2021-2022学年福建省厦门市第一中学高二下学期3月适应性练习数学试题（解析版）

1、2021-2022学年福建省厦门市第一中学高二下学期3月适应性练习数学试题一、选择题：每题5分，共8题，共40分1. 已知的导函数为，则A. 0B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】分析：求出函数的导数，将自变量代入所求导函数，即可得结果.详解：因为，所以,所以，故选D.点睛：本题主要考查初等函数的导数公式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于简单题.2. 设x，,向量，且，则的值为（）A. -1B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】根据向量的垂直和平行列出相应的方程组，解得的值，可得答案.【详解】由得： ，解得，故，故选：A.3. 抛物线上一点到焦点的距离为，则实数的值为

2、A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义及抛物线的几何性质即可求解.【详解】解：因为抛物线过点，所以，抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知，解得.故选：A.4. 若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”，若正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是A. 10B. 100C. 200D. 400【答案】B【解析】【详解】试题分析：由于正项数列为“调和数列”，为等差数列，.的最大值为100.考点：等差数列的性质和基本不等式的应用.5. 设双曲线=1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为A. B. 5C. D. 【答案】D【解析】【详解】双

3、曲线1的一条渐近线设为yx，由方程组消去y，得x2x10，由题意知该方程有唯一解，所以40，所以e.6. 设各项均为正数的数列的前项之积为，若，则的最小值为A. 7B. 8C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意知，所以，所以，构造对勾函数，该函数在上单调递减，在上单调递增，在整数点时取到最小值7，所以当时，的最小值为7考点：1、数列的通项公式；2、函数性质与数列的综合7. 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则BCM面积的最小值为（）A. 8B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴

4、，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法确定M的轨迹满足，求出的最小值，可求出面积的最小值.【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则 ，设 ，则 ，因为 ，所以 ，得 ，所以 ，所以 ，当 时， 取最小值 ，易知，且平面，平面故，故所以的最小值为故选：D.8. 已知为坐标原点，点为函数图象上一动点，当点的横坐标分别为时，对应的点分别为，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，则，令，利用导数可得函数为增函数，即得.【详解】设，则，令，则，设，则所以在上为增函数，故，即，在上为增函数，即.故选：D.二、多

5、选题：每题5分，共4题，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 已知空间中四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)，D(1，3，4)下列说法中，正确的有（ ）A. B. C. A，B，C三点共线D. A，B，C，D四点共面【答案】ABD【解析】【分析】首先求出向量，的坐标.根据可判断选项A；根据可判断选项B；根据可判断选项C；设，求出和的值，从而可判断选项D.【详解】易知，因为，所以 ，故选项 A正确；因，且四点不共线，所以，故选项B正确；因为，所以 A，B，C三点不共线 ，故选项C错误；易知当时，

6、A，B，C，D共面，即，所以， 解得，所以A，B，C，D共面，故选项D正确.故选：ABD.10. 设，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】BCD【解析】【分析】把各选项代入函数式检验，能求出实根的解出实根，不能求出实根的用函数的性质判断【详解】记，时，或，不满足题意；，时，在和是递增，在上递减，而，只有一个零点，即只有一个实根，同理，时，在和是递增，在上递减，而，只有一个零点，即只有一个实根，时，只有一个实根，故选：BCD.【点睛】本题考查方程实根个数问题，对于方程根无法解出的情况可以通过研究函数的极值与单调性确定函数零点即方程根的个数11.

7、 设双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，且不与C的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ）A. 若，则C的两条渐近线的方程是B. 若点P的坐标为，则C的离心率大于3C. 若，则的面积等于D. 若C为等轴双曲线，且，则【答案】BC【解析】【分析】本题根据双曲线的离心率和渐近线、三角形面积求法及余弦定理进行逐项分析即可求解.【详解】解：由题意得：A选项：当时，双曲线的渐近线的斜率，A错误；B选项：因为点在C上，则，得，所以，故B正确；C选项：，若，则，即，即，得，所以，C正确；D选项：若C为等轴双曲线，则，从而若，则，在中，由余弦定理，得，D错误故选：BC12. 函数，则下列说法正确的是（ ）

8、A. B. C. 若有两个不相等的实根，则D. 若均为正数，则【答案】BD【解析】【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项由对数函数单调性及指数函数单调性判断A，由函数性质判断BC，设，且均为正数，求得，再由函数性质判断D【详解】由得：令得，当x变化时，变化如下表：x0单调递增极大值单调递减故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值，时，时，且时，时，A，故A错B，且在单调递增，故：B正确C有两个不相等的零点不妨设要证：，即要证：在单调递增，只需证：即：只需证：令，则当时，在单调递增，即：这与矛盾，故C错D设，且均为正数，则且，故D正确故选

9、：BD【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数的性质其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明三、填空题：每题5分，共4题，共20分13. 写一个焦点在轴上且离心率为的双曲线方程_【答案】（答案不唯一，符合要求就可以）【解析】【分析】取，可求得、的值，结合双曲线的焦点位置可得出结果.【详解】取，则，可得，因此，符合条件的双曲线方程为.故答案为：（答案不唯一，符合要求就可以）.14. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的

10、报名方法有_种.（用具体数字作答）【答案】32【解析】【分析】根据题意，可知每位同学都有2种报名方法，结合分步乘法计数原理，即可求解.【详解】由题意，5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则每位同学都有2种报名方法，则这5为同学共有种不同的报名方法，故答案为：3215. 数列的通项公式为，则该数列的前n项和=_【答案】【解析】【分析】数列求和问题，根据的形式，使用错位相减法【详解】由得故答案为：16. 若恒成立，则满足要求的实数a的值构成的集合为_【答案】【解析】【分析】设，又，则根据条件有，从而可得答案.【详解】令，且，即，故另一方面，当时，（当且仅当时等号成立）综上

11、可知故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的值，考查条件的转化，属于中档题.四、解答题：本题共6题，17题10分，1822每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知三次函数f（x）x3+ax26x+b，a，bR，f（0）1，曲线yf（x）在点（1，f（1）处切线的斜率为6.（1）求函数yf（x）的解析式；（2）求f（x）在区间2，4上的最值.【答案】（1）；（2）最大值为17，最小值为9.【解析】【分析】（1）先求函数的导数，进而根据求出a的值，然后根据f（0）1，求出b的值即可求出函数的解析式；（2）先利用导数判断函数的单调性，进而求出函数在区间2，4上

12、的最值.【详解】（1），由导数的几何意义，f（0）1，b1，.（2），令得，当时，f（x）单调递增；当时，f（x）单调递减；当x（2，4时，f（x）单调递增，函数f（x）在x1取得极大值为，在x2时取得极小值为f（2）9，在区间上的最大值为17，最小值为9.18. 已知正数数列满足，且（1）求证：当时，总有，并求数列通项公式；（2）数列满足，求前2n项和.【答案】（1）证明见解析， （2）【解析】【分析】（1）利用递推关系证得结论成立，进而求得数列的通项公式.（2）利用分组求和法来求得.【小问1详解】依题意正数数列满足，且，当时，当时，两式相除得.所以数列的奇数项、偶数项分别构成公比为的等比数

13、列，即，所以.【小问2详解】由（1）得，所以，所以.19. 如图，在圆柱中，四边形ABCD是其轴截面，EF为的直径，且，.（1）求证：；（2）若直线AE与平面BEF所成角的正弦值为，求二面角平面角的余弦值.【答案】（1）详见解析； （2）【解析】【分析】（1）连接，由平面CEDF，结合，证明平面ABCD，从而得到即可；（2）连接，以O为原点，分别以为y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面BEF的一个法向量为，直线AE与平面BEF所成角的正弦值为，由求得a，再求得平面ABE的一个法向量为，然后由求解.【小问1详解】如图所示：连接，因为平面CEDF，所以，又，且，所以平面ABCD，所以，又为EF的中

14、点，所以；【小问2详解】连接，则垂直于圆柱的底面，以O为原点，分别以为y，z轴建立空间直角坐标系；则，所以，设平面BEF的一个法向量为，则，即，令，则，设直线AE与平面BEF所成的角为，则，化简得，因为，所以，设平面ABE的一个法向量为，则，即，令，则，所以，由图象知：二面角为锐角，所以二面角平面角的余弦值是.20. 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）（）将乙方的年利润w (元）表示为年产量（吨）

15、的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？【答案】()年利润()，取得最大年利润的年产量；().【解析】【详解】(1)解法一：因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为:因为,所以当时,取得最大值.所以乙方取得最大年利润的年产量(吨).解法二：因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为：.由，令得.当时，；当时，所以时，取得最大值.因此乙方取得最大年利润的年产量（吨）.（2）设甲方净收入为元，则.将代入上式，得到甲方净收入与赔付价格之间

16、的函数关系式.又，令，得当时，；当时， ，所以时，取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格（元/吨）时，获最大净收入21. 在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，M（2，0），已知平行四边形OMNP两条对角线的长度之和等于，动点P的轨迹为C（1）求轨迹C的曲线方程；（2）若A，B为C上的两个动点，过点M且垂直x轴的直线平分AMB，证明直线AB过定点，并求出定点坐标.【答案】（1） （2）直线恒过定点，定点坐标【解析】【分析】（1）首先利用坐标表示对角线的长度和，即可利用椭圆的定义，求得椭圆方程；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求得定点坐标.【小问1详解】设，所以，表示动点到定点和的距离和为（大于两定点的距离4），所以点形成为和为焦点的椭圆，得，所以椭圆方程；【小问2详解】由条件可知直线的斜率存在，设直线方程，与椭圆方程联立，得，即，(*)，由条件可知，即即，所以，的，代入(*)可得，即 所以直线的方程是，所以直线恒过定点，定点坐标.22. 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值【答案】（1）详见解析 ；（2）2【解析】【分析】（1）对函数进行求导得，再