高考数学北师大理一轮复习第章数列高考专题突破三高考中的数列问题文档

1、高考专题突破三高考中的数列问题考点自测4026B-2014快速解答自查自纠1.设等差数列“和等比数列（仇首项都是1,公差与公比都是2,则程+%+他+64+他, 等于（） TOC o 1-5 h z A. 54B. 56C. 58D. 57答案D解析 由题意得 / %= 1 + 2（n - 1） = 2? - 1 , bn = 1 X2n-1 = 2;/-1 f ：.ab + 十 ab5 二。】十色十4+ “8 + 16 =1+3 + 7+15 + 31= 57.2.已知等比数列的各项都为正数，且当 2 3时，w-4 = 102,则数列 lg/i.21gt/2.22lgt/3.23lgt/4.

2、2 Ugw 的前/?项和 S” 等于（）A2“B. （- 1）2L1一1C. （一 1）2+1D. 2+1答案c解析等匕檄列如的各项都为正数，且当心3时，“W2=102”，.诏二10叫即为=1012/lga = 2Tgl0 = 2J, TOC o 1-5 h z 二.冬二1十2X2十3X22十十X2i ,2s= 1X2 十2X2?十 3X23 十十X2”,导-&二1十2十22十十2一2”二2 - 1 -2二（1 -）2“- 1 ,.$ = （- D2 + 1.3.数列“满足的=1,且对于任意的N.都有每尸0+如+，则;+；+匚等于 414242013（ ）2012 A-20134024 C-2

3、0i4答案B2013D-2014解析因为 a+i =a + a,i + n = 1 + cin + n , 所以如+i - an = n+ 1.用累加法:an = a + (“2 - ai) + + (an - an -1)n(n+)= l+2+- + n = TOC o 1-5 h z ;2所以片、i 11I所以一十一+I2420131 1 1 1 1 1二 2 1-二黯血B.4.已知等差数列“的前项和为S” 4=5, Ss=15,则数列/Ah i的前100项和为（）= 2l1-2 + 2-3 + 3-4+，+20i3100a,ToT101dToo答案A 解析 设等差数列“的首项为川，公差为

4、d.a + 4 J = 5 r5X(5 - 1)5a +5d= 15 ,：Mn = a +(n - 1)J= ?.1 1 1 1 一, , In(n + 1) n n + 1,敦列fcid的前100项和为(J 4)+Q - 9十+(忐-焉)二i -看瑞215.已知数列“)的前项和为S，对任意N,都有S产我,一？若1时，S. 1二至,_2 2,- 3“-1 f,(，= - -1 /又“1 二-1为等匕1(列，且 4 = ( - 2)n - 1 ,(-2/ - 1Sk ,由 Sk9 ,得 4v(-2)k28 ,又 kN+ z/=4.题型分类 对接高考 深度剖析题型一等差数列、等比数列的综合问题3例

5、1已知首项为，的等比数列m不是递减数列，其前项和为SGWNJ),且S3+43, S5 +“S，4 + 44成等差数列.(1)求数列“)的通项公式；(2)设5=S-4(N+),求数列的最大项的值与最小项的值.解 设等匕瞰列。)的公比为q .因为S3十”3 , S5 + a5 , S4十44成等差数列， 所以 Ss + 45 - S3 - 43 =54 + 44 - 5 - 45 ,即 4(仆=43 ,于是琮二31又“)不是递减数列且.J ,所以* - 2.故等匕啜列“的通项公式为由(1)得S二11十鼻，为奇数, -/，为偶数.当n为奇数时，S随的增大而减小,3所以 1S - -s43-12-综上

6、，对于 /?SN+ ,总有-57所以数列TQ最大项的值为力 ,最小项的值为-15-思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求 通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其 是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这 些细节对解题的影响也是巨大的.跟踪训练1已知等差数列伍“满足：m =2,且“2, as成等比数列.(1)求数列“)的通项公式：(2)记S“为数列“的前项和，是否存在正整

7、数力 使得S”60 + 800?若存在,求h的最 小值；若不存在，请说明理由.解 设数列如的公差为d ,依题意知，2,2十”2十4J成等比数列,故有(2+4)2=2(2+ 44), 化简得d2-4J = 0f解得4 = 0或g4.当“二。时，二 2 ；当二 4 时，an = 2 + (n - 1)-4 = 4 - 2 ,从而得数列“的通项公式=2或an = 4n - 2.(2)当二 2 时，S” 二 2n.显然 2n 60十800成立.当 4 = 4 - 2 时，2 十（4 - 2）Sn 二二 2/r.令令2 60 + 800 f 即 n2 - 30n-400 0f解得八40或” -10（舍去

8、）,此时存在正整数n ,使得% 60十800成立，的最小值为41.综上，当如=2时，不存在满足题意的正整数；当小二4 - 2时，存在满足题意的正整数“，且的最小值为41.题型二数列的通项与求和例2已知数列斯的前项和为S”，且“尸;，为证明：数列管是等比数列：（2）求通项”与前n项的和S”.、 、 1 + 1（1）证明因为 11 =2 , Un + 1 =当 eN +时,#0.又曾三号斗，6 + ）为常数， 所以瓷是以1为首项，3为公比的等比数列.（2）解 由（与是以）为首项，：为公比的等比数列， fl乙乙/日 1 /Li I得（引，所以二 （；）”.Sn = 1-1+2-（2）2 + 3-（2

9、+ 十,&，1 . （ + 2.胡 +十 s-l ）胡 + 小（力+1 , 亭二卜 g）2 + （1）3 +十（；）-（；） Ii-；二 2-( + 2).朋.综上，。八=,（；），S= 2 - （ + 2）（！ 思维升华（1）一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解 题信息.（2）根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项 求和法等.跟踪训练2在等比数列如（2）中，411,公比q0,设“=log2S”且+九+/乃=6, bib3b5=0.求如的通项at（2）若c=- J6,求c的前项和S,解因为十3十5 二 6 ,所以 10g2t/1

10、+ 10g243 + IOgzr/5 = 6 ,所以 10g2（t/ir/.U/5）= 6 ,所以 IOg2（U?t/6） = 6 , 所以 log2(d)= 2 ,即以=2 , aq2 = 4 = ay.因为 1 / 所以=iogzt/i 0 r又因为 bib必5 = 0 ,所以 bs = Q = logzr/5 t as =i t所端二泊，“同2 = 4 ,a = 16 ,J 1 解得1”二“ g.所以如二 16x(1-1 =25-n(/ieN + ).由(1)知 4二2，所以=5 - n 0?eN + ),所以二薪工T?所以s“二- Ki -；)十&-：)十4-；)十十六)1 -二-(1

11、 -)=(N + ).n + 1 n + 1题型三数列与其他知识的交汇命题点1数列与函数的交汇例3已知二次函数兀0=。/+6.的图像过点(一4几0)，且/ (0)=2，数列小满足寸(/且尸4.(1)求数列“)的通项公式；(2)记bn =Mil，求数列仇的前项和T.解(l)f(x) = 2ax+b ,由题意知b =解,6n2a - 4nb = 0 ,：.a =；，二 2，贝!J/(x)二*十2x , WN + .数列an满足一=f),11c11-=+ 2/? ,-=2n ,1 + 1 a,tt/n*l 由叠加法可彳导- 1 = 2 + 4 + 6 + + 2( - 1)= 2 _ ，4 34化简

12、可得的二-(H 2 2), (2 - 1)-当二1时，“1=4也符合，4(neN+).-1)2瓦= J (2 - 1)(2 + 1)：.Tn = b 十历十 + bn二叱荷十也益十十=2_(14)+(g - )+层7 - 77)邛一南4一 2十 命题点2函数与不等式的交汇例4已知等差数列”“中，2=6, 3+6=27.(1)求数列“)的通项公式；(2)记数列%的前项和为S，且7；=/不 若对于一切正整数，总有了小成立，求实 3,2数？的取值范围.解 设公差为，由题意得：a +(1 = 6 ,2al 十 7= 27 ,41 二 3 ,解彳导1,。二3八/= 3 ,3(2),/5 = 3(1 +

13、2 + 3 + , + )二那(十 1),n(n+ 1)=0 + 1)0?+ 2) n(n + 1)2,r(n+ 1)(2 -7?)2 +193二当23时，7。+ 一且八二1益二八二,，33为的最大值是冷，故后亍 命题点3数列应用题例5某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分 红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1000万元.(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元.解 设“为(2010 + )年年底分红后的资金，其中N+ ,贝！J f/! = 2X1000-500= 1500, 32

14、500，即 2”一 32 ,得 n 6 ,.该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元.思维升华 数列与其他知识的交汇问题，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前项和公式或递推关系式，建立数列模型.跟踪训练3设等差数列加的公差为4点3”，加)在函数./U)=2的图像上(CN.).若旧=一2,点(。&4历)在函数及)的图像上,求数列%的前项和S”；若(“ =1，函数兀T)的图像在点32,历)处的切线在X轴上的截距为2七，求数列部的前 刀项和Tn.解 由已知，得岳二为7 ,Z?8 = 2a8 = 4岳,有 2t/s = 4 X = 2ai + 2.解得 d = 8 -

15、7 = 2.1)所以 Sn - na + d = - 2n + n(n - 1) = ?2 - 3”.(2)f(x) = 2vln2 /(s) = 2a21n2，故函数,/(x)= 2r 在3 也)处的切线方程为 y - 2a2 =21n2(x - a2)， 它在A-轴上的截距为S -看.由题意，得，”-七二2 -七，解得“2 = 2.所以 cl = d2 - a = 1.从而斯二 / /即二2. TOC o 1-5 h z 103- 1所以=+丞+百+十不7十，什 1 2 3n2。尸1十，+丞+十汨因此,27；, -T= +1 + ?+ -去0 1 2M+I -n-2=2,2一 - 2所以T

16、h =f.练出高分.在等差数列%中，42=4,其前项和S“满足S”=M+力1asR).(1)求实数2的值，并求数列“)的通项公式；(2)若数列+加(，是首项为九公比为射的等比数列，求数列出“的前/?项和7；.解(1)设等差数列“)的公差为d , .7/2 = S： - S = (4 + 2z) - (1 + 2) = 3 + A 1 .3 + x = 4 ,.二 1.ui=Si = 12+1XI=2 f.d = C12 - 41 = 2 1.an = ”】十(-1 )4 二 2 十( -1) X 2 = 2?.(2)由知=1 ,(G).(十瓦尸1X2/二2”-i ,.二 2/ ! = 2 n(

17、n+)+ 2f H + &；) + 自本)=号-(1-m=2”一2n + 1n + r. (2015课标全国I )S”为数列%的前项和.已知诙0,曷+2”“=4S”+3.(1)求的通项公式：(2)设为=一,求数列加的前项和. I解(1)由后十 2dn = 4Sn + 3 ,可知司+1 + 2。+1 =4Sw+i + 3.可得加 + 】-加 + 2(an +1 - an) = 4 +| r即 2(即+1 + “)= + 1 (坛(a 1 +%)(。 + 1 -由于a0 t可得斯+ i - an = 2.又后十Zh二4八十3 ,解彳导“1 = - 1(舍去)，a = 3.所以如是首项为3 ,公差为

18、2的等差数列，通项公式为斯二2十1.(2)由四二2+1可知 “- 4G +1 - (2n + 1 )(2 + 3) 一 丛2 + 1 2n + 3/ 设数列仇的前项和为Tn.则Tn = bb2+十几一 2 3 5+ +2n + 1 2/i + 33(2 + 3/3.已知数列如的前项和S满足工=为+(-(1)求数列”“)的前三项“】，。2，“3：2(2)求证：数列，+?(-1)为等比数列，并求出m的通项公式.解在S尸海十(-D3N + )中分别令=1,2,3得：a =2d - 1 ,a + ai = 2ci2 + 1 ,、4十 “2 + ”3=23 - 1 r由S尸2%十(-1兴N.)得：Sn. = 2an-i+(- 1)n-n22),两式相减得：斯=2% 1 - 2( - 1)(心2),4-3 TOC o 1-5 h z 42=2an. i + g( - 1- 1)(22) f22-g( -=十引-.22 1故数列而十- iy,是以L彳/为首项，2为公比的等比数列.+|( - l)n =1x2H_ 1 ,122/ 2二X21 - X( - l)n = - -( - )n.4. (2015湖南)设数列“J的前项和为 S” 已知 m=l, s=2,且 “”2=3SlS”+ + 3,6NI (1)证明：加2=3如：求Sn.(1)证明 由条件，对任意，eN+ ,有%+2 = 3S“-