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1、 第 四 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望四、小结第一节 数学期望例1 谁的技术比较好?甲射手一、随机变量的数学期望1. 离散型随机变量的数学期望乙射手解故甲射手的技术比较好.试问哪个射手技术较好?关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同. (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上表达了随机变量 X 取可能值的真正平均值, 也称均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随

2、机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.例2 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金, 想投资于某工程, 预估成功的时机为 30%, 可得利润8万元 , 失败的时机为70%, 将损失 2 万元.假设存入银行, 同期间的利率为5% , 问是否作此项投资?解设 X 为投资利润,那么存入银行的利息:故应选择投资.例3 二项分布 那么有 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布,其分布律为那么两点分布 B(1,p)的数学期望为 p.=np例4 泊松分布 那么有2.连续型随机变量数学期望的定义定义 设顾客在某银行的窗口等待的效劳的时间 X(以分计)服从指数分布,其概率密度为

3、试求顾客等待效劳的平均时间?解因此,顾客平均等待5分钟就可得到效劳.例5 顾客平均等待多长时间?例6 均匀分布那么有结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.例7 指数分布 那么有例8 正态分布那么有假设X为离散型随机变量，分布律为Y=f(X)为X的函数那么Y的期望为1. 离散型随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望2. 连续型随机变量函数的数学期望假设 X 是连续型的,它的概率密度为 p(x) 那么3. 二维随机变量函数的数学期望解例10 设 (X ,Y) 的分布律为由于1. 设C是常数, 则有证明2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 那么有证明例如三、数学期望的性质4. 设

4、X、Y 是相互独立的随机变量, 那么有3. 设 X、Y 是两个随机变量, 那么有证明说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.推广四、小结数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上表达了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.2. 数学期望的性质3. 常见离散型随机变量的数学期望 4.常见连续型随机变量的数学期望根据生命表知 , 某年龄段保险者里 , 一 年中每个人死亡的概率为0.002, 现有10000个这类人参加人寿保险,假设在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少元?例1 你知道自己该交多少保险费吗?备份题解设1年中死亡人数为X ,被保险人所得赔偿金的期望值应为 假设设每人一年须交保险费为a 元

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