误差和精度的基本概念（凤山书屋）

1、误差理论与精度分析周桃庚 联系方式：Email： Tel: 136613235871智囊经验二、误差的分类误差 绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点2智囊经验1 按表现形式分类绝对误差(absolute error) 测得值与参考量值之差称为绝对误差，通常简称误差，即：与前述的误差的定义相同。绝对误差测得值参考量值绝对误差的值可知吗？绝对误差与误差的绝对值的区别？3智囊经验绝对误差计算举例抽检一批标称直径为50mm的两件产品，其直径测量结果分别为49.9mm和50.2mm，它们的绝对误差分别为 对某量在相同条件下进行5次重复测量，测量数据如下： 99.97g，100.00g

2、，100.03g，100.02g，99.98g199.97g100.00g= 0.03g2100.00g100.00g= 0.00g 3100.03g100.00g= 0.03g3100.02g100.00g= 0.02g599.98g100.00g= 0.02g 4智囊经验修正值（correction）（实际工作中常用到修正值） 用代数法与未修正的测得值相加，以补偿系统误差的值。value added algebraically to the uncorrected result of a measurement to compensate for systematic error(GUM

3、B2.23定义）真值修正后的测量值测得值修正值1.由于系统误差不能确知，这种补偿不完善。 2.修正值与系统误差数值相等，但符号相反。5智囊经验修正值表达式：误差测得值真值误差表达式：二者关系：修正值真值测得值6智囊经验修正值(correction) 与绝对误差绝对值相等、符号相反的值。 修正值在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或公式的形式给出。在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存储在仪器中，仪器输出的是经过修正的测量结果。修正结果（correction result）是将测得值加上修正值后的测量结果，这样可提高测量准确度。7智囊经验请问：1）180cm标高处的误差是多少？ 2）180cm标高

4、处的修正值是多少？ 3）现一位同学使用身高测量器量出的身高是 180cm，其实际身高应是多少？ 4）若另一位同学使用身高测量器量出的身高是 170cm，其实际身高应是多少？例如：体检时身高的测量使用身高测量器，体检前医生用更准确的尺子对身高测量器进行校正，发现身高测量器的180cm标高处，实际尺寸为181cm。解：1）180标高处的误差是：xx-x0 由于真值不可确定，实际上只能用约定真值， 约定真值 x0181 cm 故 x180 181= -1 cm8智囊经验 2）180标高处的修正值是多少？ 注意： 修正值是针对于各自的测量点而言的，每个测量点 有自己相对应的修正值。 修正值 c x0

5、x 181180 1 cm 3）若身高测量器量出身高是180cm，其实际身高？ 实际身高修正后的测量值测量值修正值 1801181cm 4）若身高测量器量出身高是170cm，其实际身高为？ 回答：不知道此测量点修正后的测量值是多少！ 因为180 cm处的修正值和 170 cm处的修正值不同。9智囊经验绝对误差的局限性如用同一台电子天平测量约定真值分别为100g和10g的两个砝码的质量，测量结果分别为100.01g和10.01g，测量结果的绝对误差分别为 1100.01g100.00g= +0.01g 210.01g10.00g= +0.01g 两个砝码质量的绝对误差都是0.01g，但显然100

6、g砝码质量测量的准确度比10g砝码更高。由于绝对误差用于不同量级的同种量误差的比较发生困难，为此引入了相对误差的概念。 10智囊经验相对误差relative error测量绝对误差与被测量的真值的比称为相对误差。 （由于真值不能确定，实际上用约定量值值，或测值的最佳估计值）。（1）无单位（无名数），通常以或10-d表示（2）通常可比较不同测量的质量如何。11智囊经验相对误差的计算举例用一个电压表分别测量两个电压，测量结果为 试比较该两个电压测量结果的准确度高低。 12智囊经验绝对误差与相对误差的比较定义量纲相对误差绝对误差测得值-真值绝对误差真值无有(与被测量相同)反映测量效果结果的实际误差值

7、意义13智囊经验绝对误差和相对误差通常用于单值点测量误差的表示，而对于具有连续刻度和多档量程的测量仪器的误差则用引用误差表示引用误差 fiducial error of a measuring instrument引用值 xm 通常指全量程（测量仪器标称范围上限值与下限值之差的模）或量程上限， 示值误差 是该量程范围内某一刻度点的示值的绝对误差,通常取绝对值最大者。14智囊经验 电工仪表等常用准确度等级， 如0.1, 0.2, 0.5, 1.0 ,1.5等。 符合某一个等级S的仪表，说明该仪表在整个测量范围内，各示值点的引用误差均不超过S%准确度等级利用这一点可以验证仪器是否合格。15智囊经验

8、例1一块0.5级测量范围为0150V的电压表，经更高等级标准电压表校准，在示值为100.0V时，测得实际电压为99.4V，问该电压表是否合格？16智囊经验 当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大绝对误差为最大相对误差为其中： xm：全量程（量程上限） x ：被测量点的测量值17智囊经验某被测电压为100伏左右，现用1.0级、量程为150伏电压表来进行测量，问：1）该电压表的引用误差是多少？2）用该电压表测量电压时的最大测量误差是多少？3）用该电压表测量100伏的电压时的最大测量误差是多少？4）用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差是多少？5）用该电压表测量50伏的电

9、压时的相对误差是多少？6）用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是多少？例218智囊经验解：当用0.5级、量程为300伏的电压表测量时，有 当用1.0级、量程为150伏的电表测量时，有 结论：(1)一样准确。 (2)而仪表等级越高，成本越高。例3某被测电压为100伏左右，现有0.5级、量程为300伏和1.0级、量程为150伏两块电压表，问选用哪一块合适？19智囊经验该电压表的引用误差为 由于所以该电压表合格。【解】例4检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均小于2V，问这只电压表是否合格？20智囊经验例5 某1.0级电流表，满度值（标

10、称范围上限）为100A，求测量值分别为100 A ，80 A和20 A时的绝对误差和相对误差。根据题意得 最大绝对误差为 相对误差分别为 【解】结论：1）选定仪表后，被测量的值越接近于测量范围上限，测量的相对误差越小，测量越准确。2）绝对误差的最大值与该仪表的测量范围(或量程上限成正比)21智囊经验仪表准确度等级选择原则 不应单纯追求测量仪表准确度越高越好，而应根据被测量的大小，兼顾仪表的级别和标称范围（或量程）上限合理进行选择。 选择被测量的值应大于均匀刻度测量仪表量程上限的三分之二，即 测量的最大相对误差不超过 即测量误差不会超过测量仪表等级的1.5倍。22智囊经验误差的分类误差 绝对误差

11、相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点23智囊经验在重复测量中保持恒定不变或按可预见的方式变化的测量误差的分量。在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。系统误差（systematic error）24智囊经验 系统误差按其出现的规律又可分为 ：（1）定值系统误差：即误差的大小和符号为固定值。（2）变值系统误差：即误差的大小和符号为规律的变化值。 例如：温度变化引起的误差； 圆度盘安装偏心带来的测角误差。 系统误差25智囊经验测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。在重复测量中按不可预见的方式变化的测量误差的分量。随机

12、误差（random error）例如：温度的波动、噪声的干扰、磁场的变化、电源电压的起伏、仪器仪表中传动部件的间隙和摩擦、连接件的弹性变形等引起的示值不稳定、千分尺测长度时的压力控制等。 26智囊经验随机误差的性质随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定，也不能用实验的方法加以消除。但是，经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。27智囊经验测量误差包括系统误差和随机误差通常情况下，测量误差，系统误差和随

13、机误差都是理想的概念性术语，不可能通过测量得到它们的准确值。真值无穷多次测量的平均值测量结果测量误差随机误差系统误差28智囊经验粗大误差（gross error） 指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。 定义产生原因某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。具体见第四章。 29智囊经验误差的

14、来源 为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。 主要来源 测量设备误差 测量方法误差 测量环境误差 测量人员误差 30智囊经验测量设备误差 标准器件误差装置误差附件误差以固定形式复现标准量值的器具，如标准电阻、标准量块、标准砝码等等，他们本身体现的量值，不可避免地存在误差。一般要求标准器件的误差占总误差的1/31/10。 测量装置在制造过程中由于设计、制造、装配、检定等的不完善，以及在使用过程中，由于元器件的老化、机械部件磨损和疲劳等因素而使设备所产生的误差。 测量仪器所带附件和附属工具所带来的误差。 设计测量装置

15、时，由于采用近似原理所带来的工作原理误差 组成设备的主要零部件的制造误差与设备的装配误差 设备出厂时校准与定度所带来的误差 读数分辨力有限而造成的读数误差 数字式仪器所特有的量化误差 元器件老化、磨损、疲劳所造成的误差 31智囊经验测量方法误差 指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差 ，又称为理论误差 如用均值电压表测量交流电压时，其读数是按照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式中出现无理数和，故取近似公式，由此产生的误差即为理论误差。32智囊经验测量环境误差 指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。对于电子测量，环境误差主要来源于环境温度、电源电压和电磁干扰等激光

16、光波比长测量中，空气的温度、湿度、尘埃、大气压力等会影响到空气折射率，因而影响激光波长，产生测量误差。高精度的准直测量中，气流、振动也有一定的影响 33智囊经验测量人员误差测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。 为了减小测量人员误差，就要求测量人员要认真了解测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握测量规程，精心进行测量操作，并正确处理测量结果。 34智囊经验误差的来源是多方面的，在进行测量时，要仔细进行全面分析，既不能遗漏，也不能重复。因为误差来源的分析研究是测量准确度分析的依据，也是减小测量误差，提高测量准确度的必经之路。 35智囊经验误差的分类与鉴

17、别分类误差的原因误差的鉴别系统误差（1）仪器结构不良；（2）周围环境的改变。（1）观测值总往一个方向偏，或者周期性变化；（2）误差大小和符号在多次重复测中几乎相同；（3）经过校正和处理可以减小乃至几乎消除的误差。随机误差某些难以控制的偶然因素。在等权测量下服从正态分布：（1）有界性；（2）单峰性；（3）对称性；（4）抵偿性。粗大误差粗枝大叶造成的观测误差或计算误差（1）观察结果与事实不符；（2）认真操作可以消除的误差。36智囊经验主要内容第一节 测量的基本问题第二节 测量误差的基本概念第三节 一些名词术语37智囊经验测量准确度accuracy of measurement表示测量值与被测量真值

18、之间的一致程度closeness of agreement between a measured quantity value and a true quantity value of a measurandVIM 2008概念“测量准确度”不是一个量，不给出有数字的量值。当测量提供较小的测量误差时就说该测量是较准确的。测量准确度有时理解为赋予被测量的各测量值间的一致程度准确度 accuracy38智囊经验测量正确度 measurement trueness正确度 trueness无穷多次重复测量的测量值的平均值与一个参考量值之间的一致程度closeness of agreement betw

19、een the average of an infinite number of replicate measured quantity values and a reference quantity value-VIM 2008测量正确度与系统测量误差有关，与随机测量误差无关。测量正确度不是一个量，不能用数值表示39智囊经验测量精密度 measurement precision精密度 precision在规定条件下，对同一个或类似的被测对象重复测量所得的示值或测得的量值间的一致程度。closeness of agreement between indications or measured

20、quantity values obtained by replicate measurements on the same or similar objects under specified conditions-VIM 2008测量精密度通常用不精密程度以数字的形式表示，例如在规定测量条件下的标准偏差、方差或变差系数。规定条件可以是重复性测量条件，期间精密度测量条件或复现性测量条件测量精密度用于定义测量重复性，期间测量精密度或测量复现性40智囊经验准确度、正确度和精密度三者之间的关系弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差大，即精密度低，正确度高。弹着点集中，但偏向一方，命中

21、率不高。相当于系统误差大而随机误差小，即精密度高，正确度低。弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密度、正确度都高，从而准确度亦高。41智囊经验重复性测量条件 repeatability condition of measurementcondition of measurement, out of a set of conditions that includes the same measurement procedure, same operators, same measuringsystem, same operating conditions and same loca

22、tion, and replicate measurements on the same or similar objects over a short period of time-VIM 2008相同测量程序、相同操作者、相同测量系统、相同操作条件和相同地点，并在短时间内对同一或相类似被测对象重复测量的一组测量条件。42智囊经验测量重复性 measurement repeatability重复性repeatability在一组重复性测量条件下的测量精密度measurement precision under a set of repeatability conditions of meas

23、urementVIM在重复性条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。closeness of the agreement between the results of successive measurements of the same measurand carried out under the same conditions of measurementGUM 43智囊经验复现性测量条件reproducibility condition of measurement复现性条件 reproducibility condition不同地点、不同操作者、不同测量系统，对同一

24、或相类似被测对象重复测量的一组测量条件。condition of measurement, out of a set of conditions that includes different locations, operators, measuring systems, and replicate measurements on the same or similar objects-VIM 2008不同的测量系统可采用不同的测量程序在技术规范中应给出改变的和未变的条件以及实际改变到什么程度44智囊经验测量复现性 measurement reproducibility复现性 reprodu

25、cibility在复现性测量条件下的测量精密度measurement precision under reproducibility conditions of measurementVIM 2008在变化的条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性closeness of the agreement between the results of measurements of the same measurand carried out under changed conditions of measurementGUM45智囊经验期间测量精密度测量条件 intermediat

26、e precision condition of measurement除了相同测量程序、相同地点，还可能有改变的其它条件下，在一个较长时间内重复测量同一或相类似被测对象的一组测量条件。condition of measurement, out of a set of conditions that includes the same measurement procedure, same location, and replicate measurements on the same or similar objects over an extended period of time, bu

27、t may include other conditions involving changes-VIM 2008改变的条件可包括新的校准、测量标准器、操作者和测量系统。在条件的技术规范中应包含改变的和未变的条件以及实际改变到什么程度46智囊经验期间测量精密度 intermediate measurement precision在一组期间精密度测量条件下的测量精密度measurement precision under a set of intermediate precision conditions of measurement-VIM 200847智囊经验比较测量程序操作者测量系统操作条

28、件地点时间重复性相同相同相同相同相同短时间复现性不同不同不同期间相同相同长时间48智囊经验测量仪器的稳定性 stability of a measurement instrument测量仪器保持其计量特性随时间恒定的特性property of a measuring instrument, whereby its metrological properties remain constant in time-VIM 2008稳定性可用几种方式量化用计量特性变化到某个规定的量所经过的时间间隔表示用特性在规定的时间间隔内发生的变化表示49智囊经验仪器偏倚instrument bias重复测量示值的

29、平均值减去参考量值average of replicate indications minus a reference quantity value -VIM 2008测量偏倚measurement bias系统测量误差的估计值estimate of a systematic measurement error-VIM 200850智囊经验最大允许测量误差 maximum permissible measurement error最大允许误差 maximum permissible error误差限 limit of error对给定的测量、测量仪器或测量系统，由规范或规程所允许的，相对于已知

30、参考量值的测量误差的极限值。extreme value of measurement error, with respect to a known reference quantity value, permitted by specifications or regulations for a given measurement, measuring instrument, or measuring system-VIM 2008通常，术语“最大允许误差”或“误差限”是用在有两个极限值的场合。51智囊经验误差的基本概念定义量纲表现形式性质特点误差明显超出统计规律预期值的误差相对误差绝对误差随

31、机误差系统误差粗大误差有有有有有表示测量结果偏离真值的大小反映测量效果结果的实际误差值随机性确定性无特征52智囊经验思考与练习题 1-1 车间计量室温度(203)C，相对湿度(605)%，某检验员用一把游标卡尺测量某轴形工件直径，重复测量3次的数据为15.125，15.124，15.127mm。试分析该测量问题的测量要素?若另一检验员用另一把游标卡尺测量同一轴形工件直径，重复测量3次的测量数据为15.125，15.137，15.115mm，测量结果产生变化的主要因素可能是什么? 试答该工件直径的测量结果及测量误差应如何表示？ 1-2 用标准测力机检定材料试验机，若材料试验机的示值为5.000M

32、N, 标准测力仪输出力值为4.980MN,试问材料机在5.000MN检定点的示值误差、示值的相对误差各为多少？ 1-4 某待测的电压约为86V，现有0.5级0300V和1.0级0100V两个电压表，问用哪一个电压表测量较好？ 1-8 检定一只5mA、2.5级电流表的满度值误差。按规定，引入修正值后使所用的标准仪器产生的误差不大于受检仪器容许误差的1/3。现有下列几只标准电流表，问选用哪一只最合适，为什么？（1）10mA 0.5级 （2）10mA 0.2级（3）15mA 0.2级 （4）5mA 0.5级 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2

33、V为全量程最大误差，问该电压表是否合格？53智囊经验第2章 随机误差54智囊经验教学目标本章阐述随机误差产生的原因与特征，减小随机误差的途径。通过本章的学习，应会分析随机误差产生的原因以及减少随机误差的途径；掌握用算术平均值表示测量结果的最佳估计用实验标准差以及置信区间来表示该随机误差的大小。本章内容是从事精密测量工作所必须掌握的基本方法，也是学习后续章节的基础。 55智囊经验测量误差分布56智囊经验教学目标通过本章内容的学习，可以让读者熟悉误差分布的基本概念、常见误差分布特征与处理方法。为学好本课程内容打下重要理论基础。57智囊经验随机变量作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一

34、个数来表示，可把这些数看作为某变量X的取值范围，变量X称为“随机变量”，即实验结果可用随机变量X来表示。通俗地讲，表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，它们的取值用相应的小写字母x，y，z表示。定义：如果某一量(例如测量结果)在一定条件下，取某一值或在某一范围内取值是一个随机事件，则这样的量称作随机变量。58智囊经验随机变量根据其值的性质不同，可分为离散型和连续型两种，如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值，则称随机变量X为离散型随机变量。如果随机变量的所有可能取值充满为某范围内的任何数值，且在其取值范围内的任一区间中

35、取值时，其概率是确定的，则称X为连续型随机变量。59智囊经验概率(probability)概率是一个0和1之间隶属于随机事件的实数概率与在一段较长时间内的事件发生的相对频率有关或与事件发生的可信程度(degree of belief)有关-GBT 3358.1-2009 统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语60智囊经验概率的频率解释若对某一个被测量重复测量，我们可以得到一系列测量数据，这些数据称测量值或观测值测量值是随机变量，它们分散在某个区间内，概率是测量值在区间内出现的相对频率，即出现的可能性大小的度量61智囊经验概率的可信程度的解释由于测量的不完善或人们对被测量及其影

36、响量的认识不足，概率是测量值落在某个区间内的可信度大小的度量在这个定义中，对于那些我们不知道其大小的系统误差，可以认为是以一定的概率落在区间的某个位置，认为也属于随机变量或者说，某项未知的系统误差落在该区间内的可信程度也可以用概率表征。62智囊经验在相同测量条件下，对某钢球工件的直径测量150次，得到一个测量样本（ ）测量点列图：以测量序数i为横坐标，以测得值 或其误差 为纵坐标 7.0857.3357.585单峰性有界性对称性抵偿性63智囊经验统计直方图（1）测量样本按数据的大小分组，分组数=11，组距 ；（2）依次定各组的频数（每组出现的数据个数 ）、频率 和频率密度 ；（3）以数据为横坐

37、标，频率密度为纵坐标，在横坐标上划出等分的子区间，划出各子区间的直方柱，即为所求统计直方图。77.17.27.37.47.57.6051015202564智囊经验统计直方图的作用矩形面积：随机误差统计直方图中的矩形面积，表示误差落在误差区间 中的频率当测量次数充分多时，此频率亦即随机误差落在该区间内的概率此图在一定程度上直观地反映了测量随机误差的分布情况051015202565智囊经验66智囊经验概率分布(probability distribution)一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值而变化的函数1. 随机变量在整个集合中取值的概率等于12. 一个概率分布与单一(标量)

38、随机变量有关时称为单变量概率分布，与随机变量的向量有关时称为多变量概率分布。多变量概率分布也称联合分布3. 一个概率分布可以采用分布函数或概率密度函数的形式67智囊经验分布函数对于每个x值给出了随机变量X小于或等于x的概率的一个函数称分布函数，用F(x)表示 F (x)= P( X x ) 0 1 2 31F(x)x10 F (x) 是一个不减的函数 2068智囊经验离散型随机变量的概率分布要了解离散型随机变量X的统计规律，就必须知道它的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi如果将离散型随机变量X的一切可能取值xi及其对应的概率pi ，记作 P(X= xi)= pi ，i=1,2,.则称上式为

39、离散型随机变量X的概率分布或分布Xpi -1 2 369智囊经验概率密度函数分布函数的导数（当导数存在时）称（连续随机变量的）概率密度函数，用p(x)表示 p(x)=dF (x)/dxp(x) dx称“概率元素” p(x) dx= P( xXx+ dx )70智囊经验概率密度函数若已知某个随机变量的概率密度函数p(x),则测量值x落在(a,b)区间内的概率p可用下式计算数学上，积分代表了面积。由此可见，概率p是概率分布曲线下在区间(a,b)内包含的面积当p=0.9，表明测量值有90%的可能性落在该区间内，该区间包含了概率分布下总面积的90%当p=1，表明测量值以100%的可能性落在该区间内，也就是测量值必定在此区间内。71智囊经验概率密度曲线完好的描述了随机误差的统计规律。概率密度函数的几何意义 置信区间 显著性水平（又称显著度或危险率） 置信概率（或置信水平），简记为符号概率密度的性质有两个性质72智囊经验3.概率分布的特征参数尽管概率分布反映了该随机变量的全貌，但在实际使用中更关心代表该该概率分布的若干数字特征量。期望方差标准偏差73智囊经验期望expectation期望又称(概率分布或随机变量的)均值(mean