高等代数(一)试题及参考答案0001

1、高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题 号填入答题纸内相应的表格中。错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1.以下乘积中（）是4阶行列式daj展开式中取负号的项A、aia22 033 a44.B、ai4 a23031a42.C、a12 023 a31a44.D、a23041a32a14.132.行列式0 22 a43中元素a的代数余子式是（A、02B、C、D、3.设A, B都是n阶矩阵，若AB O,则正确的是（）.A、r（A） r（B） n.B、A 0.C、A O或 B O.D、|A 0.4,下列向量组中，线性无关的

2、是（）.A、0.B、 0,1, 2,1 r ,其中 1 m 2 .1, 2, , r ,其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.设A是n阶矩阵且r（A） r n,则人中（）A、必有r个行向量线性无关.B、任意r个行向量线性无关.C、任意r个行向量构成一个极大线性无关组.D、任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表出. n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）条件.A、充要.B、充分非必要. C、必要非充分. D、非充分非必要二、判断题（正确的打M错误的打入 5小题，每小题2分，共10分）.若A为n阶矩阵，k为非零常数，则|kA kA.若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同.

3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变.正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵.任何数域都包含有理数域.、填空题（每空4分，共24分） TOC o 1-5 h z 0000IIIIII0 n 1 n0012 0 III III 00002 . 已知 5(1,0, 1) 3(1,0,2)(1, 3, 1),(4, 2,1), 则3.矩阵A1232112581111102 ,则 r(A)4 312an% 42X24.设线性方程组a2iXi222X2III HI III IIaniXian2X2d MH xnxn n n a2an其系数矩阵A与增广矩阵人的秩分(,)别为s和t,则s与t的大小关系是5.a

4、111.计算行列式（1）1a111a111四、计算题（4小题，共42分）2,用基础解系表出线性方程组111111；(2)165411362516a1216125642x2X33x42X512x1X2X3X43X56X22x32X42X522X1 3x2 5x3 17x4 10 x5（每小题6分，共12分）的全部解.（10分）53.求与向量组1分）(1,1,1,1), 2 (1, 1,0,4), 3 (3,5,1, 1)等价的正交单位向量组.(102 1 14.求矩阵A0 2 0的特征根和特征向量.（10分）4 1 3、单选题（每题4分，共24分）题号123456答案BCADAB、判断题（每题2

5、分，共10分）题号12345答案XXVVV三、填空题（每空4分，共24分）n(n 1)1. ( 1) n!;3. 3 ；4(1)娓；(2) 0;s t ；5.52112四、计算题（共42分）1. （12分，每小题各6分）（1）解：a1111a1111a1111aa3111a3a11a31a1a311a(a 3) 1 1 a111a(3分)11110(a 3)0(a 3)(a 1)3(3分)注：中间步骤形式多样，可酌情加分（2）解：11161361 216525125166412131662635525344243，此行列式为范德蒙行列式(3分)进而原式11111654/ /=(6 1)(5 1

6、)(4 1)(5 6)(4 6)(4 5)165413635343120(3分)（10 分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1212111122 353211362221710512103101101732177 454 1116312101103101732154177 41163121011031017得同解方程组32154177411631 213 210 115 410 0 48510 0 0000(3分)x1 2x2X3X2X35x43 X4 2 X54X514x3 8x4 5x51取X4,X5为自由未知量，得方程的一般解为X1 2x2 X31 3x4 2x5（其中X4,X5为自由

7、未知量）x2 x3 1 5x4 4x5 4x31 8x4 5x5 TOC o 1-5 h z .一 1551将 X4 0, X5 0 代入行特解 0 (一, 一 , -,0,0) . (3 分)444X1 2x2 x3 3x4 2x50用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组X2 X3 5X4 4X5 04x3 8x4 5x5 0X1 2x2 X3 3x4 2x5仍取X4,X5为自由未知量，得一般解X2 X3 5X4 4X54x38x4 5x5将X41, X50和X40, X54分别代入得到一个基础解系:1 ( 1,3, 2,1,0), 2 (9, 11,5,0, 4) (3 分)所以，原方程

8、组的全部解为(1分)0 k1 1 k2 2, k1,k2为数域P中任意数。注：答案不唯一，但同一齐次方程组的基础解系必等价。(10 分)解：因(1,1,1,1), 2 (1,1,0,4）, 3 （3,5,1, 1）是线性无关向量组，现将1, 2, 3正交化,1)34(1, 1,0,4)/1,1,1)(0, 2, 1,3)(1,1,(3(2,0)3,.1)3,2,2)T 2(3,5,1, 1)2)2,1a1414(0,2, 1,3)(6分)再将向量组2,3单位化，得1|1(2萼(0,142, 1,3),2,0).2,3就是与2,3等价的正交单位向量组。(4分)注：答案不唯（10 分）解：A的特征多项式为f()(1)(2)2(4分)所以A的特征值为1,2 （2重）1对应的齐次线性方程组为x1 x2 x3 03x204x1 x2 4x30k