概率论与数理统计习题三

1、习题31_1.设 f(x)刁1 - x20当x . 0当x e0f(x)是否为分布密度函数？如何改造?解由于严n一 f (x)dx ,2所以f(x)不是分布密度函数令2 12. 2p(x) f(x)二 n 1 xn0,x 0,x乞0.则p(x)是分布密度函数.2设随机变量X的分布密度函数为CxP(x20当 0 _x_1其他求(1 )常数 C; ( 2 )P(0.3 xw 0.7); ( 3 )P(-0.5X V 0.5).解(1)由p(x)的性质，有p(x)dx；Cxdx 二 C : |0 = ；C,所以C = 2.(2)P(0.3 X _0.7)7OIO402-0.5(3)P(-0.5_X

2、_0.5)=5 0dx 2xdx =x2 帯=0.25.3.设连续型随机变量X的分布函数为ABx2F(x) =当 x -.0当 0 x -.1Cx-x2当仁x ：2求：(1) A, B ,解(1)由连续型随机变量的性质，可知, x=2处的连续性，有!imT(x)=A , xim4F(x)=lim Bx2 =0 ,所以 A=0；lim F(x) =lim Bx2 二 B ,X1 X1 -lim F(x) =lim( Cx -丄乂2xx 2 . .21 233lim .F(xlim(Cxx 1)=C，可知 B=C?-1)=2C -3， lim F(x) =1，可知 2C -3 =1 .所以 C =

3、2, B J .2(2) X的概率密度函数为x ,Q x ：；1f(x)二 2x,1 ex ：20 ,其他1 2 1(3) P1X 乞2=F (3) F(1)=1_(2 1 - 12-1)=-.2 2在一个公共汽车站有甲、乙、丙三人，分别等1, 2, 3路车.设等车的时间(分钟)服从0 , 5上的均匀分布，求 3人中至少有2人等车时间不超过 2分钟的概率.解设每人等车的时间为 X，则X的密度函数为1f(x)二 5【0,0 _ x _5,其他3人中每人“等车不超过2分钟”的概率为21 2PX汐=。严訂3人中等车不超过 2分钟的人数丫B(3 -)，5,2(23故 PY_2=C；0.352帖丿5设

4、X N(0, 1)，求 P(X V 2.35), P(X v 1.25)以及 P(|X|v 1.55).查表解 P(Xv 2.35)=(2.35)0.9906.P(XV 1.25)=(1.25) = 1(1.25) = 1 0.8944= 0.1056 .P(|X|v 1.55) = P( 1.55v XV 1.55)=(1.55)(一1.55)=2(1.55) 1= 2X 0.9394 1 = 0.8788.设 XN(1, 22)，求 P(0 v X 5).解这里(i= 1, o= 2, 3= 5, ?= 0,有4 a-k2, -0.5.acr于是P(0 v XW 5)=(2)(一0.5)=

5、(2) 1 (0.5)= + (0.5) 1 = 0.9772 + 0.6915 1 = 0.6687 .2设 X N(2, 3 )，求：(I)P 1 W XW 8 ; ( n)PXA 4;(川)PX W 11. 解由于XN(2, 3s),即尸2,尸3,因此(1)P 1 W XW 8 = P2 3W XW 2 + 2X 3=P2 3W XV 2 + P2 W XW 2+ 2X 311P2 3 X ：23 一 P2 2 3 X ： 2 2 322 TOC o 1-5 h z 0.680.950.815.2 2PX A 4 = P 4 XV+ = P2 2X 3 X 20.95 +10 9750.

6、975.2 2PX 11 = P X 11 = P XW 2 + P2 X84 .10或者在 EXCEL的单元格中键入的“ =NORMINV (0.91587, 70, 10) ”，求得.31设一个纺织工人照顾 800个纱锭，在(0, T时间内每个纱锭断头的概率为0. 005,求在(0, T内：(1 )最大可能的断头数；(2 )断头次数不超过10的概率.解设断头数为X，则XB(800, 0. 005).由于n很大，p很小，所以可用近似公式 k 、P(X=k)=C8爲 0.005k 0.995800 上e：K!这里 = np= 800X 0. 005= 4.实际上可认为 X近似服从P( ).最大

7、可能的断头数是3和4.10P(X却0)八k _Q4kk!4e_=0.99716设XU(0, 1),并且Y= x2,求丫的分布密度P2(y).”y 11 解：FY(y) =PY ：y二PX ： y二 0 -dy,(0 :：: y ：. 4)故 fY(y)二 Fy W)二1y(0 ： y : 4)(X,Y)在区1 2设平面区域 D由曲线y 及直线y=0,x=1,x=e所围成，二维随机变量x域D上服从均匀分布，求(X,Y)的联合分布密度函数.解由于区域D的面积e 1A dx =1，1 x所以(X,Y)的联合分布密度函数为F(x,y)= x0其他设(X，Y)的联合分布密度为f(x,y)Ce43x 4y)0,x _0,y _0,其他.试求：(1)常数 C. ( 2)P0v Xv 1, 0v Yv 2. 解(1)由p(x, y)的性质，有1p(x,y)dxdy0；Chx4y)dxdy. 3x=C e dx即 C = 12.令 D = ( x, y)| 0v xv 1, 0v yv 2，有P0 X 1 时，p1( x) = 0;当 0w x 2 时，pdx) = dy =0；oO当0 w XW 2时,所以P1(x)=：P(x,y)dy 二；xydy x2P(x)二 20,同理