、中找到一个元素成立即可.题型一题型二题型三【变式训练2】 已知命题:p1:a1,函数y=ax-a-x在R上为增函数,p2:a1,函数y=ax+a-x在R上为减函数,则在命题q1:p1p2,q2:p1p2,q3:(p1)p2和q4:p1(p2)中,真命题是()A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q4解析:p1为真,p2为假,则q1为真,q2为假,q3为假,q4为真.答案:C题型一题型二题型三【例3】 写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)有些质数是奇数;(2)所有二次函数的图象都开口向上;(4)不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根.分析先判断命题是全称命题还是特称命

9、题,再写出它的否定.题型一题型二题型三解:(1)“有些质数是奇数”是特称命题,其否定为“所有质数都不是奇数”,它是假命题.(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题,其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”,它是真命题.(3)“x0Q, ,其否定为“xQ,x25”,它是真命题.(4)“不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根”是全称命题,其否定为“存在实数m0,使得方程x2+2x-m0=0没有实数根”,它是真命题.反思 含有一个量词的命题的否定中,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.注意有些原命题无关键量词,但隐含着其含义,要注意辨析.题型一题型二题型三【变式训练3】 写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)p:一切分数都是有理数;