课件：《信号与系统》第三章

1、第三章 离散系统的时域分析主要内容第一节 LTI离散系统的响应第二节 单位序列和单位序列响应第三节 卷积和离散系统分析与连续系统分析在许多方面是相互平行的,它们有许多类似之处。连续系统：微分方程描述；卷积积分；离散系统：差分方程描述；卷积和； 3.1 LTI离散系统的响应主要内容一、差分与差分方程二、差分方程的经典解三、零输入响应和零状态响应一、差分与差分方程(书上这部分符号有错误，请改正）1、一阶差分的定义及序列求和运算（85页）设有序列 ，则称 等为 的移位序列。仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。 离散信号的变化率有两种表示形式：一阶前向差分定义为：一阶后向差分定义为：一阶前

2、、后向差分的关系：序列 求和运算为：因此，可定义：2、差分的线性性质：由差分的定义，若有序列 和常数 则： 3、二阶及更高阶差分定义类似地，可定义三阶、四阶等高阶差分. 因此差分具有线性性质。4、差分方程差分方程是包含关于变量 的未知序列 及其各阶差分的方程式，它的一般形式可写为：阶差分方程。由于各阶差分均可写成 及其各移位序列的线性组合，故通常所说的差分方程是指如下的形式：阶差分方程。例如5、线性常系数差分方程如果 及其各移位序列 均为一次式，就称其为线性的。如果 及其各移位序列的系数均为常数，就称其为常系数差分方程。*描述LTI离散系统的是线性常系数差分方程。差分方程是具有递推关系的代数方

3、程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得差分方程的数值解。例如已知初始条件 ，激励 ，求 。例 3.1-1 若描述某离散系统的差分方程为 解：类似地，依次迭代可得对于将初始条件 代入，得 便于计算机求解，但无法写出闭合表达式。 差分方程的一般形式：式中 都是常数。它的解：齐次解特解二、差分方程的经典解齐次解：齐次差分方程的解，称为齐次解。齐次解由形式为 的序列组合而成。 为特征方程 的根，称为差分方程的特征根。不同特征根所对应的齐次解形式不同。见下页表3-1。公比为（-a）的等比级数。特征根齐次解 单实根 重实根一对共轭复根 或 重共轭复根表3-1不同特征根所对应的齐次解（书87页）特解：特

4、解的形式与激励的函数形式有关，表3-2列出了几种不同激励所对应的特解。表3-2 不同激励所对应的特解（书87页）激励 特解 所有特征根均不为1 有 重为1的特征根 当 不等于特征根 当 是特征单根 当 是 重特征根。 当所有的特征根均不等于全解：n阶线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为：各系数由给定的n个初始条件 确定。例3.1-2 若描述某系统的差分方程为已知初始条件 激励 求方程的全解。解：首先求齐次解。特征方程为：再求特解：根据激励的形式由表3-2可知特解将 、 和 代入到原方程，得于是特解差分方程的全解将初始条件代入，有自由响应强迫响应例3

5、.1-3 若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件 激励为有始的周期序列 求其全解。解：特征方程为齐次解由表3-2根据激励的形式可设特解：代入原方程整理得：差分方程的全解将初始条件代入，有 自由响应（瞬态响应） 强迫响应（稳态响应） 当激励为有始周期序列或阶跃序列且系统特征根的模小于1时，系统的自由响应会随着k的增大而衰减到0，因此自由响应部分又称为瞬态响应，而强迫响应部分称为稳态响应。LTI离散系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和.零输入响应：在零输入条件下，方程为齐次方程。若特征根均为单根，则零输入响应为：其中， 为待定系数三、零输入响应和零状态响应零状态响应：若系统的初始状态为零，这

6、时方程仍是非齐次方程，若特征根均为单根，则其零状态响应为：其中， 为待定系数系统的全响应可分为自由响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应，它们的关系是：自由响应零状态响应零输入响应强迫响应一般而言，如果激励是在 时接入的，通常以 描述系统的初始状态。 例3.1-4，5 若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件 激励 求系统的零输入响应和零状态响应。解（1）零输入响应 满足方程由初始状态知：由方程利用迭代可得将 代入得（2）零状态响应 满足方程先求 和由方程利用迭代可得：将 代入得例3.1-6 若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件 激励 求零输入响应的初值 和零状态响应的初值 。解：

7、先求出零状态响应同上题：3.2 单位序列和单位序列响应主要内容一、单位序列和单位阶跃序列二、单位序列响应和阶跃响应 1、单位序列响应 2、阶跃响应 3、单位序列响应与阶跃响应的关系一、单位序列和单位阶跃序列1.单位序列定义为：单位序列也称作单位样值序列、单位脉冲序列或单位冲激序列。单位序列的移位： 的取样性质2.单位阶跃序列定义为：单位阶跃序列的移位：3.阶跃序列与单位序列之间的关系类似于有了阶跃序列和单位序列后，可简化序列的表示。如：可表示为：可表示为：1、单位序列响应 当LTI离散系统的激励为单位序列 时，系统的零状态响应称为单位序列响应，用 表示。二、单位序列响应和阶跃响应 （1）当方程

8、右端仅含 时，由于单位序列 仅在 处等于1，而在 时为零，因而在 时，系统的单位序列响应具有齐次解的形式，而在 处的值可按零状态的条件由差分方程迭代确定。 （2）当方程右端不仅含 ，而且还有其移位序列时，可利用系统的线性和时不变特性，先求出 单独作用的单位序列响应，再根据原方程右端的表达式求出系统的单位序列响应。例3.2-1 求图示离散系统的单位序列响应。解（1）写差分方程，求初值。满足代入初值得2、求 当 时例3.2-2 求图示离散系统的单位序列响应。解（1）写差分方程（2）求单位序列响应设 单独作用产生的单位序列响应为则：满足由上题2.阶跃响应 当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列 时，系

9、统的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示。 若已知系统的差分方程，用经典法可以求得系统的单位阶跃响应。另外，若已知系统的 ，根据LTI系统的线性性质和时不变性，系统的阶跃响应单位序列响应与阶跃响应的关系类似于连续系统冲激响应与阶跃响应的关系3、单位序列响应与阶跃响应的关系例3.2-3 求例3.2-1中图3.2-3所示系统的单位阶跃响应。图3.2-3解（1）经典法所示系统的差分方程为：阶跃响应满足方程：由方程利用迭代得：阶跃响应满足方程：（2） 利用单位序列响应下表列出几种常用序列的求和公式。表3-3 几种数列的求和公式序号 公 式 说 明12 可为正或负整数，但34 可为正或负

10、 整数序号 公 式 说 明56 可为正或负整数，但7 3.3 卷积和主要内容一、卷积和二、卷积和的图示三、卷积和的性质一、卷积和对于一个LTI离散系统,假设我们已经知道它的单位序列响应为 那么对任意序列 作用于该系统的零状态响应能否借用单位序列响应 来求呢？设任意序列 ，只要设法用单位序列及其移位序列的线性组合来表示，那么根据线性和时不变性，就可借用单位序列响应来表示此时的零状态响应。任意离散序列 可以表示为：称为序列 和 的卷积和。上式表明，LTI离散系统对于任意激励 的零状态响应是激励与单位序列响应 的卷积和。一般而言，若有两个序列 和 ，和式 称为 和 的卷积和，简称卷积。表示为 例3.

11、3-1 如解：显然，上式中作图法求卷积和的步骤：（1）将序列 的自变量用 代替，然后将序列 以纵坐标为轴反转，成为 。（2）将序列 平移 个单位，成为 。当 时，右移 个单位。当 时，左移 个单位。总之，原点处的序列值移到 点。二、卷积和的图示（3）讨论k的区间，并求乘积之和。例3.3-2 如有两序列 试求二序列的卷积和解：画出序列讨论k的区间，并求当 时，当 时，当 时，当 时，当 时，当 时，当 时，当 时，依此可得*一个M点序列与一个N点序列卷积，其卷积的长度为M+N-1。如果做卷积运算的两个序列都是因果序列即: 如果将各f1(k)(k=0,1,2,)的值排成一行，将各f2(k)(k=0

12、,1,2,)的值排成一列，如图3.3-3所示在表中各行与列的交叉点处，记入相应的乘积. 可见，求和符号内 的序号i与 的序号(k-i)之和恰好等于k。因此，利用列表法计算卷积和更加简便。 可以发现，沿斜线（虚线）上各项f1(i) f2(j)的序号之和也是常数，与两因果序列卷积和公式对照可知，沿斜线上各数值之和就是卷积和。如：图3.3-3f1 (k )f2(k )f1 (0 )f1 (1 )f1 (2 )f1 (3 )f2 (0)f2 (1)f2 (2)f2 (3)f1 (0) f2 (0)f1 (0) f2 (1)f1 (0) f2 (2)f1 (0) f2 (3)f1 (1) f2 (0)f

13、1 (1) f2 (1)f1 (1) f2 (2)f1 (1) f2 (3)f1 (2) f2 (0)f1 (2) f2 (1)f1 (2) f2 (2)f1 (2) f2 (3)f1 (3) f2 (0)f1 (3) f2 (1)f1 (3) f2 (2)f1 (3) f2 (3)将例3.3-2的f1(k)、 f2(k)的各值排列如图3.3-4所示1f1 (0 )f1 (1 )f1 (3 )f1 (2 )f1 (k )f2 (k )f2 (0 )f2 (1 )f2 (2 )f2 (3 )f2 (4 )1111011113222223333000000000图3.3-40，k5f1(k)* f

14、2(k)=图解过程的另一种形式：滑带法。 当序列较短或只能由图示法得到时，使用滑带法计算卷积是很方便的。这个方法本质上与图示法相同，唯一的不同在于，数据不是用图形来表示，而是作为一个数的序列排列在一条带子上。除此之外，计算的过程是相同的。例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。-2-10123411111111例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。-2-10123411111111-2-10123411111111-2-10123411111111固定带滑动带例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。-2-10123411111111-2-10123411111111-2-1012341111111

15、1例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。-2-10123411111111-2-10123411111111例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。-2-10123411111111依次可得例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。三、卷积和的性质1、代数运算 *两子系统并联组成的复合系统，其单位序列响应 等于两子系统的单位序列响应之和。由卷积的分配律得：+(a) 并联由卷积的结合律得：(b)级联*两子系统级联组成的复合系统，其单位序列响应 等于两子系统单位序列响应的卷积和。2、与单位序列的卷积例3.3-3 如图所示的复合系统由两个子系统级联组成，已知子系统的单位序列响应分别为求复合系统的单位序列响应h(k)。例3.3-3图解：例3.3-3图显然上二式仅在k0时成立。所以当 ，有当 ，有解：系统的差分方程为例3.3-4 如图所示的离散系统，已知初始状态 ，激励 求系统的全响应。（1）求系统的零输入响应 零输入响应满足代入初值（2）求单位序列响应和零状态响应满足与例3.2-1相同本章小结：1、差分及序列求和的概念。2、差分方程的经典求解：全解、零输入响应、零状 态响应。3、单位序列响应及阶跃响应。4、卷积和的引入、计算及卷积和的性质。例题： 3.