专题5—探究与新定义：江苏扬州中考2022年数学复习专辑（无答案）

1、1在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC=2，使用作图工具作BAC=30，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决该弧所在圆的半径长为_；ABC面积的最大值为_；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A，请你利用图1证明BAC30（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已

2、知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P在直线CD的左侧，且tanDPC=43线段PB长的最小值为_；若SPCD=23SPAD，则线段PD长为_2阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3x-y=5，2x+3y=7，求x-4y和7x+5y的值本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由-可得x-4y=-2，由+2可得7x+5y=19这样的解题思想就是通常所说的“整

3、体思想”解决问题：（1）已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8则x-y=_，x+y=_；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知3*5=15，4*7=28，那么1*1=_3如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分别为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的

4、正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T(AB，l2)，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）=_；（2）如图2，在RtABC中，ACB=90，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求ABC的面积；（3）如图3，在钝角ABC中，A=60，点D在AB边上，ACD=90，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD），4定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形（1）若四边形ABCD是对余四边形，则A与C的度数之和为_；（2）如图1，MN是O的直径，点A，B，

5、C在O上，AM，CN相交于点D求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB=BC，ABC=60，ADC=30，探究线段AD，CD和BD之间有有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由5从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这个三角形称为准黄金三角形（1）请判断：含30角的直角三角形_（填“是”或“不是”）准黄金三角形；（2）如图1，在ABC中，CD为角平分线，A=40，B=60，求证：ABC是准黄金三角形；（3）如图2，

6、ABC是准黄金三角形，AC=3，BC=10，且ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CD的长6定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”理解：（1）如图1，ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，ABC=80，ADC=140，对角线BD平分ABC请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“

7、相似对角线”，EFH=HFG=30连接EG，若EFG的面积为63，求FH的长7【问题提出】小明在学习了“圆心角”和“圆周角”的知识后，发现了顶点在圆内（顶点不在圆心）的角，命名为圆内角比如图1中，APC、BPD是圆内角，所对的弧分别是AC、BD，圆内角的大小与所对弧的度数之间有什么关系呢？【问题解决】小明想到了将APC转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角解：连接BC，OA，OC，OB，OD如图2，在PBC中，APC=PBC+PCBPBC=12AOC，PCB=BODAPC=12AOC+12BOD=12（AOC+BOD）即：APC的度数=12AC的度数+BD的度数）（1）如图1，在O中，弦AB、C

8、D相交于点P，若AC的度数是60，BD的度数是80，则APD的度数是_【问题探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角，圆外角的大小呢？（2）如图3，点P是O外一点，点A、点C在圆上，连接PA、PC，分别与O相交于点B、点D，试探索APC的度数与AC、BD度数之间的关系，并说明理由【解释应用】直接利用前面发现的结论，解决问题（3）如图4，平面直角坐标系内，点A（-3，1）在O上，点B、点C是线段OM上的两个动点，且AB=AC，延长AB、AC分别与O相交于点D、E，延长DE交y轴于点F，试探究F的度数是否变化，如果不变，请求出它的度数8A，B是C上的两个点，点P在C的内部若APB为直角，则

9、称APB为AB关于C的内直角，特别地，当圆心C在APB边（含顶点）上时，称APB为AB关于C的最佳内直角如图1，AMB是AB关于C的内直角，ANB是AB关于C的最佳内直角在平面直角坐标系xOy中（1）如图2，O的半径为5，A（0，-5），B（4，3）是O上两点已知P1（1，0），P2（0，3），P3（-2，1），在AP1B，AP2B，AP3B中，是AB关于O的内直角的是_；若在直线y=2x+b上存在一点P，使得APB是AB关于O的内直角，求b的取值范围（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，T与x轴交于点D（点D在点T的右边）现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每

10、一点H，都存在点T，使DHE是DE关于T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围9我们规定：三角形其中一边与该边上的高之比叫做这个三角形该边的ar值例如，如图1，在ABC中，BC=5，BC上的高AD=4，则ABC边BC的ar值为54，记作：arABC，BC=54（1）等腰直角三角形底边的ar值=_，等边三角形任意一边的ar值=_；（2）如图2，在DEF中，F=135，arDEF，DF=1，求arDEF，DE（3）如图3，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点M在矩形ABCD内，且arMAB，AB=4若以M为圆心，半径为1的圆与矩形ABCD的对角线AC有公共点，设点

11、M到AD的距离为d，直接写出d的取值范围_10阅读感悟：“数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性，解决数学问题，有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”“形”或“形”“数”，有的问题需要经过几次转化这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛解决问题：（1）如图1，ABCD，AB=15，AD=14，AC=13，求tanB；（2）已知函数y1=x2，y2=ax-1，当x12时，y1y2，则整数a可取的最大值与最小值的和是_；（3）如图2，矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点E、F分别是AD、BC边上的动点（与矩形顶点不重合），连接BE、C

12、E，过F作FGCE交BE于G，作FHBE交CE于H当EFG面积最大时，求EHCH的值11将一次函数y=x+1等号右侧的部分乘以x2，得到一个新的函数y=x2（x+1），即y=x3+x2，小明根据学习函数的经验，对这个新的函数的图象与性质进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x3+x2的自变量x的取值范围是_；（2）下表是y与x的几组对应值，则m的值为_；x-2-1.5-1-0.500.511.5y-4m00.12500.37525.625（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象

13、；（4）进一步探究函数图象发现：如果点A（a2+1，y1）、B（a2+2，y2）在该函数的图象，则y1、y2的大小关系是_方程x3+x2=0.1的实数根的个数为_12在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1x2，y1y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图（1）已知点A的坐标为（1，0），若点B的坐标为（4，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；点C在直线x=4上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式（2）O的半径为2，点M的坐标为（

14、m，4），若在O上存在一点N，使得点M、N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围13我们定义：点P在一次函数y=kx+b（k0）图象上，点Q在反比例函数y=kx（k0）图象上，若存在点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y=kx2+bx+k为一次函数y=kx+b与反比例函数y=kx的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”（1）若二次函数y=x2+2x+1是一次函数y=x+2与反比例函数y=1x的“衍生函数”，则“基点”P的坐标为_，“靶点”Q的坐标为_（2）若二次函数y=-4x2+bx-4是一次函数y=-4x+b和反比例函数y=-4x的“衍生函数”，且“基点”的P横坐标为2，求b的值；

15、（3）若二次函数y=kx2+（k2+1）x+k是一次函数y=kx+k2+1和反比例函数y=kx的“衍生函数”，其中k1，试证明一定有两个不同的“基点”，且有一个“基点”的纵坐标为114请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1、求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B逆时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2），连接PP，可得PPB是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以APB=150，而BPC=APB=150，进而求出等边ABC的边长为7，问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决

16、下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长15定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”理解：（1）如图1，ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，ABC=80，ADC=140，对角线BD平分ABC请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，EFH=HFG=30，连接EG，若EFG的面积为63，求FH的长16在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩积”，给出如下定义：“横底”a即任意两点横坐标差的最大值；“纵高”h即任意两点纵坐标差的最大值；则“矩积”S=ah例如：三点坐标分别为A（1，-2），B（2，2），（-1，-3），则“横底”a=3，“纵高”h=5，“矩积”S=ah=15已知点D（-2，3），E（1，-1）（1）若点F在x轴上；当D，E，F三点的“矩积”为24，则点F的坐标为_；直接写出D，E，F三点的“矩积”