积分变换拉普拉斯第2章第二讲

1、2.3 卷积第一章给出的卷积是指若函数 满足条件：当 时， 则卷积可以写成1. 卷积的概念解 根据定义说明：1. 这里定义的卷积和Fourier变换中给出的卷积定义完全一致. 因此，如果函数在 时恒为0, 则它们的卷积可以用上式计算. 2. 上式定义卷积仍满足交换律、结合律和对加法的分配律，以及卷积的数乘、微分和积分性质.例1求函数 的卷积,即求2. 卷积定理 或假设 满足Laplace变换存在定理的条件, 且 则 的Laplace变换一点存在，且更进一步，有例2. 若 求 .解： 因为 取于是由卷积定理和例1，得例2. 若 求 .解 因为 所以例2. 若 求 .解 利用卷积定理，先求出 再由

2、延迟性质，有注意：单位阶跃函数 不可缺少.2.4 拉普拉斯逆变换由拉氏变换的定义可知 的拉氏变换就是 的傅氏变换，因此由傅氏积分公式，有拉普拉斯逆变换的引入：两边同乘 ，得令 ，有定义 右端的积分称为Laplace反演积分. 称 与 构成了一个Laplace变换对. 求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、卷积法、查表法等. 根据定义求Laplace逆变换需要计算一个复变函数的积分,计算比较麻烦. 1. 利用留数定理求拉氏逆变换 定理：若 是函数 的所有奇点且当 时， ，则有即有理多项式的拉氏逆变换 是不可约得多项式， 的次数是 而且 的次数小于 的次数，分两种情况讨论其 Laplac

3、e逆变换.若Laplace变换 是有理函数： ，其中情况一：若 有 个单零点 即这些点都是 的单极点，则说明：如果 的导数(阶数比较高)不好求，建议用计算留数的规则1求留数，即利用留数计算规则3有理多项式的拉氏逆变换情况二：若 是 的 级零点， 是的单零点，即 是 的 级极点， 是它的单极点，则注：这两个公式都称为Heaviside展开式，在用Laplace变换解常微分方程时常碰到.利用留数计算规则2例1 利用留数方法求 的逆变换解：这里 ，它有两个单零点利用留数方法，得： 例2 利用留数方法求 的逆变换利用留数方法，得： 解：这里 ， 为单零点， 为二级 零点, 2. 部分分式方法主要用来求

4、解有理多项式，利用部分分式把之化减为最为简单的形式，最好是分母是一次或二次多项式，可以直接看出其Laplace逆变换.部分分式展开法设 若 仅有 个单根，则 可展开为：1. 单极点情况2. 重极点情况设 若 是 的 级零点， 是 的单零点，则 可展开为：3. F(s)假分式情况本题F(s)为假分式，先用长除法，化为真分式后再做.解例3 利用部分分式方法求 的 逆变换.解：因为 是有理分式，可以利用部分分式的方法将 化成所以例4 利用部分分式方法求 的逆变换.解：利用部分分式的方法将 化成所以3. 利用拉普拉斯变换性质例5 利用Laplace变换的性质求 的逆变换.解：利用象函数的微分性质:而所

5、以例6 利用Laplace变换的性质求 的逆变换.解：利用象函数的积分性质: , 而所以例4 求 的逆变换.解：可以用不同方法求 的逆变换 .方法一 (利用留数方法). 利用留数方法，得：解：这里 ， 为单零点， 为二级零点, 方法二 (利用部分分式方法).解：因为 是有理分式，可以利用部分分式的方法将 化成方法三 (利用卷积定理方法).所以因为其中 所以 方法四 (利用查表方法).2.5. 拉普拉斯变换的应用 利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微

6、分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.例1 求微分方程 满足初始条件的解. 解对方程两边取Laplace变换,并考虑到初始条件,则得解代数方程得取Laplace逆变换得设 常系数微分方程初值问题例2 求微分方程 满足边界条件的解. 解对方程两边取Laplace变换,并考虑到初始条件,则得解代数方程得取拉氏逆变换得由第二个边界条件可得于是常系数微分方程边值问题设 例3 求方程 满足初始条件的解. 解对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得变系数微分方程初值问题变系数微分方程指的是方程中含有 项，求解

7、这类方程需要用像函数的微分性质 设 考虑到初始条件，化简后得积分，得即这是可分离变量的一阶微分方程，即所以取逆变换，得 ，由 , 得 对方程两边取拉氏变换,由卷积定理,则得积分方程例4 求积分方程其中 是定义在 上的已知实值函数. 解设 所以取拉式逆变换， 例如：此时从而， 这一积分方程实际上是一个卷积型积分方程，有很多实际应用.例5 质量为m的物体挂在弹性系数为k的弹簧一端，作用在物体上的外力为 ,若物体自静止平衡位置 处开始运动，求该物体的运动规律解物体运动的微分方程为 且 设 则得记 ，则有因为 ，应用卷积定理，有给出具体的 ,即可求出 .比如，物体在 受到冲击力 为常数，则可见，在冲击力作用下，运动为一正弦振动用Laplace变换求微分、积分方程的优点1.求解过