离散型随机变量及其概率分布页PPT课件

1、一、离散型随机变量及其概率分布 对于离散型随机变量X，它的取值有限个或无限可列个.我们关心的问题是：X的所有可能的取值是什么？取每一个值的概率是多少？将这两个问题综合起来就是概率分布. 2.2 离散型随机变量D.r.v.及其概率分布1.概率分布的定义 定义：若离散型随机变量X 所有可能的取值为 x 1 , x 2 , , 对应的概率为 p 1 , p 2 , ， 称 P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, (1)为随机变量 X 的概率分布或概率函数或 分布律.注（1）为了直观，概率分布表示为：X x 1 x 2 x n P p1 p2 pn (2) (X=x1 ), (X=x2

2、 ), , (X=xn) ，构成完备事件组.1 2.概率分布的性质(1) pk0， k = 1,2, ； P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, 注意：任一具有上述两个性质的数列pk，都有资格作为某一个随机变量 X 的分布列。这是判别某个数列是否成为分布列的充要条件！用于验证概率函数的正确与否。2练习1 下面给出的是不是概率函数？解所以这不是概率函数因此这是概率函数练习2设随机变量X的概率函数为 求 c 的值解 由性质知例1 掷一枚骰子，求出现的点数的概率分布及P(X3) . 解：设X表示出现的点数，则X=1，2，3，4，5，6.P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X

3、=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6.所以，X的概率分布为： P(X=k) =1/6 , k =1,2,3,4,5,6.或X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 3.会求概率分布及相关概率P(X3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2练习：书P35，例1 求分布律5 例2 袋中有5个黑球、3个白球，每次从中取一个，不放回，直到取到黑球为止. 求取到白球数目X的概率分布，并求P(-1X0)，P(1X3)， P(X3).解：X=0，1，2，3 P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 概率分布为：X 0 1 2 3P

4、 5/8 15/56 5/56 1/56=0=P(X=2)=5/56=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 16若离散型随机变量X的概率分布为：P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, 则若离散型随机变量X的概率分布为： 则：证明： 由概率的可加性知： 7解 由题知X 的概率函数为1 2 3 4 5Xpk1/15 2/15 3/15 4/15 5/15则 (1)P(X =1 或X =2)=(2) P ( X )=(3) P( 1X 2)=P(1X 2)=P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5P(X=2)= 2/15P(X=1 )+P(

5、X=2)= 1/15 + 2/15=1/5P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5练习设随机变量X的概率函数为求 (1)P(X =1 或X =2)；(2) P ( X )； (3) P( 1 X 2)，P(1X 2)会求离散型随机变量的概率分布（确定常数）；已知离散型随机变量的概率分布，会求随机变量的取值落在一个范围的概率；要求：二、 常用离散分布 1. 退化分布若 X 的概率分布为：P ( X = a ) = 1 , a 为某一常数, 则称 X 服从 a 处的退化分布.此时随机变量退化成了一个常数.10若X的概率分布为：X 0 1 P 1-p pP( X=x1 ) =p

6、, P( X=x2 ) = 1-p . (0p1) 2.两点分布则称X服从参数为p的两点分布.注0-1分布中X的实质：设P(A)=p，X“一次试验中A发生的次数”，则X服从0-1分布.甲投篮的投中率为0.4，一次投篮中投中的次数X的分布？练习：X 0 1P 0.6 0.4若X服从x1=1 , x2=0 处参数为p的两点分布，则称X服从0-1分布。11另如 1o 进行一次射击，设事件A =击中 ， P(A)= p 随机变量X=一次射击中A发生的次数，则 X0-1分布(p) 2o 进行一次投篮，设事件A=投中， P(A)= p 随机变量X=一次投篮中A发生的次数，则X0-1分布(p)3o 从一批产

7、品中任意抽取一个进行检验， 设事件A=废品，P(A)= p ，随机变量X=一次抽取中A发生的次数，则 X0-1分布(p)例：抛掷硬币的试验中，设事件A =正面向上 ， P(A)= p 随机变量 X=一次抛掷中A发生的次数，则 X0-1分布(p)若X的概率分布为： P (X = xk ) = 1/n , k = 1, 2, , n .且当 i j 时， x i x j ，则称 X 服从离散型均匀分布.例 掷一枚骰子，出现的点数X服从均匀分布. 3. 均匀分布P(X=k)=1/6 k=1，2，3，4，5，6.X 1 2 3 4 5 6P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/613若X表示“

8、n重贝努里试验中事件A发生的次数”， X的可能取值为0,1,2, , n ,对应的概率分布为：k = 0, 1, 2, , n. ( 0p 0 为常数，则称 X 服从参数为 的泊松分布，简记为X P( ). 定义 随机变量 X的概率分布为(满足二属性) 5. 泊松分布泊松分布的图形特征如右图所示.注：历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.25泊松分布产生的一般条件在自然界和现实生活中，常遇到在随机时刻出现的某种事件.把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列称为随机事件流. 若随机事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松事件流(泊松流).平稳性在任

9、意时间区间内，事件发生次的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.无后效性在不相重叠的时间段内，事件的发生相互独立.普通性如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计.下列事件都可视为泊松流：某电话交换台一定时间内收到的用户的呼叫数；到某机场降落的飞机数；某售票窗口接待的顾客数；一纺锭在某一时段内发生断头的次数；对泊松流，在任意时间间隔内，事件发生的次数服从参数为的泊松分布，称为泊松流的强度. 泊松分布的优点：有关计算可查表.泊松分布常与单位时间（单位面积、单位产品等）上的计数过程相联系.例1 设X P( 5 ) ，求P（X =2）P（X=5） P（X=20）=0.084224=0

10、.1754670.00000028例2 某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数 X 服从参数=3的泊松分布，写出X的概率分布，并求一分钟内呼唤5次的概率.解：X的概率分布为也可以求一分钟内呼唤次数不超过5次的概率P(X5).29每月的销售数量为X，则X P(5 ).例3（书P40，例7） 由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数量可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以95以上的把握保证不脱销，问商店在月初至少应进该商品多少件？（假定上个月没有存货）解：事件“不脱销”即（ Xm） 查表知，m=9 .设商店在月初至少应进该商品N件.现已知P(Xm）95% 30泊松分布的图形二项分布的图形二项

11、分布与泊松分布的关系（2）二项分布的泊松近似泊松定理二项分布 泊松分布n很大, p 很小注： 书：np 10 解： X “该单位患有这种疾病的人数”，则X b(5000,0.001) .P(X2)= X可以近似地服从参数为 = n p=5 的泊松分布 P(X 2） 例4 已知某种疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位至少有2人患有这种疾病的概率有多大？所求的概率为：=1-0.006738-0.03369=0.95957233 例5 某人向某目标射击，命中率为0.2 .现在不断地进行射击，直到命中目标为止，求命中时射击次数的分布.解：X表示“命中目标时的射击次数”，则X=1，

12、2，(X=k)表示射击到第k次才命中目标，即前k-1次不中，第k次击中.由独立性可求出： P(X=k)=(1-0.2)k-1 0.2 k =1,2,34若X的概率分布为：P (X = k ) = (1-p)k - 1 p , k = 1, 2, 则称 X 服从参数为 p 的几何分布. 例11 设某批电子管的合格品率为0.75，现对该批电子管进行有放回地测试，设第X次首次测到合格品，求X的概率函数 . X 的可能取值为：1, 2, .事件 (X = k ) 表示“第 k 次才测到合格品”，则P (X = k ) = 0.25 k - 1 0.75, k = 1, 2, 解：几何分布满足概率分布的

13、二属性. 6. 几何分布在独立试验序列中P(A)=p, X “事件A 首次发生时所需的试验次数”.注35解 用X表示汽车因遇红灯而停止前所经过的交叉路口数，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4.X=0表示第一个路口是红灯，所以PX=0=0.4,而X=1 表示第一个路口是绿灯而第二个路口是红灯，所以 ，同理例1 某汽车将要经过的路线上有4个交叉路口.假设在每个交叉路口遇到红灯的概率都是0.4，且各路口的红绿灯是相互独立的.求该汽车在因遇到红灯而停止前所经过的交叉路口个数的分布列.几何分布的无记忆性定理 （几何分布的无记忆性）设X G(p),则对任意正整数m与n有定理表明：在一列贝努利试验序列中

14、，若首次成功（A）出现的试验次数X服从几何分布，在前m次试验中事件A没有出现的条件下，则在接下来的n次试验中A仍未出现的概率只与n有关，而与以前的m次试验无关，似乎忘记了前m次试验结果，这就是无记忆性. 引例 某班有20名学生，其中有5名女生.今从班上任选4名学生去参观，求被选到的女生数X的概率分布.解：X=0，1，2，3，4. 7. 超几何分布事件(X=k)表示选取的4人中有k名女生.则X38 (1)定义 设 N个元素分成两类，第一类有N1个元素，第二类有N2个元素(N1+ N2=N).从N个元素中任取n个， X表示取出的n个元素中第一类元素的个数，则X的概率分布为称X服从超几何分布.其中

15、n， N1 ，N 都是正整数，且 1n N， N1 N 。注意，若出现 或 的情况，规定此时的 .39X 服从超几何分布，其概率函数为：随机变量 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3例1：1o 100个产品中有 3 个废品，从中任取 5 个，求取到的次品数 X 的概率函数。解：（2）举例X 服从超几何分布，其概率函数为：随机变量X的可能取值为 0, 1, 2, 3 2o100个产品中有 5 个废品，从中任取 3 个，求取到的次品数 X的概率函数。解：X服从超几何分布，其概率函数为：随机变量X的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4。例2：一袋子中有 20 个球，其中有 5 个白球。现从中任取

16、4个球，求被选到的白球数X 的概率函数。其概率分布表为：解：（3）超几何分布的二项分布逼近 对一批产品进行有放回的抽样时，产品的次品率始终保持不变，这时次品数服从二项分布。若进行不放回抽样，其次品数服从超几何分布。但当批量 N 很大，而 n 相对很小时，抽取一件产品后不放回，对次品率影响不大，可以近似地认为次品率近乎不变，这时从 N 件产品中抽取 n 件所得次品数 X 近似服从二项分布。 可以证明，当 N 时，超几何分布以二项分布为极限，即如果X 服从超几何分布，而N很大，n 相对N较小，则X 近似地服从参数为n，p=N1/N 的二项分布. 定理2 若随机变量 服从参数为 的超几何分布，则对于固定的 ，当 时，有 其中 ， 且 .（2-10） 一般地，当 n / N 0.1 时，用二项分布来逼近超几何分布，精度就很好。设 X 表示发芽的种子数，则 X 近似服